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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育名师原创作品
专题07 数形结合之四边形动点问题压轴题综合（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知 ABCD，点E ( http: / / www.21cnjy.com )是边BC上的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）【版权所有：21教育】
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
2．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
3．在平面直角坐标系中，长方形OA ( http: / / www.21cnjy.com )CB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（一3，0） B．（3，0） C．（0，0） D．（1，0）
4．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）21*cnjy*com
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A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
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A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
6．如图，P是菱形ABCD边上的一动点，它从 ( http: / / www.21cnjy.com )点A出发沿A→B→C的路径匀速运动到点C，点R 是 CD边的中点，点M，点N分别是线段AP，PR的中点，设P点运动时间为x，MN的长为y，则y关于x的函数图像大致为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（ ）
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A． B．8 C．6 D．
8．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点， ( http: / / www.21cnjy.com )F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
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A． B． C． D．
9．已知：如图1，矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图2，则下列结论：①a＝7；②b＝10；③当t＝3s时，△PCD为等腰三角形；④当t＝10s时，y＝12cm2．正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
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A．4 B．4.8 C．5 D．6
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，已知AD＝15c ( http: / / www.21cnjy.com )m，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值可以是__．
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12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，点E为x轴上一动点，当取最小值时，点E的坐标为____．2·1·c·n·j·y
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13．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________．
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14．如图，、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），．已知，连接、、，把沿折叠得．当、两点重合时，______；当、两点不重合时，若直线与距离为．若以、、、为顶点的四边形是矩形，______．
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15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且，，P，Q分别从A，C同时出发，以的速度由向运动，Q以2cm/s的速度由C出发在射线CB上运动，设运动时间为x秒，当___时，以A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形．
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16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD＝16cm，BC＝30cm，点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动；点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动、设运动的时间为t秒，M为BC上的一点，且CM＝12cm，t＝___s秒时，以D、E、M、F为顶点的四边形是平行四边形．
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17．如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
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（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
18．如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．
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（1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________；
（2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________．
19．如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为_____；若点P是上一个动点，则的最小值为_____．
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20．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
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三、解答题
21．如图，在等边三角形A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，边长为12cm，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：21·cn·jy·com
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一 ( http: / / www.21cnjy.com )时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，求出t的值，若不存在，说明理由www-2-1-cnjy-com
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22．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．
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（1）边的长度为___________，的取值范围为____________．
（2）从运动开始，当取何值时，？
（3）从运动开始，当取何值时，？
（4）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
23．在矩形中，，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为（）．21教育网
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（1）如图①，当时，四边形的面积是__________；
（2）如图②，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
（3）当点不落在上时，请直接写出是直角三角形时的值．
24．如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.www.21-cn-jy.com
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（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；21·世纪*教育网
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点A（a，0），C（b，c），且点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．若a，b，c满足．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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26．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．
（1）边的长度为________，的取值范围为________．
（2）从运动开始，当________时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
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27．如图，已知：平面直角坐标系中，正比例 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2），点B是第二象限内一点，且点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x2﹣36＝0的两个根．过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）直接写出k的值和点B的坐标：k＝ ；B（ ， ）；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位长度 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t，若△BPO的面积是S，试求出S关于t的函数解析式（直接写出t的取值范围）【出处：21教育名师】
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，以PQ为一边向直线PQ下方作正方形PQRS，求点R的坐标．
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28．如图，长方形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠B＝90°，AD＝BC＝20，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→A→ D的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．以PQ为边向右上方作正方形PQMN，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点 P、Q同时出发，运动时间为t秒（t＞0）．
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（1）AP＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在AD边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；21cnjy.com
（4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．
29．如图1，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．
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（1）则BC的长为 ，∠OBC的度数为 °；
（2）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由；2-1-c-n-j-y
（3）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．
（4）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，请直接写出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．
30．如图所示，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．21*cnjy*com
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（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点 ( http: / / www.21cnjy.com )是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题07 数形结合之四边形动点问题压轴题综合（解析版）
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一、单选题
1．已知 ABCD，点E ( http: / / www.21cnjy.com )是边BC上的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【标准答案】B
【思路指引】
延长BE，与GF的延长线交于点P，先 ( http: / / www.21cnjy.com )证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
【详解详析】
解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S AEFG＝S ADPE，
又∵ ADPE与 ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S ABCD＝S ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故 AEFG面积不变，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．21世纪教育网版权所有
2．如图，正方形的边长为4，两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，点依顺时针方向环行，点依逆时针方向环行．若的速度是的速度的3倍，则它们第2020次相遇在（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
【标准答案】A
【思路指引】
此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．21教育名师原创作品
【详解详析】
正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×＝2，乙行的路程为8 2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×＝4，乙行的路程为16 4＝12，在AB边相遇；
…
∵2020＝505×4，
∴甲、乙第2017次相遇在边AB上．
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
3．在平面直角坐标系中，长方形OACB ( http: / / www.21cnjy.com )的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（ ）
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A．（一3，0） B．（3，0） C．（0，0） D．（1，0）
【标准答案】D
【思路指引】
由于C、D是定点，则CD是定值，如果△C ( http: / / www.21cnjy.com )DE的周长最小，即DE＋CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D′，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小．
【详解详析】
如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E′与点E不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE，
∴△CDE的周长最小．
∵OB＝4，D为边OB的中点，
∴OD＝2，
∴D（0，2），
∵在长方形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，
∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，
∴，
即：，即：OE＝1，
∴点E的坐标为（1，0）
故选：D．
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【名师指路】
此题主要考查轴对称 最短 ( http: / / www.21cnjy.com )路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．【来源：21cnj*y.co*m】
4．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【标准答案】C
【详解详析】
略
5．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
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A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【标准答案】C
【思路指引】
是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．
【详解详析】
解：连接AC，BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
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（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是 BC的中点，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．
此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．
∵和都是等边三角形，
∴．
∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．
∵，
∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．
故选：C
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．21·世纪*教育网
6．如图，P是菱形ABCD边上的一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，它从点A出发沿A→B→C的路径匀速运动到点C，点R 是 CD边的中点，点M，点N分别是线段AP，PR的中点，设P点运动时间为x，MN的长为y，则y关于x的函数图像大致为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
连接AR，利用三角形的中位线即可对图象加以判断．
【详解详析】
解：如图所示，连接AR．
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∵M是AP的中点，N是PR的中点，
∴MN是的中位线．
∴．
即点P在符合条件的运动过程中，始终有．
∴．
∵A、R是定点，
∴AR是定值．
∴y是定值，与点P运动的时间x无关．
故选：D
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线的判定与性质、动点问题的函数图象等知识点，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．
7．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（ ）
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A． B．8 C．6 D．
【标准答案】B
【思路指引】
过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长．
【详解详析】
解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
∵菱形的边长为10，即AB=BC=10，
设BH=x，则AH=10+x，
则，
即，
解得：x=6，
∴AH=16，
∴CH==8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8，
故选B．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
8．已知，矩形ABCD中，E为AB上 ( http: / / www.21cnjy.com )一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【详解详析】
解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，
∴，，
设，，，，
∴
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，是x的系数，
∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴，
∴，
∴E是AB的中点，
∴，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．
9．已知：如图1，矩形ABCD中，E是边AD ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，且AE＝6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图2，则下列结论：①a＝7；②b＝10；③当t＝3s时，△PCD为等腰三角形；④当t＝10s时，y＝12cm2．正确的有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
根据点P运动的速度，可以确定某时刻点P的具体位置，再结合△BPC的面积与时间t函数关系的图象，可以得到问题的解答．
【详解详析】
解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t＝5时，△BPC面积最大为40，
∴BE＝5×2＝10．
∵ BC AB＝40，
∴BC＝10．
则ED＝10﹣6＝4．
当P点从E点到D点时，所用时间为4÷2＝2s，
∴a＝5+2＝7．
故①正确；
P点运动完整个过程需要时间t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11，②错误；
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当t＝3时，BP＝AE＝6，
又BC＝BE＝10，∠AEB＝∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∴△BPC≌△EAB（SAS），
∴CP＝AB＝8，
∴CP＝CD＝8，
∴△PCD是等腰三角形，故③正确；
当t＝10时，P点运动的路程为10×2＝20cm，此时PC＝22﹣20＝2，
△BPC面积为×10×2＝10cm2，④错误．
∴正确的结论有①③，共2个．
故选：B．
【名师指路】
本题考查矩形性质与函数图象的综合应用，正确理解函数图象各点意义、综合应用等腰三角形和平行线的性质是解题关键．
10．如图，菱形ABCD的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
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A．4 B．4.8 C．5 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解详析】
连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
二、填空题
11．如图，在 ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值可以是__．
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【标准答案】0或6或10或12
【思路指引】
由四边形ABCD为平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由PD=BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
设运动时间为t．
当0≤t≤时，AP＝t，PD＝15﹣t，CQ＝4t，BQ＝15﹣4t，PD=BQ
∴15﹣t＝15﹣4t，
3t＝0，
∴t＝0；
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当＜t≤时，AP＝t，PD＝15﹣t，BQ＝4t﹣15，PD=BQ,
∴15﹣t＝4t﹣15，
解得：t＝6；
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当＜t≤时，AP＝t，PD＝15﹣t，CQ＝4t﹣30，BQ＝45﹣4t，PD=BQ,
∴15﹣t＝45﹣4t，
解得：t＝10；
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当＜t≤15时，AP＝t，PD＝15﹣t，BQ＝4t﹣45，PD=BQ,
∴15﹣t＝4t﹣45，
解得：t＝12．
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综上所述：当运动时间为0秒或6秒或10秒或12秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．21*cnjy*com
12．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，点E为x轴上一动点，当取最小值时，点E的坐标为____．21*cnjy*com
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【标准答案】
【思路指引】
首先根据题意作图找到点的位置，然后由正方形性质得到，再利用勾股定理得到 ，进而得到点的坐标，最后利用待定系数法可得到直线 的解析式，求出点的坐标即可．
【详解详析】
解：作关于轴对称的点，连接 与轴的交点即为所求点．
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∵轴垂直平分，
∴
∴
即当动点在点的位置时，的值最小
∵，
∴，
∴，，
∴直线的函数解析式为：，
∴点的坐标为．
故答案为．
【名师指路】
本题考查了最短距离问题、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，准确的找到点所在的位置是解决本题的关键．
13．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________．
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【标准答案】5
【思路指引】
过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，，当时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
【详解详析】
解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
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∵F为AP的中点， ，
∴FE为△APM的中位线，
∴ ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当时，PM最短，
此时 ，
∵，
在 中，，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键PM⊥AD．
14．如图，、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），．已知，连接、、，把沿折叠得．当、两点重合时，______；当、两点不重合时，若直线与距离为．若以、、、为顶点的四边形是矩形，______．
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【标准答案】6 ，，
【思路指引】
当A1与 D重合时， 由CD=AB，CD∥AB，可得四边形ABDC为平行四边形，由AD⊥BC，可证四边形ABDC为菱形即可；当、两点不重合时，过B作BE⊥CD与E，分三种情况，情况一：点A1在直线b上，利用勾股定理；情况二：点A1在直线的上方，在Rt△OBE中则，，情况三：点A1在直线的上方，在Rt△OBE中则，即可．
【详解详析】
当A1与 D重合时，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴四边形ABDC为平行四边形，
又∵点A与点A1关于BC对称（点A1与点D重合）
∴AD⊥BC，
∴四边形ABDC为菱形，
所以AC=AB=6cm;
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当、两点不重合时，过B作BE⊥CD与E，
情况一：点A1在直线b上，矩形
∴CB⊥AB，
在Rt△ABC中，，
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则；
情况二：点A1在直线的上方，矩形，
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，，在Rt△OBE中
则，
∴，
情况三：点A1在直线的上方，矩形，
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，，在Rt△OBE中
则，
，
∴AC的长为或或．
故答案为或或．
【名师指路】
本题考查菱形的判定与性质， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形的性质，勾股定理，点到直线距离，轴对称性质，掌握菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，点到直线距离，轴对称性质是解题关键．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且，，P，Q分别从A，C同时出发，以的速度由向运动，Q以2cm/s的速度由C出发在射线CB上运动，设运动时间为x秒，当___时，以A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形．
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【标准答案】2或6
【思路指引】
以A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形．分情况分析，当点Q位于B点右侧时，有，当点Q位于点B左侧时，有，据此回答即可．
【详解详析】
解：运动时间为x秒，
，
当Q位于B点右边时，
四边形ABQP为平行四边形，
，
，
；
当Q位于B点左侧时，
四边形AQBP为平行四边形时，
,，
，
解得：；
故答案为：2或6．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质列出关于x的方程是解题的关键，注意分类讨论．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD＝16cm，BC＝30cm，点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动；点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动、设运动的时间为t秒，M为BC上的一点，且CM＝12cm，t＝___s秒时，以D、E、M、F为顶点的四边形是平行四边形．
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【标准答案】4或12
【思路指引】
由题意得出DE＝t，CF＝2t，当点F在点M ( http: / / www.21cnjy.com )的右边；当点F在点M的左边；以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，分别得出方程，解方程即可．
【详解详析】
解：由题意得：DE＝t，CF＝2t，
∵AD∥BC，
当点F在点M的右边MF＝12 2t，
以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF，
即t＝12 2t，
解得：t＝4；
当点F在点M的左边MF＝2t 12，
以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )时，DE＝MF，
即t＝2t 12，
解得：t＝12；
综上所述，t＝4s或12s时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：4或12．
【名师指路】
本题考查了直角梯形、平行四边形的判定、一元一次方程的应用；熟练掌握平行四边形的判定，由DE＝MF得出方程是解题的关键．
17．如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
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（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
【标准答案】
【思路指引】
（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．
【详解详析】
解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝AD AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（ 4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点在点时，，
解得：，即，，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
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y＝S正方形ABCD S△ABE S△PEC S△APD
＝4×4 ×4×1 ×3×1 ×4×3＝，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
18．如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．
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（1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________；
（2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________．
【标准答案】2 8-≤S≤8
【思路指引】
（1）由于四边形ABCD为矩形，四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M ( http: / / www.21cnjy.com )，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【详解详析】
解：（1）如图1，当菱形HEFG为正方形时，∠EHG=90°，GH=EH，
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∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠DHG+∠AHE=∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DHG=∠AEH，
在△GDH和△HAE中，
，
∴△GDH≌△HAE（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）如图2，过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，
，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×CG=CG，
设DG=x，则S△FCG=8-x，
在△AHE中，AE≤AB=8，
∴HE2≤68，
∴x2+16≤68，
∴x≤，
∴8-x≥8-，
∴S△FCG的最小值为8-，此时DG=，S△FCG的最大值为8，此时DG=0，
∴在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为：8-≤S≤8，
故答案为：8-≤S≤8．
【名师指路】
本题考查了矩形、菱形、正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为_____；若点P是上一个动点，则的最小值为_____．
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【标准答案】2
【思路指引】
连接PD，BD，作于点H，于点G，，就可以算出菱形的边长．由四边形ADEF是菱形，推出F、D关于直线AE对称，推出，推出，由，推出的最小值是线段BD的长．
【详解详析】
解：如下图：
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连接PD，BD，作于点H，于点G，
∵四边形ADEF是菱形，
∴F、D关于直线AE对称，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是线段BD的长，
，设，则，，
∵，，
∴，
∴
∴，即菱形的边长为2．
∴，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：2；
【名师指路】
本题考查轴对称（距离最短问题），菱形的性质等相关知识点，解题的关键是要学会用转换的思想思考问题，用轴对称求最短距离是数学常用的方法．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
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【标准答案】①②③④．
【思路指引】
先根据矩形的性质与AD＝AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分类讨论，当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，则：，从而点M、N的运动速度不同，当点M运动到AB的中点时，，由AM减小的速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，当点M在AB的中点时，才满足，得出结论．
【详解详析】
解：∵AD＝AB，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，
∵点O为BD的中点，
∴AB=AO=BO，
设AB=1，则AD=，BD=2．
①当点M与点B重合时，点N是BD的垂直平分线与AD的交点，
令AN=x，则BN=DN=，
∴，
解得：，
∴AN=，
当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，
则：，
从而点M、N的运动速度不同，故①说法正确，符合题意；
②当点M运动到AB的中点时，，故②说法正确，符合题意；
③由①得到，AM减小的速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，故③说法正确，符合题意；
如图，延长MO交CD于M'，
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∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC，
∴△OMB≌△OM'D（ASA），
∴BM=DM'，OM=OM'，连接NM'，
∵NO⊥MM'，则MN=NM'，
∵NM'2=DN2+DM'2，
∴MN2=BM2+DN2，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确定边之间的关系，得出结论．
三、解答题
21．如图，在等边三角形AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，边长为12cm，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一 ( http: / / www.21cnjy.com )时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，求出t的值，若不存在，说明理由
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【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【思路指引】
（1）由等边三角形的性质得，求出，则，再由题意得：，，则，得，求解即可；
（2）过点作于，过点作于，由含角的直角三角形的性质得，，则，，再由勾股定理得，，得，证是等边三角形，得，然后求出，，求解即可；
（3）①当四边形是平行四边形时，则，证是等边三角形，得，则，求解即可；
②当四边形是平行四边形时，则，同①得是等边三角形，得，则，求解即可．
【详解详析】
解：（1）是等边三角形，
，
，
，
，
，
由题意得：，，则，
，
解得：，
当为时，；
（2）过点作于，过点作于，如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当点在线段上时，与的关系式为：；
（3）存在，理由如下：
①当四边形是平行四边形时，如图2所示：
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则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②当四边形是平行四边形时，如图3所示：
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则，
同①得：是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或时，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【名师指路】
本题是四边形综合题目，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明△BQE是等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型．21教育网
22．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．
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（1）边的长度为___________，的取值范围为____________．
（2）从运动开始，当取何值时，？
（3）从运动开始，当取何值时，？
（4）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）10，；（2）当时，；（3）当或时，；（4）不存在，理由见解析
【思路指引】
（1）过点 作 于点 ，可得四边形 是矩形，从而，，利用勾股定理即可求解；先求出两点到达端点的时间，即可解答；
（2）由题意知，当时，四边形为平行四边形，则．可得，解出即可；
（3）过点，作边的垂线，垂足分别为，当时，四边形为梯形（腰相等）或者平行四边形，均满足．分两种情况解答即可；
（4）由（2）可得，即可解答．
【详解详析】
解：（1）如图，过点 作 于点 ，
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∵，，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵，，，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
∴ ；
点到达端点时，所用时间 ，点到达端点时，所用时间 ，
∵规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
∴的取值范围为；
（2）由题意知，当时，四边形为平行四边形，则．
∵ ，，
∴，
∴，解得．
∴当时，．
（3）如图，分别过点，作边的垂线，垂足分别为，
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当时，四边形为梯形（腰相等）或者平行四边形，均满足．
∵，
∴四边形是矩形，四边形 是矩形，
∴， ，
∵，，
∴，
当四边形为梯形（腰相等）时，
，
∴．解得．
∴当时，．
当四边形为平行四边形时，由（2）知当时，，
∴综上，当或时，；
（4）不存在．理由如下：
要使四边形是菱形，则四边形一定是平行四边形．
由（2）知当时，四边形是平行四边形．此时，而，
∴，即四边形不可能是菱形，
∴不存在值，使得四边形是菱形．
【名师指路】
本题主要考查了四边形的综合问题，平行四边形的性质和判定，以及菱形的判定，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
23．在矩形中，，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为（）．
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（1）如图①，当时，四边形的面积是__________；
（2）如图②，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
（3）当点不落在上时，请直接写出是直角三角形时的值．
【标准答案】（1）4；（2）；（3）或 或；
【思路指引】
（1）当时，PB=1，根据题意得：四边形的面积是，即可求解；
（2）当点落在上时，显然是直角三角形，在矩形中，可得AC=5，从而，又有，，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）根据题意，可分三种情况：当，在上时；当，在的延长线上时；当时，进行讨论即可求解．
【详解详析】
解：（1）当时，PB=1，
∵AB=4，
∴根据题意得：四边形的面积是 ；
（2）如图②中，
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四边形是矩形，
．
∵，，
，
作关于直线的对称，
，，
，，
在中，，
，
解得：；
（3）满足条件的的值为或 或；
如图②-1中，当，在上时，PC=BC-PB=3-t，
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四边形是矩形，
，，，
，
．
在中，，
，
；
如图②-2中，当，在的延长线上时，PC=PB-BC=t-3，
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在中，，
，
在中，则有：，
解得；
如图②-3中，当时，
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，
∴四边形为矩形，
∵，
四边形为正方形，
，
∴，
综上所述，是直角三角形时的值为或 或．
【名师指路】
本题主要考查了图形的变换——轴对称，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
24．如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
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（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
【标准答案】（1）cm，45°；（2）存在，x=4cm；（3）在CG=的位置，x=6.5
【思路指引】
（1）过点D作DM⊥BC于M，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等 ( http: / / www.21cnjy.com )可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；
（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分 ( http: / / www.21cnjy.com )别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，
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∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC-BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=CM=cm，∠DCB=45°；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，
，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；
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（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，
则AB∥GP，
∴∠AEG=∠PGE，
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在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∴∠FEG=∠HGE，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，
，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，CG=PG=，
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=22+x2，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6-2）2+（12-x）2，
∵EF=EH，
∴22+x2=（6-2）2+（12-x）2，
解得x=6.5．
∴CG=，x=6.5．
【名师指路】
本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求 ( http: / / www.21cnjy.com )解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点A（a，0），C（b，c），且点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．若a，b，c满足．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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【标准答案】（1）；（2）；（3），，，，．
【思路指引】
（1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，可求出a，b，c，再利用平行四边形性质和平移坐标的变化规律即得点的坐标；
（2）根据四边形是平行四边形，得到，即，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当时，过作于，则，得到，求出点，②当时，过作于，根据等腰三角形三线合一求OF，得，；③当时，过作于，则，根据勾股定理求出OG，得到．
【详解详析】
解：（1）∵，
∴，，，
解得：，，，
∴A（10，0），C（2，4），
如图1，过作于，过作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是平行四边形，
，，
，的坐标分别为，，
，
；
（2）设点运动秒时，四边形是平行四边形，
由题意得：，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
当秒时，四边形是平行四边形；
（3）如图2，①当时，过作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
，
当P在点D右侧时，点的坐标为，
当P在点D左侧时，点与点重合，点坐标为；
②当时，过作于，
则，，
，；
③当时，过作于，
则，
，
，
综上所述：当是等腰三角形时，点的坐标为，，，，．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰三角形的性质，勾股定理、非负数性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题基础，分类讨论等腰三角形的可能情况是解题的关键．【版权所有：21教育】
26．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为ts．
（1）边的长度为________，的取值范围为________．
（2）从运动开始，当________时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1），；（2）或；（3）不存在，见解析．
【思路指引】
（1）过点作于，再利用勾股定理，即可得出结论，用点，的运动速度，即可求出t的范围；
（2）构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
（3）先利用求出时间，再求出，进而得出，判断，即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点作于，
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，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
根据勾股定理得，，
点在上运动，
，
点在上运动，
，
，
故答案为，；
（2）如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点作于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
或，
故答案为或；
（3）不存在，理由：
得四边形是菱形，
，
，
，
此时，，
而，
四边形不可能是菱形．
【名师指路】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
27．如图，已知：平面直角坐标系中，正 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣2），点B是第二象限内一点，且点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x2﹣36＝0的两个根．过点B作BC⊥x轴于点C．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）直接写出k的值和点B的坐标：k＝ ；B（ ， ）；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )长度的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t，若△BPO的面积是S，试求出S关于t的函数解析式（直接写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，以PQ为一边向直线PQ下方作正方形PQRS，求点R的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）k=1，B（-6,6）；（2）；（3）（8，-2）或（16,2）
【思路指引】
（1）将点（﹣2，﹣2）代入正比例函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝kx（k≠0）可得k=1，解一元二次方程x2﹣36＝0根据点B位于第二象限内判断横纵坐标，进而得出点B坐标；
（2）通过点B求出点C坐标，将运动分为两部分，当时，点P在x轴负半轴，表示出OP，进而表示出△BPO的面积S即可，同理，当时， 点P在x轴正半轴，表示出OP，进而表示出△BPO的面积S即可；
（3）分两种情况分别解得当S＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6时点P的坐标，算出直线BP的斜率，进而解得PQ的斜率，算出直线PQ的解析式，得出点Q坐标，进而得到PQ的长度，表示出R点的坐标，根据正方形的性质边长相等即可得出方程求得点R的坐标．
【详解详析】
解：（1）将点A（-2，-2）代入y＝kx可得，
k=1，
∴正比例函数的解析式为，
∵x2﹣36＝0，
∴，
∴，
又∵点B是第二象限内一点，
∴B（-6,6）；
（2）①当时，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，
∴，
②当时，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴，
∴综上所述，；
（3）①当，S=6时，
即，，
如下图3所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
∵直线PQ与直线相交于点Q，
∴ ，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴（不符合题意舍去），，
∴，
②当，S=6时，
即，，
如下图4所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
∵直线PQ与直线相交于点Q，
∴ ，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，将代入，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴（不符合题意舍去），，
∴，
综上所述，点R的坐标为（8，-2）或（16,2）
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系的几何问题，属于一次函数综合题，涉及的知识点有：解方程，待定系数法，正方形的性质，分类思想的运用，综合性较强．
28．如图，长方形ABCD中，AD∥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝90°，AD＝BC＝20，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→A→ D的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．以PQ为边向右上方作正方形PQMN，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点 P、Q同时出发，运动时间为t秒（t＞0）．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）AP＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在AD边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
（4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．
【标准答案】（1），或；（2）；（3），或；（4），或，．
【思路指引】
（1）分两种情况判断：当点P沿B→A的方向运动时，当点P沿A→D的方向运动时，分别分析求解即可；
（2）根据点N在AD边上，四边形是正方形，可证，得到 ,即有，求解即可；
（3）分几种情况讨论：当正方形在长方形内时，正方形与长方形 的重叠部分为四边形；当点运动到点的位置时，正方形与长方形 的重叠部分为三角形；当点 运动到点的位置时，点与 点重合，正方形 与长方形 的重叠部分也为三角形；当点运动到点 的位置，点 与 不重合时，正方形与长方形 的重叠部分 是四边形；当点 运动到点 的位置时，点 与点重合，并点停止运动，正方形 与长方形 的重叠部分是三角形，据此分析，可得：当 ，时，正方形 与长方形的重叠部分是四边形；则有，当 ，正方形 与长方形的重叠部分是四边形时，重叠部分的面积就是正方形的面积，当 ，正方形 与长方形的重叠部分是四边形时，根据重叠部分的面积 ，据此分别求解即可；
（4）根据（3）的分析，找出正方形与长方形的重叠部分是三角形时的取值范围即可．
【详解详析】
解：（1）依题意得：
当点P沿B→A的方向运动时，，
∴，
当点P沿A→D的方向运动时，
，
故答案是：，或 ；
（2）如图示，点N在AD边上，
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∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵四边形是长方形，
∴，
∴,
∴,
∴,
即有：，
解之得：；
（3）当正方形在长方形内时，正方形与长方形 的重叠部分为四边形，
由（2）可知，时，正方形在长方形内，
则：，
如图1所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
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此时点与点重合，
∴ ，
且，
如图2所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形的重叠部分也为三角形，
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此时点与点重合，
∵，是正方形，
∴，
∴，
∴，
如图3所示，当点运动到点的位置时，点与不重合时，正方形与长方形 的重叠部分是四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图4所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形 的重叠部分是三角形，此时点与点重合，并点停止运动，21cnjy.com
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∴，
综上所述，当，时，正方形与长方形 的重叠部分是四边形；
当，时，正方形与长方形 的重叠部分是三角形；
∴当，正方形与长方形的重叠部分是四边形时，
如图5所示
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重叠部分的面积，
当，正方形与长方形的重叠部分是四边形时，
如图6所示
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，，
∴，
∴重叠部分的面积
∴当正方形与长方形的重叠部分是四边形时，
，或
（4）由（3）可知，当，或时，正方形与长方形 的重叠部分是三角形
【名师指路】
本题属于四边形的动点综合题，考查了正方形的性质，等腰梯形的面积，等积法的应用等知识点，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
29．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．
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（1）则BC的长为 ，∠OBC的度数为 °；
（2）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．
（4）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，请直接写出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．
【标准答案】（1）；；（2）存在，点P的坐标为（2，3）；理由见详解；（3）点F的坐标为（6，1）；（4）点Q的最大运动路径长为．
【思路指引】
（1）过点C作CH⊥OB于H，证明△BCH是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）由题意，根据正方形的性质，只要证明△ADP≌△OED，即可得到答案；
（3）过点F作FN⊥OB于N，延长NF、AC交于点M，证明△PFM≌△EDO，然后求出ON=6，即可得到答案；
（4）过点F作FN⊥x轴于N，延长NF，交直线AC于M，连接DF、PE，交于点Q，结合菱形的性质和勾股定理，得到点Q的坐标为（，）；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案．
【详解详析】
解：（1）过点C作CH⊥OB于H，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），
∴CH=3，OH=4，BH=74=3，
∴BH=CH，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴，；
故答案为：；．
（2）存在；
理由如下：如（1）图，
∵四边形PDEF为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△ADP≌△OED（AAS），
∴，
∴点P的坐标为（2，3）；
（3）如图，过点F作FN⊥OB于N，延长NF、AC交于点M，则四边形AONM是矩形，此时NM=OA=3；
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PM∥OE，PF∥DE，
∴∠MPF=∠OED，
∵MF∥OD，PF∥DE，
∴∠PFM=∠ODE，
∵PF=DE，
∴△PFM≌△EDO（ASA），
∴FM=OD=2，
∴FN=1，
∵，
∴BN=1，
∴ON=6，
∴点F的坐标为（6，1）；
（4）如图，过点F作FN⊥x轴于N，延长NF，交直线AC于M，连接DF、PE，交于点Q，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（3）可知，△PFM≌△EDO（ASA），
∴FM=OD=2，AD=FN=1，PM=EO，
∴AP=NE，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，1），
∴DF的中点Q的坐标为（，）；
∴点F在直线上运动，点Q在直线上运动，且横坐标的值随DE的增大而增大；
当点E在原点时，即，此时Q为（，）；
当点E在最右端时，即的值最大，此时点F恰好在BC上，即F（6，1）；
∴，
∴，
∴点Q为（3，）；
∴点Q的最左端坐标为（，），最右端的坐标为（3，）；
∴点Q的最大运动路径长为：．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质，菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段的长度，等腰直角三角形的性质，动点的运动问题等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确的找出运动的临界点，从而进行解题．2-1-c-n-j-y
30．如图所示，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．【出处：21教育名师】
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（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 ( http: / / www.21cnjy.com )Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
【标准答案】（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）
【思路指引】
（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图1，作点D关于x轴的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝，在Rt△D′EG中，可得，即可求出答案；
（3）运用待定系数法求得直线D′ ( http: / / www.21cnjy.com )E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案．
【详解详析】
解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
（2）存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，
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在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝，
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝；
（3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，
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设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝2﹣t）＝QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数的性质，线段的动点问题，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行分析．21·cn·jy·com
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