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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题06 模型方法之平行四边形常考模型综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）【出处：21教育名师】
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A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n
【标准答案】B
【思路指引】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解．
【详解详析】
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如图作正方形边的垂线，
由ASA可知同正方形中两三角形全等，
利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，
即是，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
2．如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
【标准答案】C
【思路指引】
易证△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．
【详解详析】
∵四边形AFDC是正方形
∴AC=AF，∠FAC=90°
∴∠CAE+∠FAB=90°
又∵∠CAE+∠ACE=90°
∴∠ACE=∠FAB
又∵∠CEA=∠FBA=90°
∴△AEC≌△FBA
∴AB=EC=4
∴图中阴影部分的面积=
故选C
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
3．如图，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．2 C．6 D．5
【标准答案】D
【思路指引】
作FH⊥AB于H，交AE于 ( http: / / www.21cnjy.com )P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．
设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE中，
∵BE2+BG2=GE2，
∴12+(3-x)2=x2，
∴x=．
在Rt△ABE中，
∵AB2+BE2=AE2，
∴32+12=AE2，
∴AE=．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，
∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形ADFH是矩形，
∴AB=AD=HF．
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG，
∴FG=AE=，
∴S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF
=
=
=
=
=5．
故选D．
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【名师指路】
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
4．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路指引】
①设∠1=x度，把∠2=（60 ( http: / / www.21cnjy.com )-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
5．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
【标准答案】A
【思路指引】
先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC．
【详解详析】
解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中， ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确；
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确；
设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确；
∴GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴FC∥AG，
∵AB＝AF，BG＝FG，
∴AG⊥BF，
∴BF⊥FC，④正确；
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了折叠的性质、三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
6．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（ ）
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A． B．是等腰直角三角形
C．点P为中点 D．
【标准答案】D
【思路指引】
A．证明四边形BHFG为平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，得BH=GF=CE，得BC=HE，再由正方形的性质得HE=CD，进而便可判断选项正误；B．证明△ABH≌△HEF，进而得出△AHF是等腰直角三角形，便可判断选项正误；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，证明四边形EFMH为矩形，再证明△PAD≌△PFM得AP=FP，便可判断选项正误；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，证明△AQK≌△APK得AK=PK，进而得BK2+DP2=KP2，便可判断正误．
【详解详析】
解：A．∵四边形CEFG是正方形，
∴GF∥CE，GF=CE，
∵BG∥HF，
∴四边形BHFG为平行四边形，
∴GF=BH，
∴BH=CE，
∴BC=HE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD．
∴HE=CD，故A正确；
B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，
∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，
∵BC=HE，BH=CE，
∴AB=HE，BH=EF，
∴△ABH≌△HEF（SAS），
∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，
∵∠BAH+∠AHB=90°，
∴∠EHF+∠AHB=90°，
∴∠AHF=90°，
∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；
C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠HBD=∠ABC，
∴∠HBM=45°，
∴BH=MH，
∵△ABH≌△HEF，
∴BH=EF，
∴MH=EF，
∴四边形EFMH为矩形，
∴MF∥BE∥AD，MF=HE，
∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，
∵AD=BC=HE，
∴AD=MF，
∴△PAD≌△PFM（ASA），
∴AP=FP，故C正确；
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D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴∠HAF=45°，
∴∠QAK=∠PAK=45°，
∵AK=AK，
∴△AQK≌△APK（SAS），
∴QK=PK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，
∴∠QBK=90°，
∴BK2+BQ2=QK2，
∴BK2+DP2=KP2，故D错误；
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故选：D．
【名师指路】
本题是正方形的一个综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．
7．如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由“”可证，可得，，由余角的性质可判断②，根据证，得出,易得，则,利用反证法假设,推出矛盾，即可判断①，由“”可证，由勾股定理可判断④．21*cnjy*com
【详解详析】
解：四边形是正方形
，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，
，
，
，
，
故②正确
根据②中证出，
,
，
则,
若假设，
则，
矛盾，即假设不成立，
即①错误,
，，
故③正确
，
，
；
故④正确
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2·1·c·n·j·y
8．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：连接BP，取CD的中点M，连接PM，
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由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，
在Rt△BCG中，P是CG的中点，
∴BP＝PG＝GC，
∵Q是GH的中点，
∴QG＝GH，
∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD，
∵CD＝3，
∴△GPQ的周长＝PM+PB+，
当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，
在Rt△BCM中，BM＝，
∴△GPQ的周长的最小值为.
故选B．
【点评】
本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路指引】
根据旋转的性质得到BH＝DF，AH＝AF ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAH＝∠DAF，得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，∠AEB＝∠AEF，于是得到BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB＝AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF＝BE+DF＝5，设BC＝CD＝n，根据勾股定理即可得到S△AEF＝15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN（SAS），从而得MQ＝MN，再证明∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，设MN＝x，再由勾股定理求出x即可．
【详解详析】
解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确；
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如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，
， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选A．
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【名师指路】
本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF和三角形AND.21教育网
10．如图，在正方形ABCD中，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
根据正方形的性质得出AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )D=DC=6，∠B=∠D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，即可得出∠GAE.
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2，
∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．
∴BG=GF=CG=3．
∴②正确；
∵BG=GF=CG=3，CD=3DE ，AB=AD=DC=6，DE=EF=2，
∴GE=GF+EF=5，AF=AB=6，
∴S△AGE=，
∴③错误；
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE．
∴∠DAE=∠FAE．
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG．
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．
∴④正确．
故选D．
【名师指路】
本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为______．
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【标准答案】17
【思路指引】
过E作EF⊥AC，垂足为F ( http: / / www.21cnjy.com )，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE＝AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，由FA＋AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．
【详解详析】
过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF＋∠AEF＝90°，∠EAF＋∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，
在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA＋AC＝8＋7＝15，
根据勾股定理得：CE＝＝17．
故答案为：17．
【名师指路】
此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______．
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【标准答案】
【思路指引】
如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．
【详解详析】
解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
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∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______．
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【标准答案】45°
【思路指引】
延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=即可解题．21cnjy.com
【详解详析】
解：如图，延长EB到点G，使得 BG=DF ，连接AG，
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在正方形ABCD中，
∠D=∠ABC=， AB=AD，
∴∠ABG=∠ADF=，
在△ABG 和 △ADF 中，
，
∴△ABG≌△ADF(SAS) ，
∴∠DAF=∠BAG ， AF=AG，
又 ∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，
∴ 在 △AEG 和 △AEF 中，
，
∴△AEG≌△AEF(SSS) ，
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=，
∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=，
∴∠EAG+∠EAF=，
∴∠EAF=．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．
14．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______________条件，才能保证四边形是矩形．【来源：21·世纪·教育·网】
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【标准答案】ACBD
【思路指引】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边互相垂直即可，然后只需要证明∠2为90°即可．
【详解详析】
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理可得GH∥BD，GH=BD，FG∥AC，FG=AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD.
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【名师指路】
本题考查矩形的判定，有一个角是90°的平行四边形是矩形和中位线定理，解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．
15．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是______形．
【标准答案】平行四边形
【思路指引】
根据中点四边形的性质判断即可；
【详解详析】
如图所示，
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四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案是平行四边形．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图，作辅助线，构建正方形，证明四边形PMCH是正方形，则CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，证明△PME≌△PHM'（SAS）和△DPM'≌△DPE（SAS），则△CDE的周长=CH+CM，计算CH+CM=AC+BC-AB=2，可得结论．
【详解详析】
解：如图，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PM⊥BC于M，在AH上取一点M'，使M'H=EM，连接PM'，
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∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，
∴PG=PM=PH，
∵∠PMC=∠C=∠PHC=90°，
∴四边形PMCH是正方形，
∴CM=CH=PH=PM，∠MPH=90°，
∵∠DPE=45°，
∴∠MPE+∠DPH=45°，
在△PME和△PHM'中，
，
∴△PME≌△PHM'（SAS），
∴PE=PM'，∠MPE=∠HPM'，
∴∠HPM'+∠DPH=∠DPH+∠EPM=45°=∠DPE，
在△DPM'和△DPE中，
，
∴△DPM'≌△DPE（SAS），
∴DE=DM'=DH+HM'=DH+ME，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+DH+EM
=CH+CM，
∵∠PGB=∠PMB=90°，∠PBG=∠PBM，
∴∠BPG=∠BPM，
∴BG=BM，
同理得：AG=AH，
Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=，
∴AG+BG=AH+BM=5，
∵AC+BC=3+4=7，
∴CH+CM=AC+BC-AH-BM=7-5=2，
∴点P到边AB的距离是PG=，△CDE的周长是2．
故答案为：，2．
【名师指路】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质等知识点，正确作辅助线，构建正方形PMCH是解题的关键．
17．如图，已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足∠EAF＝∠ECF＝45°，若△AEF的面积为，则△BEC与△DFC的面积之和为________．
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【标准答案】
【思路指引】
将△绕点C逆时针旋转90°至CD与CB重合，得△，且△，将△绕点A顺时针旋转90°至AD与AB重合，得△，且△，再证明△△△，根据求解即可．
【详解详析】
解：将△绕点C逆时针旋转90°至CD与CB重合，得△，且△，将△绕点A顺时针旋转90°至AD与AB重合，得△，且△，
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∴
连接
∵∠
∴∠
∴∠
即：∠
∵
∴△
∴
同理可得：△
∴
∴
∵
∴△
∴
故答案是：
【名师指路】
本题考查了运用旋转的性质求解，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．21*cnjy*com
18．如图，在四边形中，于，则的长为__________
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【标准答案】
【思路指引】
过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
【详解详析】
解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，
，
∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．
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【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，已知正方形ABCD，P是边BA延长线上的动点（不与点A重台），且AP＜AB，由平移得到，若过点E作EQ⊥AC，点Q为垂足，则有以下结论：①在点P运动过程中，四边形PECD可能为菱形；②无论点P运动到何处，都有DP＝PQ；③若∠DQC＝60°，则有2BE＝DP；④无论点P运动到何处，∠CQP一定大于135°．其中正确结论的序号为________．
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【标准答案】②③④
【思路指引】
根据直角三角形的斜边大于直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边，判定DP＞PE，可判断①是错误的；利用△PQE≌△DQA，证明△DPQ是等腰直角三角形即可；延长EB到M，使EB=BM，证明△CEM是等边三角形即可；利用∠CQP=180°-∠PQA，∠QAE=45°＞∠PQA，根据不等式的性质推理判断即可
【详解详析】
∵由平移得到，
∴△DAP≌△CBE，
∴PA=EB，
∴PA+AE=EB+AE，
∴PE=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA=AB，DC∥AB，∠DAP=90°，
∴DC=PE，DC∥PE，
∴四边形PECD是平行四边形，
在直角三角形DAP 中，
∵DP＞DA，
∴DP＞PE，
∴①是错误的；
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAQ=∠QAE=45°，
∵CQ⊥AE，
∴∠QEA=∠QAE=45°，
∴∠PEQ=∠DAQ，AQ=EQ，
∵PE=DA，
∴△PQE≌△DQA，
∴PQ=DQ，∠DQA=∠PQE，
∴∠DQP=∠AQE=90°，
∴△DPQ是等腰直角三角形，
∴DP＝PQ；
∴②正确；
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延长EB到M，使EB=BM，
∵∠QCD=45°，∠DQC=60°，
∴∠QDC=75°，
∴∠ADQ=15°，
∵∠PDQ=45°，
∴∠PDA=30°，
∵△DAP≌△CBE，
∴∠ECB=30°，
∴∠CEB=60°，
∵EB=BM，CB⊥EM，
∴CE=CM，
∴△CEM是等边三角形，
∴DP=CE=EB=2EB
∴③正确；
∵∠CQP=180°-∠PQA，∠QAE=45°＞∠PQA，
∴180°-45°＜180°-∠PQA，,
∴∠CQP＞135°，
∴④正确；
故答案为：②③④．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的全等和性质，不等式的基本性质，灵活运用正方形的性质，三角形的全等，判定两个核心三角形的形状是解题的关键．
20．如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．
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【标准答案】10
【思路指引】
过C作CG⊥AD，交AD延长线于 ( http: / / www.21cnjy.com )G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
【详解详析】
解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，
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在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝GC=12，
∵∠DCE＝45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°，
∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，
∴△EBC≌△FGC，
∴∠ECB＝∠FCG，
∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD，
∴ED＝DF，
∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，
设DE＝x，则DG＝x 4，
∴AD＝16 x，
在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，
∴x2＝（16 x）2＋82，
∴x＝10，
即DE＝10．
故答案为：10
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
21．问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市 ( http: / / www.21cnjy.com )花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
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【标准答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米．
【思路指引】
（1）利用外角的性质可求解；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积；
（2）将△BCD绕点B逆时针旋转6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．
【详解详析】
解：（1）如图1，延长BC交AD于E，
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∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，
∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°，
故答案为：115°；
（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠BCE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE，
∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，
∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，
∵BD=BE=6，∠DBE=90°，
∴S△BDE=×BE×BD=18，
∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；
（4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，
∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF=BD=DF，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADB+∠BDC=30°，
∴∠BFA+∠ADB=30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠FAD=90°，
∴DF=，
∴BD=(米)．
答：对角线BD的长度为米．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
22．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
【标准答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【思路指引】
（1）由“SAS”可证Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )M≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH；
（2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH；
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案．
【详解详析】
解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（S ( http: / / www.21cnjy.com )AS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，
∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，
∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝AH，
故答案为：AB＝AH；
（2）AB＝AH成立，理由如下：
延长CB至E，使BE＝DN，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，
∴Rt△AEB≌Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )ND（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠EAB＋∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS ( http: / / www.21cnjy.com )），
∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵沿AM，AN翻折△AMH ( http: / / www.21cnjy.com )和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，
设AH＝AB＝BC＝CD＝x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
23．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．
（1）当AG=1时，求EG的长；
（2）当AG的值等于 时，BE=8－2DF；
（3）过G点作GM⊥EG交CD于M
①求证：GB平分∠AGM；
②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．
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【标准答案】（1）；（2）（3）①见解析；②，理由见解析
【思路指引】
（1）根据EF是线段BG的垂直平分线，BE=EG，设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；
（2）过点F作FH⊥AB于H，连接FB，FG，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先证明四边形BCFH是矩形，得到CF=HB，则BH=EH=FC，设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=，由，，，可以得到①，②，联立①②求解即可得到答案；
（3）①先证明∠EBG=∠EGB，然后根据ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，即可得到∠AGB=∠BGM；
②连接BM，过点B作BH⊥GM，由角平分线的性质得到BH=AB=4，由，可以得到，由勾股定理可以得到即，最后解方程即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）∵EF是线段BG的垂直平分线，
∴BE=EG，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB=4，∠A=90°，
设EG=EB=x，则AE=AB-BE=4-x，
∵，
∴，
解得，
∴；
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（2）如图所示，过点F作FH⊥AB于H，连接FB，FG
∵EF是线段BG的垂直平分线，
∴BF=FG，
∵BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，
∴BE=2CF，
∵四边形ABCD是正方形，FH⊥AB，
∴∠HBC=∠C=∠BHF=90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴CF=HB，
∴BH=EH=FC，
设AG=x，BE=y，则AE=4-y，GD=4-x，CF=，
∵，，，
∴①，②，
联立①②解得或（舍去），
∴当时，BE=8-2DF，
故答案为：；
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（3）①∵EF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=BE，
∴∠EBG=∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，EG⊥GM，
∴∠A=∠EGM=90°，
∴∠ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，
∴∠AGB=∠BGM，
∴BG平分∠AGM；
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②如图，连接BM，过点B作BH⊥GM，
由（3）①得BG平分∠AGM，
∴BH=AB=4，
∵AG=x，CM=y，
∴DG=4-x，DM=4-y，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∴（不符合题意），
∴
∴．
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【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2-1-c-n-j-y
24．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．
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（1）求证：；
（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）四边形为正方形，理由见解析；（3）
【思路指引】
（1）由四边形为正方形，可得，推得，由，可得，可证即可；
（2）、为、中点，可得为的中位线，可证，，由点、、、分别是、、、的中点，可得PQ是的中位线，MQ为的中位线，NP为的中位线，可证，，，，，，可证四边形为平行四边形．再证四边形为菱形，最后证即可；
（3）延长交于点，由对称性可得，，，由勾股定理可求，可得，设，在中，，解得，在中，可求．
【详解详析】
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴∠AHB=90°，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：四边形为正方形，理由如下：
∵、为、中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵点、、、分别是、、、的中点，
∴PQ是的中位线，MQ为的中位线，NP为的中位线，，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为正方形．
（3）解：延长交于点，
由对称性可知
，，，
在中，
，
∴，
设，则，
在中，
，
，
∴，
在中，
．
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【名师指路】
本题考查正方形性质与判定，等角的余 ( http: / / www.21cnjy.com )角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．
25．在正方形和正方形中，，连接，H是的中点．
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（1）如图1，若点B、D、F在同一直线上，求的长；
（2）在（1）条件下，连接．求线段和的数量关系和位置关系，并证明；
（3）如图2，正方形绕点D旋转，使得点H在线段的延长线上，连接，求的长度．
【标准答案】（1）；（2）AH=GH，AH⊥GH，理由见解析；（3）
【思路指引】
（1）先利用勾股定理求出BD，DF的长，然后根据H为BF的中点求解即可；
（2）连接AC交BD于P，连接EG交DF于Q，证明△APH≌△HQG即可得到答案；
（3）过点F作FP⊥AH交AH的延长线于P，连接AG，GP，先证明△ABH≌△PFH，然后证明△AGP为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后证明△BDH≌△EHD即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB=AD=1，，∠A=∠G=90°，
∴，，
∵H为BF的中点，
∴；
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（2）AH=GH，AH⊥GH，理由如下：
如图所示，连接AC交BD于P，连接EG交DF于Q，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴，，∠APH=∠GQH=90°，
∴∠GHQ+∠HGQ=90°，
∴，，
∴，，
∴△APH≌△HQG（SAS），
∴AH=GH，∠AHP=∠HGQ，
∴∠AHP+∠GHQ=90°，
∴∠AHG=90°，
∴AH⊥GH；
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（3）如图，过点F作FP⊥AH交AH的延长线于P，连接AG，GP
∵AB⊥AH，
∴AB∥PF，
∴∠ABH=∠PFH，
在△ABH和△PFH中
∴△ABH≌△PFH（AAS），
∴AH=PH，AB=PF，
又∵AB=AD，
∴AD=PF，
∵∠HPF=∠FGD=90°，
∴∠ADG=∠PFG，
∴△ADG≌△PFG（SAS），
∴AG=PG，∠PGF=∠AGD，
∵∠PGF+∠PGD=90°，
∴∠AGD+∠PGD=90°，
∴△AGP为等腰直角三角形，
∴AH=GH，AH⊥GH，
设DH=x，则AH=GH=1+x，在Rt△DHG中，
∴，
解得，
∴DH=1，AH=GH=2，
∴，
∴∠FHG=∠FGH，
∵∠AHB+∠FHG=∠FHP+∠FHG=90°，∠FGH+∠DGH=90°，
∴∠AHB=∠DGH，
又∵∠EDH+∠GDH=∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠AHB=∠DGH=∠EDH，
连接BD，
在△BDH和△EHD中，
，
∴△BDH≌△EHD（SAS）
∴EH=BD=．
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26．如图．在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接．
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（1）求证；
（2）求的值；
（3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【思路指引】
（1）过E作交于点M，证明即可；
（2）连接，，证明，则易得△EAF是等腰直角三角形，从而可求得结果；
（3）连接，，过H作交延长线于G，易得，可得EG=AB，由勾股定理即可求得BE、AB、BH的关系．
【详解详析】
（1）过E作交于点M，如图1，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵．
∴，
∴；
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（2）连接，，如图2，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵H为中点，
∴；
（3）．
理由如下：
连接，，过H作交延长线于G，如图3．
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∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由（2）得，为等腰直角三角形，H为中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判官与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作辅助线证明三角形全等．
27．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
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（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
【标准答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，
【思路指引】
（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．从而得出EF=GE；
（2）思路和作辅助线的方法同（1）；
（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．
【详解详析】
（1）延长至，使，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（）（）中的结论仍成立，
证明：延长至，使，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，,
∵，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴≌，
∴，即．
（），
证明：在上截取使，
连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
【名师指路】
此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.
28．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）3
【思路指引】
（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；21教育名师原创作品
（2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
（3）在DN上取一点G，使得，连接AG，先证明，再证明，设，根据可求得，由此可得，最后再证明，由此即可求得答案．
【详解详析】
（1）证明：如图，延长到使，连接AG，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在与中，
，
，
，，
，，
∴，
，
，
在与中，
，
，
，
又∵，，
；
（2），理由如下：
如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在与中，
，
，
，，
∴，
∴，
又，
，
在与中，
，
，
，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
在与中，
，
，
，，
∴，
∴，
又，
，
在与中，
，
，
，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
，
，
∴CP的长为3．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的的关键．
29．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．
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（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．
【标准答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【思路指引】
（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证；
（2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证；
（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得．
【详解详析】
解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过点E作交CB的延长线于点G，
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∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴在中，，
在与中，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P，
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∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在与中，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键．【版权所有：21教育】
30．如图，正方形的边长为，点P从点A出发，以每秒的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于的直线l相交于点D，与y轴交于点E，连接，设点P运动的时间为t（秒）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）的度数为
（2）点D的运动总路径长为______：
（3）探索线段、、的数量关系，并说明理由；
（4）当为等腰三角形时，求t的值．
【标准答案】（1）45°；（2）；（3），见解析；（4）4或
【思路指引】
（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到BP=PD，由∠BPD=90°，从而可以求出∠PBE的度数；
（2）由△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，点D运动路径的长是∠COQ的平分线；
（3）将△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BAG，只要证明△PBG≌△PBE，推出PE=PG，推出PE=PA+AG=PA+CE；
（4）分三种情况讨论：①若PB=PE ( http: / / www.21cnjy.com )，得∠BPE=90°，则Q与O重合，不成立； ②若EB=EP，则△POE≌△ECB，得BC=OE，则点E与点C重合（EC=0），点P与点O重合（PO=0），则t=4； ③若BP=BE，延长OA到F，使得AF=CE，连接BF，如图2，证明△BAP≌△BCE和△FBP≌△EBP，用t表示PE的长，然后列方程求出t的值.
【详解详析】
解：（1）如图，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC， ∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°，
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ，
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ，
在△BAP和△PQD中，
∵∠BAP＝∠PQD，∠BPA＝∠PDQ，AB＝PQ，
∴△BAP≌△PQD（AAS），
∴BP=PD，
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°；
（2）∵△BAP≌△PQD，
∴DQ=AP，
∵AP=t，
∴DQ=t，
∴点D坐标为（t，t），
∴点D运动路径的长为∠COQ的平分线，即；
（3）如图，数量关系：PE=PA+CE
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：将△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BAG，
∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBE=∠ABP+∠ABG=45°，
∴∠PBG=∠PBE，
在△PBG和△PBE中，
∵PB＝PB，∠PBG＝∠PBF， BG＝BE，
∴△PBG≌△PBE（SAS），
∴PE=PG，
∴PE=PA+AG=PA+CE，
∴PE=PA+CE；
（4）①若PB=PE，
则∠PBE=∠PEB=45°，
∴∠BPE=90°，
∵∠BPD=90°，
∴∠BPE=∠BPD，
∴点E与点D重合，
∴点Q与点O重合，
与条件“DQ∥y轴”矛盾，
∴这种情况不成立，
②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°，
∴∠BEP=90°，
∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC，
∴△POE≌△ECB，
∴OE=BC，OP=EC，
∴OE=OC，
∴点E与点C重合（EC=0），
∴点P与点O重合（PO=0），
∵B（-4，4），
∴AO=CO=4， 此时t=AP=AO=4；
③若BP=BE，则△BAP≌△BCE，
∴AP=CE，
∵AP=t，
∴CE=t，
∴PO=EO=4-t，
∵∠POE=90°，
∴PE=，
延长OA到F，使得AF=CE，连接BF， 可证得△FAB≌△ECB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC，
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°，
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°，
∴∠FBP=∠EBP，
∴△FBP≌△EBP，
∴FP=EP，
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP，
∴EP=t+t=2t，
∴ （4-t）=2t， t=4-4，
∴当t=4秒或（4-4）秒时，△PBE为等腰三角形；
【名师指路】
本题是正方形与动点问题的综合题，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )动点问题的正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形，解题关键是深刻理解动点的路程、时间，理解两动点的完整运动过程，同时，采用了分类讨论一个三角形是等腰三角形的三种情况．21·世纪*教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题06 模型方法之平行四边形常考模型综合（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）21cnjy.com
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A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n
2．如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．10 C．8 D．6
3．如图，正方形ABCD的边长为3， ( http: / / www.21cnjy.com )E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．2 C．6 D．5
4．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：www-2-1-cnjy-com
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
6．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（ ）
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A． B．是等腰直角三角形
C．点P为中点 D．
7．如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
8．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
二、填空题
11．如图，在中，，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为______．21·cn·jy·com
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12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______．
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13．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______．
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14．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______________条件，才能保证四边形是矩形．【出处：21教育名师】
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15．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是______形．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE=45°，则点P到边AB的距离是__________，△CDE的周长是__________．21教育网
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17．如图，已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足∠EAF＝∠ECF＝45°，若△AEF的面积为，则△BEC与△DFC的面积之和为________．【版权所有：21教育】
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18．如图，在四边形中，于，则的长为__________
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19．如图，已知正方形ABCD，P是边BA延长线上的动点（不与点A重台），且AP＜AB，由平移得到，若过点E作EQ⊥AC，点Q为垂足，则有以下结论：①在点P运动过程中，四边形PECD可能为菱形；②无论点P运动到何处，都有DP＝PQ；③若∠DQC＝60°，则有2BE＝DP；④无论点P运动到何处，∠CQP一定大于135°．其中正确结论的序号为________．
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20．如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．
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三、解答题
21．问题探究
（（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________；
（2）如图②，在四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城 ( http: / / www.21cnjy.com )市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度．
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22．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．
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（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
23．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．
（1）当AG=1时，求EG的长；
（2）当AG的值等于 时，BE=8－2DF；
（3）过G点作GM⊥EG交CD于M
①求证：GB平分∠AGM；
②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．
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24．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．
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（1）求证：；
（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；21*cnjy*com
（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．
25．在正方形和正方形中，，连接，H是的中点．
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（1）如图1，若点B、D、F在同一直线上，求的长；
（2）在（1）条件下，连接．求线段和的数量关系和位置关系，并证明；
（3）如图2，正方形绕点D旋转，使得点H在线段的延长线上，连接，求的长度．
26．如图．在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接．
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（1）求证；
（2）求的值；
（3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．
27．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；21*cnjy*com
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（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
28．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．2-1-c-n-j-y
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．
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29．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．
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（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．21教育名师原创作品
30．如图，正方形的边长为，点P从点A出发，以每秒的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于的直线l相交于点D，与y轴交于点E，连接，设点P运动的时间为t（秒）
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（1）的度数为
（2）点D的运动总路径长为______：
（3）探索线段、、的数量关系，并说明理由；
（4）当为等腰三角形时，求t的值．
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