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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题08 数形结合之四边形中的线段最值问题压轴题综合（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（ ）
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A．1 B． C． D．
2．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ） 21教育网
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A． B． C．3 D．
3．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
4．如图，、是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．1 C． D．
5．如图，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A．0.5 B．2.5 C． D．1
6．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( ) 【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4 B．10 C．12 D．16
7．如图，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
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A． B．5 C． D．
8．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（ ）【版权所有：21教育】
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A．2 B．2 C．3 D．
10．如图，在矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（ ）21*cnjy*com
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A．8 B．10 C．12 D．20
二、填空题
11．已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个．
12．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．
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13．如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
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14．如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．21cnjy.com
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15．如图①，四边形ABCD中，AD=CD ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．
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16．如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是______．
（2）的最小值是________．
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17．如图，F为正方形的边上一动点，，连接，过A作交于H，交于G，连接，当为最小值时，的长为___________．
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18．如图，在矩形中，，，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是______
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19．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
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20．如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是______．
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三、解答题
21．阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
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根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
22．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
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（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
23．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
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（1）当t何值时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；2-1-c-n-j-y
（3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．
24．矩形中，，，是边上一点，且．
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（1）如图1，当在边上时，求的长；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，为的中点，直接写出的最小值为_________．
25．如图，在平行四边形纸片AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
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（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为 ；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
26．如图①，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．
（1）AM+PM的最小值等于 ；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．
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27．（1）如图1，正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；21教育名师原创作品
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为 ( http: / / www.21cnjy.com )线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
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28．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
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29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
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（提出问题）
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（类比探究）
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；21·cn·jy·com
（综合运用）
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
30．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，2·1·c·n·j·y
（1）直接写出点D、E的坐标；
（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE=EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；www-2-1-cnjy-com
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．21*cnjy*com
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题08 数形结合之四边形中的线段最值问题压轴题综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（ ）
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A．1 B． C． D．
【标准答案】C
【详解详析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
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∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
点睛：本题考查平行四边形的性质、三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．www-2-1-cnjy-com
2．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）
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A． B． C．3 D．
【标准答案】D
【思路指引】
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【详解详析】
解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，
在Rt△ADN中，，
在Rt△BPF中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，
当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，
∴当点M落在AC上时：
为正三角形，
在中，，，
∴ ，解得
在中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴
解得，
∴，
∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选D．
【名师指路】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判 ( http: / / www.21cnjy.com )定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．
3．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）
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A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【标准答案】D
【思路指引】
连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【详解详析】
解：连接PC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为：
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
4．如图，、是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
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A．2 B．1 C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据正方形的性质可得BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA，∠ACD＝∠ACB，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠DFA＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【详解详析】
解：在正方形ABCD中，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACD＝∠ACB，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝OD＝AD＝1，
在Rt△COD中，OC＝，
当O、F、C三点不共线时，OC－OF＜CF，
当O、F、C三点共线时，OC－OF＝CF，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝．
故选：C．
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【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键，也是本题的难点．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
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A．0.5 B．2.5 C． D．1
【标准答案】B
【思路指引】
由题意分析可知，点F为主动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解详析】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB ΔEHG，
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从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
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则.
故选B．
【名师指路】
本题考查了线段极值问题， ( http: / / www.21cnjy.com )构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．21教育网
6．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )
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A．4 B．10 C．12 D．16
【标准答案】B
【思路指引】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解详析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
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当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【名师指路】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E ( http: / / www.21cnjy.com )，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
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A． B．5 C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H ( http: / / www.21cnjy.com )，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
则MN=QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∠AEB=∠BFC，
∵ AB∥CD，
∴∠ABP=∠BFC=∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴PH=AB=2，
∵M点是BC的中点,
∴BM=MC=CQ=BC=2，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，
PH+PQ=HQ==的值最小，
∴PQ的最小值为2 -2，
此时，若N与N'重合时，
MN+PN=MN=QN +PN =QN +PN =2 -2的值最小，
故答案为：C．
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【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P与N的位置．
8．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接EG，BP，由题意得当点P与点G重合时，的值最小=BF，再证明，从而得是等腰直角三角形，设CF=BE=GE=x，则EC=，列方程求出x的值，进而即可求解．
【详解详析】
解：连接EG，BP，
∵点B与点D关于AC对称，
∴=，
∴当点P与点G重合时，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
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又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴设CF=BE=GE=x，则EC=，
∴x+=，解得：，
∴BF=，即：，
∴=．
故选B．
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【名师指路】
本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
9．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（ ）
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A．2 B．2 C．3 D．
【标准答案】A
【思路指引】
点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求．
【详解详析】
解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接，即为所求的最小值．
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连接，
，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
点为的中点，
，
菱形的周长为16，
，
在中，，
，
，
．
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（ ）21·cn·jy·com
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A．8 B．10 C．12 D．20
【标准答案】B
【思路指引】
连接BP，则PC+QD的最小值转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图，连接BP，
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在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE==10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【名师指路】
本题考查的是矩形的性质、平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
二、填空题
11．已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个．
【标准答案】8
【思路指引】
先作点E关于AD的对称点E'，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )EF交AD与点P，求出PE+PF的最小值，再求出P与A重合及P与D重合时 PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解．
【详解详析】
解：①当点菱形的边上时，
在菱形中，，则和为等边三角形，
∵点、将对角线三等分，则，
作点关于的对称点，则、、共线，
连接交于点，则此时最小，
则最小值，
过点作，交的延长线于点，
在中，，，
则，
，
在中，，
则，
②当在点时，，
故在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，
那么四条边上一共8个．
故答案为：8．
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【名师指路】本题考查菱形与最值问题．熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键．
12．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．
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【标准答案】
【思路指引】
作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，由作图得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB AP）＝1，根据勾股定理求出AO＝，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解详析】
解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，
∵∠DAB＝45°，
∴∠MAN＝90°，
过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝AD，
∵AD＝BC＝，
∴AP＝DP＝5，
设OM⊥AB于Q，则OQ∥DP，
∵OD＝OB，
∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB AP）＝1，
∴AQ＝6，
∴AO＝，
∴AM＝AN＝AO＝，
∴MN＝AM＝，
∴△OEF周长的最小值是．
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查轴对称 最短路线问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
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【标准答案】
【思路指引】
（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，求出CF的长，利用平行四边形的面积公式计算即可；
（2）连接MC；过点M作ME⊥CD于E首先求出线段ME、DE的长度；运用勾股定理求出MC的长度，即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=6，AB=CD=，
∵∠BCD=30°=∠CBF，
∴CF=BC=3，
∴四边形ABCD的面积===；
（2）连接MC，过点M作ME⊥CD于E，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=，DE=，
∴CE=CD+DE==，
由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==，
由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，
∵MA′+A′C≥MC，
∴A′C≥MC- MA′= MC-3，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=，
故答案为：（1）；（2）．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )勾股定理等几何知识点；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行四边形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
14．如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解详析】
如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
15．如图①，四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．
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【标准答案】．
【思路指引】
根据题意可知，可知当AP取最小值时，DE有最大值；根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=DE，故当DE取最大值时，AN有最大值；求出AP的最小值即可解决问题．当AP⊥BC时，AP取到最小值，利用三角形面积公式可求出AP的最小值．
【详解详析】
解：如图②，
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∵ADPE是筝形，
∴筝形ADPE的面积=，
∴，
∴当AP取最小值时，DE有最大值，
∵P为BC边上一个动点，
∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，
∴AP的最小值= = ，
∴，
∴DE=，
∴DE的最大值是，
∵Rt△ADE中，点N为DE中点，
∴AN=DE，
∴当DE取最大值时，AN有最大值，
∴AN的最大值是．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查直角三角形斜边中线的性质及直角三角形的面积公式，理解“筝形”的定义是解题的关键，难点在于分析出当AP取最小值时，DE有最大值．
16．如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是______．
（2）的最小值是________．
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【标准答案】2 +1
【思路指引】
（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可；
（2）以AB为边作等边△ABE， ( http: / / www.21cnjy.com )连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可．
【详解详析】
解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，
∵AB=BC=CD=DA=，
∴AC=2；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．
理由如下：在EC上截取EN=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=BC，∠ABE=60°，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
又∵BE=BC，EN=CM，
∴△BEN≌△BCM（SAS），
∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°，
∴∠ABN=15°，
∴∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
∵正方形ABCD的边长为，
如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BE=，
∴BF==，
∴EC===+1，
故答案为：2，+1．
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【名师指路】
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键确定点M的位置．【出处：21教育名师】
17．如图，F为正方形的边上一动点，，连接，过A作交于H，交于G，连接，当为最小值时，的长为___________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．
【详解详析】
解：如图1中，取的中点，连接，．
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四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，最小值（如图2中），
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查正方形的性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18．如图，在矩形中，，，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是______
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【标准答案】
【思路指引】
根据中位线定理先判断出点P的轨迹是 ( http: / / www.21cnjy.com )线段P1P2，再根据矩形的性质及已知条件判断△DP1P2是直角三角形，从而得出点D到线段P1P2上各点的连线中，DP1最小，DP2最大．
【详解详析】
解：如图：
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当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1=BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2，
∴P1P2∥EC且P1P2=CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB=45°，∠DP1C=45°，
∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B=∠ECB=45°，
∴∠P2P1D=90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD=CP1=DE=2，
∴DP1=，CE=，
∴P1P2=，
∴DP2=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查矩形的性质、轨迹等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
19．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解详析】
解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，
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在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC=，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S△ABC=，S四边形ABCD=，
∴S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=，
设点D到AC的距离为h，
∴S△ADC=，
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
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过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG=，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF=，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．21·世纪*教育网
20．如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是______．
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【标准答案】1.5
【思路指引】
如图所示，过点G作GH⊥AB，交 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的延长线于点H，根据正方形的性质和三角形的内角和可以推出∠1=∠3，根据全等三角形的判定可得△AFE≌△HEG，正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，根据勾股定理可得y =（1.5-x） +1.5 =（x-1.5） +1.5 ，再根据非负数的性质知，当x=1.5时，y 有最小值1.5 ，即当BG取最小值时，FD的长度为1.5．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：如图所示，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
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∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=90°=∠EHG，
又∵∠FEG=90°，FE=EG，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△AFE≌△HEG（AAS），
∴AE=GH，AF=EH，
∵正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，
则EH=AF=4-x，EB=4-1.5=2.5，GH=AE=1.5，
BH=EH-EB=4-x-2.5=1.5-x，
由BG2=BH2+GH2得，
y2=（1.5-x）2+1.52=（x-1.5）2+1.52≥1.52，
∴当x=1.5时，y2有最小值1.52，
∴当BG取最小值时，FD的长度为1.5，
故答案为：1.5．
【名师指路】
本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等．解本题要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等基本知识．
三、解答题
21．阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
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根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
【标准答案】（1）10；（2）直角三角形，理由见解析；（3）最小值为BD=．
【思路指引】
(1)直接代入两点间的距离公式计算即可；
（2）利用公式计算三角形三边的长，根据边长的关系判定三角形的形状；
（3）根据正方形的性质,知点A关于直线OC的对称点是B,因此EA+ED的最小值为BD,求得点B的坐标,利用距离公式即可求得.
【详解详析】
(1) ∵点A(－3，4)，B(5，10)，
∴AB= =10;
(2) △ABC是直角三角形;理由如下:
∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，
∴= =65,
= =52,
= =13,
∴+=,
故△ABC是直角三角形；
(3)过点A,B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO=∠NOB，
∴△MAO≌△NOB，
∴AM=ON，MO=BN，
∵A(-4,3)，
∴OM=4，AM=3,
∴ON=3,BN=4，
∴B（3,4），
∵点A关于直线OC的对称点是B,
∴EA+ED的最小值为BD,
∵D(－1，)，
∴BD= =,
故DE＋EA的最小值为.
【名师指路】
这是一道阅读理解型考题，主要考查了坐标系中任 ( http: / / www.21cnjy.com )意两点之间距离的计算，正方形的性质，互余原理，三角形的全等，线段和最小值，坐标与线段的关系，理解两点间距离公式，活用将军饮马河原理是解题的关键.
22．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
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（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
【标准答案】（1）；（2）不变，8；（3）
【思路指引】
（1）如图，过点作轴于．证明，推出，，可得结论．
（2）结论：的周长不变．想办法证明即可．
（3）由（1）可知，，推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小．
【详解详析】
解：（1）如图，过点作轴于．
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）结论：的周长不变．
理由：将绕点B逆时针旋转得到．
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
的周长．
（3）由（1）可知，，
，
点的运动轨迹是射线，
过点作于，当点与点重合时，的值最小，
最小值，
的最小值为．
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【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
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（1）当t何值时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；21*cnjy*com
（3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．
【标准答案】（1）；（2）存在，t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；（3）
【思路指引】
（1）先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10-2t，进而由平行四边形的性质建立方程26-2t=13即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12），
∴BC=OA=26，AB=OC=12，
∵点D是OA的中点，
∴OD=OA=13，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC-PC=26-2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=13，
∴26-2t=13，
∴t=；
（2）①当Q点在P的右边时，如图1，
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∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=13，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=5，
∴2t=5；
∴t=，
∴CQ=CP+PQ=5+13=18，
∴Q（18，12）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
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同①的方法得出 t=9，CQ=5，
∴Q（5，12），
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
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同①的方法得出，t=4，CQ=5，
∴Q（-5，12），
综上：t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；
（3）如图4，由（1）知，OD=13，
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∵PM=13，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=26+AM+13+DM=39+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=AD=，
∴PC=BC-BM-PM=26--13=，
∴t=÷2=．
【名师指路】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质，最值的确定，三角形中位线定理，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．21世纪教育网版权所有
24．矩形中，，，是边上一点，且．
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（1）如图1，当在边上时，求的长；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，为的中点，直接写出的最小值为_________．
【标准答案】（1）2；（2）；（3）
【思路指引】
（1）通过AAS证明△ABE≌△ECF，可得CE=AB=6即可求出BE的长；
（2）延长EC，DF交于点P，先证得四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形AEPD是平行四边形，则有S AEPD=PE CD=AE EF即8×6=AE2，在Rt△ABE中，勾股定理求出BE，即可解决问题；
（3）过点Q作QT⊥BQ交B ( http: / / www.21cnjy.com )C的延长线于点T，通过ASA可证△ABQ≌△ETQ，导出∠ABQ=∠QBT，即点Q在∠ABC的角平分线上，当CQ⊥BQ时，CQ取最小值，此时点T与点C重合，求出此时的CQ即可．
【详解详析】
解：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=AD=8，CD=AB=6，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵EF=AE，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=8-6=2；
（2）如图，延长EC，DF交于点P，
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∵DF⊥EF，EF⊥AE，
∴AE∥DF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PE=AD=8，
∴S AEPD=PE CD=AE EF即8×6=AE2，
∴AE2=48，
在Rt△ABE中，BE=，
∴；
（3）如图，连接BQ，EQ，过点Q作QT⊥BQ交BC的延长线于点T，
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∵△AEF是等腰直角三角形，Q是AF的中点，
∴∠AQE=∠AQB+∠BQE=90°，AQ=EQ，
∵BQ⊥QT，
∴∠BQT=∠BQE+∠EQT=90°，
∴∠AQB=∠EQT，
∵∠ABC=90°，∠AQE=90°，
∴∠BAQ+∠BEQ=360°-90°-90°=180°，
∵∠BEQ+∠QET=180°，
∴∠BAQ=∠QET，
∴△ABQ≌△ETQ（ASA），
∴∠ABQ=∠QTB，BQ=TQ，
∴∠QBT=∠QTB，
∴∠ABQ=∠QBT，
即点Q在∠ABC的角平分线上，
∴当CQ⊥BQ时，CQ取最小值，此时点T与点C重合，
∴△BCQ为等腰直角三角形，
∴CQ=BQ=BC=，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，构造出全等三角形，证出点Q在∠ABC的角平分线上是解题的关键．21cnjy.com
25．如图，在平行四边形纸片ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
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（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为 ；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
【标准答案】（1）12cm；（2）cm2；（3）
【思路指引】
（1）证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题．
（2）根据S△DEB=S△DCB求解即可．
（3）首先判定四边形ADC′B′是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得到C′F=B′D，作点D关于AB的对称点D′，可判断当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，过F作FH⊥DG，垂足为H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的长即可．
【详解详析】
解：（1）∵△BCE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F共线，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴C′F=B′D，
作点D关于AB的对称点D′，
则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为．
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【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质，翻折变换，最短路径，等边三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
26．如图①，四边形ABCD是边长为4的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．
（1）AM+PM的最小值等于 ；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．
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【标准答案】（1）；（2）见解析；（3），
【思路指引】
（1）如图①中，连接PC．利用勾股定理求出PC，再证明AM=MC，推出AM+PM=PM+CM≥PC，由此可得结论．2·1·c·n·j·y
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
（3）首先说明E，N，M，C共线时，AM+B ( http: / / www.21cnjy.com )M+CM的值最小，此时点M在EC与BD的交点处，求出直线EC，BD的解析式，构建方程组可得结论．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：（1）如图①中，连接．
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四边形是正方形，
，，，
是的中点，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
（2）证明：由旋转的性质可知，
，
是等边三角形．
（3）解：如图②中，过点作轴于，连接．
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由旋转的性质可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处，
，，
，
，，
，，
，，
设直线解析式为，则有，
解得，
，
同法可得直线的解析式为，
由，解得，
，．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的应用，最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
27．（1）如图1，正方形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段B ( http: / / www.21cnjy.com )C上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF最大值： ，EF最小值：1
【思路指引】
（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则A ( http: / / www.21cnjy.com )P⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCH（ASA），然后根据三角形全等的性质即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP＝FC，然后根据等边对等角和等量代换求得∠AFP＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE＝AP，结合（1）问结论即可求证；
（3）根据（2）问结论得到EF＝MN，当点P和点B重合时，EF有最小值；当点P和C重合时，EF有最大值，根据正方形的对角线即可求解．
【详解详析】
（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；
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（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2，
当点P和点B重合时，EF最小值＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大值＝MN＝BD＝．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，本题考查较为综合，题目较难，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．
28．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
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【标准答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【思路指引】
（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点作于点，
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四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
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，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
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，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
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（提出问题）
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（类比探究）
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
（综合运用）
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
【标准答案】（1）见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析（3）
【思路指引】
（1）延长，交于点，先证，得，．结合，知，即可得．从而得证；
（2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，根据三个中点知，，，，，据此得，，．由可得答案；
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，由及．可得答案．
【详解详析】
解：（1）如图①，延长，交于点，
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四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长，交于点，
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四边形是“等垂四边形”， ，
，，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，
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则，
由（2）可知．
最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．2-1-c-n-j-y
30．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，
（1）直接写出点D、E的坐标；
（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE=EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．
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【标准答案】（1）（6，6），（3，0）；（2）①见解析；②；（3）
【思路指引】
（1）由算术平方根的意义可得出a=6，b=3，则可得出答案；
（2）①取OA的中点K，连接KE，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出32+（6-x）2=（x+3）2，解得x=2，则可求出答案；
（3）在外角平分线上取点E，使C ( http: / / www.21cnjy.com )F=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，则可得出答案．
【详解详析】
解：∵实数a，b使式子成立，
∴，
∴a=6，b=3，
∴OA=6，
∵在正方形ABCD中，
∴D（6，6），E（3，0）；
故答案为：（6，6），（3，0）；
（2）①取OA的中点K，连接KE，
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∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠FEC=∠OAE，
∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC，
∴AK=EC，OK=OE，
∴∠OKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AKE=∠ECF，
在△AKE和△ECF中，
，
∴△AKE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，
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∵四边形AOCD是正方形，
∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°，
∴△AOE≌△ADH（SAS），
∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，
由①知AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°，
∴∠GAH=∠GAE，
∴△AEG≌△AHG（SAS），
∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD，
∴∠AEO=∠AEG，
∵EN∥CD，
∴∠AGH=∠GNE=∠AGE，
∴EN=EG，
同理可得GM=GE，
∴GM=EN，
又∵GM⊥EN，
设DG=x，则CG=6-x，
∴OE=CE=3，
∴EG=x+3，
在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2，
解得x=2，
∴EG=EN=GM=5，
∴S四边形MNGE=GM EN＝，
（3）在外角平分线上取点F，使CF=AO，
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∴∠OAP=∠QCF=45°，
∵AP=CQ，
∴△APB≌△CQF（SAS），
∴PB=QF，
∴BP+BQ=BQ+QF，
∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵∠DCF=∠RCF=45°，
∴△CFR为等腰直角三角形，
∵AO=CF=6，
∴CR=FR=，
∴OR=，
在Rt△ORF中，，
的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题是四边形综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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