中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题09 数形结合之四边形综合压轴题（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B 、∠C、 ∠D 的角平分线恰相交于一点P，记作△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为、、、则下列关系式正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
2．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．17
C．18 D．19
3．顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（2019·上海·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，21·世纪*教育网
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
5．（2019·上海·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）任意四边形各边中点分别是，若对角线和的长都为20，那么四边形的周长是________________.【来源：21cnj*y.co*m】
7．（2019·上海·上外附中八年级月考）等腰梯形一个内角为，下底长为，梯形面积为，则梯形的周长为_________21教育名师原创作品
8．（2020·上海嘉烁 ( http: / / www.21cnjy.com )教育培训有限公司七年级期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E，点H在边CD上，已知AD=a,EB=b，请用a、b代数式表示图中阴影部分的面积S=_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是____（只要写出一种即可）．21*cnjy*com
10．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021·上海市民办华育中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021·上海虹口·二模）当一个 ( http: / / www.21cnjy.com )凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______．
13．（2021·上海徐汇·八年级期末）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2019·上海市建承中学九年级期末）如图，有一菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点恰好与的中点重合，折痕为，点、分别在边、上，联结，那么的值为___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2020·上海金山 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________
16．（2021·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
17．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．求证：四边形EBCA是等腰梯形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．如图，已知在梯形中，，是下底上一动点（点与点不重合），，，，，设，四边形的面积为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．
20．（2021·上海松江·八年级期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)．
（1）求证：图中的四边形是平行四边形；
（2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长：
（3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．（2021·上海长宁·八年级期末）如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：线段、互相平分；
（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．
22．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）如图，点O是ABC中AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F2-1-c-n-j-y
（1）求证：EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且B=，问：的值为多少？（直接写出结果）
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．（2020·上海松江·八年级期末）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），【版权所有：21教育】
，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域；
（3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长．
24．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）已知：如图所示，四边形中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）当时，若点分别在边上，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，是等腰三角形，使用含的代数式表示．
25．（2021·上海市南洋模范初级中学 ( http: / / www.21cnjy.com )七年级期中）在长方形ABCD中，AB=3a厘米，BC=a厘米，点P沿AB边从点A开始向终点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向终点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，以t（秒）表示移动的时间，21世纪教育网版权所有
（1）用含有a、t的代数式表示△APC的面积
（2）求△PQC的面积（用含有a、t的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
26．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若线段与线段相交点，则：
图1中的取值范围是________；
图3中的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；21*cnjy*com
（4）如图3，当时，直接写出的值．
27．（2021·上海虹口·八年级期末）在梯形中，．过点D作交边于点E，过点A作交边于点F，交射线于点P．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图，当点F与点E重合时，求边的长；
（2）如图，当点P在梯形内部时，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结，当时，求边的长．
28．（2021·上海崇明·八年级期末）实践操作：
( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平；21cnjy.com
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是__________；
（2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，，求线段DF的长．
29．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，如果，，，求的面积；
（3）如果，，当是直角三角形时，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
30．（2021·上海静 ( http: / / www.21cnjy.com )安·八年级期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·世纪*教育网
专题09 数形结合之四边形综合压轴题（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B 、∠C、 ∠D 的角平分线恰相交于一点P，记作△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为、、、则下列关系式正确的是（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
由条件可知P为四边形ABCD的内切圆的圆心， ( http: / / www.21cnjy.com )作出该圆，分别作出P到各边的距离，可把四边形分为八个三角形，再利用面积和可得△APD、△APB、△BPC、△DPC面积之间的关系.21*cnjy*com
【详解详析】
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形ABCD，∠A、∠B 、∠C、 ∠D 的角平分线恰相交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别为a、a、b、b、c、c、d、d
则=a+d =a+b =b+c =c+d
∴+=a+b+c+d=+
故选 A
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质，由条件得到P为四边形的内切圆的圆心是解题的关键.
2．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．16 B．17
C．18 D．19
【标准答案】B
【详解详析】
如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
3．顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【标准答案】B
【详解详析】
分析：因为等腰梯形的对角线相等，根据三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，即可判定为菱形．
详解：如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD.
∵四边形ABCD为等腰梯形，且E、F、G、H是各边中点，
根据三角形中位线定理得，
EF=GH=BD，FG=EH=AC，
∴EF=GH=FG=EH.
∴四边形EFGH为菱形.
故选B.
点睛：本题本查了等腰梯形的性质和三角形中位线的性质.根据题意画出图形并做出辅助线是解题的关键.
4．（2019·上海·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB sin∠ABD=2 sin45°=2 =2＞，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，
∵sin∠CDF=，
∴CF=CD sin∠CDF= =1＜，
所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，
所以P到BD的距离为的点有2个，
故选B．
此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
二、填空题
5．（2019·上海·八年级月考）在正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
利用轴对称最短路径求法，得出A点关于BD的对称点为C点，再利用连接EC交BD于点P即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
【详解详析】
解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的长度
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，
∴BC=AB=3，
∴CE= == ，
故答案为.
【名师指路】
本题考查利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出A，C关于BD对称是解题关键．
6．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）任意四边形各边中点分别是，若对角线和的长都为20，那么四边形的周长是________________.
【标准答案】40
【思路指引】
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC或BD的一半,进而求得四边形周长即可
【详解详析】
∵B,F,G,H,是四边形ABCD各边中点
∴HG=AC，EF=AC,GF=HE=BD
∴四边形EFGH的周长是
HG+EF+GF+HE= (AC+AC+BD+ BD)
=×(20+20+20+20)
=40
故答案为40
【名师指路】
此题考查中点四边形，解题关键在于利用三角形中位线定理
7．（2019·上海·上外附中八年级月考）等腰梯形一个内角为，下底长为，梯形面积为，则梯形的周长为_________
【标准答案】12
【思路指引】
作于E，作于F，设，表示出等腰梯形的腰、高、上底，用面积列出关于的方程，解出即可求出梯形的周长.
【详解详析】
解：如图：等腰梯形，，，，，梯形面积为，作于E，作于F，设，
∴，，，
∴四边形是矩形
∴,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵等腰梯形，，
∴，
又∵,，
∴≌（AAS），
∴，
∴，
∵，，
∴，,
∴，，
∵梯形面积为，
∴=，即，解得：，
又∵，
∴，
∴梯形的周长为=12.
故答案为：12.
【名师指路】
本题考查了矩形的判定与性质定理，三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质，梯形的面积，解题的关键是用字母表示相关线段.
8．（2020·上海嘉烁教 ( http: / / www.21cnjy.com )育培训有限公司七年级期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E，点H在边CD上，已知AD=a,EB=b，请用a、b代数式表示图中阴影部分的面积S=_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据阴影面积等于长方形ABCD的面积减去四分之一圆的面积减去△HEB的面积计算即可.
【详解详析】
∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=90°由∵AD=a，EB=b，
∴，，
∴
【名师指路】
本题考查了整式的加减运算，解题的关键是理清题意能懂图形之间的关系.
9．在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是____（只要写出一种即可）．
【标准答案】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等
【详解详析】
由题,点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，所以在△ABD中,EH是其中位线,所以EH=BD,EH∥BD,在△BCD中,FG是其中位线,所以FG=BD,FG∥BD,所以四边形EFGH是平行四边形,同理,EF=AC,如果BD=AC,则EH=EF,此时如果四边形EFGH为菱形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
考点：三角形中位线和菱形的判定.
10．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，同理可得且，且，然后证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
【详解详析】
解：还应满足．
理由如下：，分别是，的中点，
且，
同理可得：且，且，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
是菱形．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查了中点四边形，其中涉及到了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得到四边形的对边平行且相等从而判定出平行四边形是解题的关键，也是本题的突破口．
11．（2021·上海市民办华育中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】10
【思路指引】
要使DN＋MN最小,首先应分析点N的位 ( http: / / www.21cnjy.com )置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值及时BM的长．
【详解详析】
根据题意，连接BD，BM，则BM就是DN＋MN的最小值，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，
根据勾股定理得：，
即DN＋MN的最小值是10，
故答案为：10．
【名师指路】
本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关键．
12．（2021·上海虹口·二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______．
【标准答案】75°
【思路指引】
根据“等腰四边形”定义画出图形，对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，所以△ABD中分两种情形进行讨论即可；
【详解详析】
解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，
∴△CBD和△ABD为等腰三角形．
由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．
当①AB＝BD时，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．
∴BC＝CD＝BD．
∴△BDC为等边三角形．
∴∠DBC＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°．
当②AD＝BD时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴BE＝AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD为矩形．
∴DF＝BE＝AB．
∵AB＝CD，
∴DF＝CD．
在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，
∴∠DCF＝30°．
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝75°．
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝75°．
综上，∠BAD＝75°．
故答案为：75°．
【名师指路】
本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形、矩形的性质求解是解题的关键．
13．（2021·上海徐汇·八年级期末）我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，
取四边的中点并连接起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH=BD=2，EH∥BD，
同理，FG=BD=2，FG∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH=BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN=EH=1，
∴EN==，
∴EG=，
∴较长的“中对线”长度为．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键．21·cn·jy·com
14．（2019·上海市建承中学九年级期末）如图，有一菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点恰好与的中点重合，折痕为，点、分别在边、上，联结，那么的值为___________.【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
画图，由菱形∠A=∠60°，得到∠ABE=90°，根据勾股定理得出BF和EF的关系，然后在RT⊿BFE中求出cos∠EFB的值
【详解详析】
解：连接BE
∵∠A=60° 且E为中点
∴∠ABE=90°
在RT⊿BCE中：sin60°=
∴BE=
∵ AGF翻折得 EFG
∴EF=AF=AB-BF
在RT⊿BFE中：EF2=BE2+BF2
(AB-BF)2=()2+ BF2
∵菱形ABCD
∴AB=BC
∴(BC-BF)2=()2+ BF2
BC2-2BC×BF+BF2=BC2+BF2
2BC×BF=BC2
BF=BC
∴EF=AF=BC
在RT⊿BFE中: cos∠EFB=
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com )，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考察了菱形的性质.锐角三角函数的定义
15．（2020·上海金山·二模）四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________
【标准答案】6
【思路指引】
根据E、F、G、H分别为各边的中点，得到EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，证得四边形EFGH是平行四边形，根据AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH是矩形，再利用面积公式计算即可.
【详解详析】
如图：
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=，
故答案为：6.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理.
16．（2021·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由的面积为m可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可．
【详解详析】
解：∵的面积为m
∴边BC上的高为
如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合，
如图：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵等边三角形ABC,BC=4
∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30°
∴BD=2,
∴AD==2
∴，即m=4；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图：当高取最大值时，菱形为正方形，
∴A在中点，
∴，即m=8
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴．
故填：．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
三、解答题
17．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）y＝﹣x+6；（2）当0＜t＜3时，S＝﹣t2+t；（3）t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）
【思路指引】
（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解详析】
解：（1）∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，6），
∴OA＝BC＝6，OB＝AC＝2，
∴点A（0，6），点B（2，0），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；
（2）∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，
∴AP＝BQ＝t，
∴OP＝6﹣t，
∵PE⊥AO，
∴点E纵坐标为6﹣t，
∴6﹣t＝﹣x+6，
∴x＝t，
∴点E（t，6﹣t），
∴当0＜t＜3时，S＝×t（6﹣2t）＝﹣t2+t；
（3）如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝＝＝4，
∴OB＝AB，
∴∠BAO＝30°，
∵AO∥BC，PE⊥AO，
∴∠ABC＝∠BAO＝30°，PE⊥BC，
∵四边形EHBQ是菱形，
∴BQ＝EQ＝t，EH∥BQ，
∴∠QEB＝∠EBQ＝30°，
∴∠FEQ＝30°，
∴FQ＝EQ＝t，
∴BC＝t+t+t＝6，
∴t＝，
∴BQ＝＝EH，点E（，），
∴点H（，）；
如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形EHQB是菱形，
∴BE＝BQ＝t，EH∥BQ，
∵∠ABC＝30°，EF⊥BC，
∴BE＝2EF，
∴t＝2（2）
∴t＝24﹣12，
∴点E（8﹣12，12﹣18），
∴点H（8﹣12，6）；
综上所述：t的值为或24﹣12，点H坐标为（，）或（8﹣12，6）．
【名师指路】
本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，一次函数的性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
18．已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．求证：四边形EBCA是等腰梯形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】见解析.
【详解详析】
根据三角形判定定理先证明三角形ADE与 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形MDC全等，得出AE=MC=MB，得出四边形AEBM是平行四边形，最后可证明四边形EBCA是等腰梯形．
证明：∵AE∥BC，
∴∠AED＝∠MCD，
∵D是线段AM的中点，
∴AD＝MD，
在△ADE和△MDC中，，
∴△ADE≌△MDC（AAS），
∴AE＝MC，
∵AM是△ABC的中线，
∴MB＝MC，
∴AE＝MB，
∵AE∥MB，
∴四边形AEBM是平行四边形，
∴BE＝AM，
∵AM＝AC，
∴BE＝AC，
∵AE∥BC，BE与AC不平行，
∴四边形EBCA是梯形，
∴梯形EBCA是等腰梯形．
【名师指路】
本题考查学生对三角形判定定理的运用熟练程度，通过先运用三角形全等判定理找出AE=MC=MB是解决此题的关键.
19．如图，已知在梯形中，，是下底上一动点（点与点不重合），，，，，设，四边形的面积为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．
【标准答案】（1）；（2）四边形的面积为88或96或48．
【思路指引】
（1）作AH⊥BC于H．设AH=h．构建方程求出h即可解决问题．
（2）分两种情形分别讨论求解即可．
【详解详析】
解：（1）作于．设．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意：，
整理得：，
解得或6（舍弃），
，即
（2）①当时，，
，
，
，即，
．
②当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，即或22，
或48，
综上所述，四边形的面积为88或96或48．
【名师指路】
本题考查梯形、等腰三角形的性质勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
20．（2021·上海松江·八年级期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)．
（1）求证：图中的四边形是平行四边形；
（2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长：
（3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解答；（2）AF=4cm；（3）AF=9cm
【思路指引】
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论；
（2）设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2=AD2，建立方程求解即可；
（3）设AF=DC=x cm，根据AE=DE，建立方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，
∴ED=AB，∠EDF=∠BAC，
∴ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，
∴AF=DC，
∵BC=EF=6cm，AC=DF=9cm，
∴设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，
∵∠DFE=90°=∠AFE，
∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠AED=90°，
∴AE2+ED2=AD2，
即x2+62+92+62=（9+x）2，
解得：x=4，
即AF=4cm；
（3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形．
∵四边形ABDE能成为菱形，
∴AE=DE，
∴AE2=DE2，
设AF=DC=x cm，
∵∠DFE=∠AFE=90°，
∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62，
∴x2+62=92+62，
解得：x=9或x=-9（舍去），
即AF=9cm，
∴当AF=9cm时，四边形ABDE能成为菱形．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
21．（2021·上海长宁·八年级期末）如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：线段、互相平分；
（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．
【标准答案】（1）见解析；（2）当AB=CD时，EG⊥FH，理由见解析
【思路指引】
（1）连接EF、GF、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF=AB，GH∥AB，GH=AB，证明四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据菱形的判定定理得到平行四边形EFGH是菱形，根据菱形的性质定理证明即可．
【详解详析】
解：（1）证明：连接EF、GF、GH、HE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E、F分别是线段AD、DB的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵点G、H分别是线段BC、AC的中点，
∴GH∥AB，GH=AB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴线段EG、FH互相平分；
（2）解：当AB=CD时，EG⊥FH，
理由如下：∵点G、F分别是线段BC、BD的中点，
∴GF=CD，
∵AB=CD，
∴EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH．
【名师指路】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
22．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）如图，点O是ABC中AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且B=，问：的值为多少？（直接写出结果）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形，见解析；（3）
【思路指引】
（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；
（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；
（3）当四边形AECF是正方形时，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，则AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根据∠B=60°，tanB=，可得：．
【详解详析】
证明：（1）∵ CE平分∠ACB
∴ ∠BCE=∠OCE (角平分线将这个角分为两个相等的角)
∵ MN∥BC
∴ ∠BCE=∠OEC (两直线平行，内错角相等)
∵ ∠BCE=∠OCE ，∠BCE=∠OEC
∴ ∠OCE=∠OEC
∴ OE=OC (等角对等边)
同理可证 OC=OF
∴ EO=FO
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由如下：
∵ CE平分∠ACB ，CF平分∠ACD ，∠ACB+∠ACD=180°
∴ ∠ECF=90°
∵ EO=FO ，OC=OA
∴ 四边形AECF为平行四边形 (两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵ ∠ECF=90° ，四边形AECF为平行四边形
∴ 四边形AECF为矩形 (有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形)
（3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，AC=AE，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC．
∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°
．
∴BC=AE，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的判定， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形的判定定理，正方形的性质定理，角平分线和平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和正方形的性质．www.21-cn-jy.com
23．（2020·上海松江·八年级期末）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），
，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域；
（3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长．
【标准答案】(1)见解析；(2)；(3)或
【思路指引】
（1）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，得到EN＝EM，通过证明△DEM≌△FEM，即可得到答案；
（2）通过“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题．
（3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可．
【详解详析】
解：（1）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE．
（2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE，
∴矩形DEFG是正方形；
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝，
∴y＝EC CG＝ x （﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜）；
（3）如图1中，当ED＝EH时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°，
∴∠CDE＝∠CEH+45°，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝2，
∴AE＝AC﹣EC＝．
如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝，
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述， AE的值为或2．
【名师指路】
本题考查了四边形的综合问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．2-1-c-n-j-y
24．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）已知：如图所示，四边形中，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）当时，若点分别在边上，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，是等腰三角形，使用含的代数式表示．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90° α或180° 2α或α
【思路指引】
（1）连，由等腰三角形的性质知AB＝AD，故∠ABD＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，故∠CBD＝∠CBA ∠ABD＝∠ADC ∠ADC＝∠CDB，即可求解；
（2）由旋转全等，将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置，证明△AFE≌△AFG（SAS），即可求解；
（3）分AE＝AF、AE＝EF、AF＝EF三种情况，利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．
【详解详析】
（1）如图1，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝AD，故∠ABD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADB，
而∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CBA ∠ABD＝∠ADC ∠ADB＝∠CDB，
∴BC＝CD；
（2）将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置（点G、E为对应点），
( http: / / www.21cnjy.com / )
则AE＝AG，∠GAD＝∠BAE，BE＝GD，
∵2∠EAF＝∠BAD， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠DAF＋∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝BAE＋∠DAF＝∠FAE，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝GF＝FD＋GD＝FD＋BE；
（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝180° α，
∵2∠EAF＝∠BAD，则∠EAF＝（180° α）＝90° ，
∴△AFE≌△AFG知，∠GFA＝∠EFA，∠G＝∠AEF，
①当AE＝AF时，
则∠AEF＝∠AFE＝（180° ∠EAF）＝（180° 90°＋）＝45°＋＝∠GFA，
则∠GFE＝2∠GFA＝2（45°＋）＝∠C＋∠CEF＝α＋∠CEF，
∴∠CEF＝；
②当AE＝EF时，
则∠AFE＝∠EAF＝90° ＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF），
∴∠CEF＝180° 2α；
③当AF＝EF时，
则∠EAF＝∠ AEF＝90° ，
则∠EFA＝180° 2∠EAF＝180° 2（90° ）＝α＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF）＝（α＋∠CEF），
∴∠CEF＝α，
综上，∠CEF为90° α或180° 2α或α．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了三角形全等、等腰三角形的性质、外角的性质、图象的旋转等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．
25．（2021·上海市南洋模范 ( http: / / www.21cnjy.com )初级中学七年级期中）在长方形ABCD中，AB=3a厘米，BC=a厘米，点P沿AB边从点A开始向终点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向终点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，以t（秒）表示移动的时间，
（1）用含有a、t的代数式表示△APC的面积
（2）求△PQC的面积（用含有a、t的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）at；（2）或at
【思路指引】
（1）P的运动距离为△APC的底，高为BC=a不变，将AP用a和t表示出来，再求面积即可.
（2）分两种情况考虑：在点Q到达A前与点Q到达A点后，分别表示出三角形PQC面积即可.
【详解详析】
解：(1)由题意得：AP=2t
则S△APC==at
（2）①当点Q到达A前：
由题意得：AQ=a-t,高为DC.
则S△AQC=
S△AQP=
所以S△PQC=S△AQC+S△APC-S△AQP
=+at-（）
=+at-at+t2
=+t2
②点Q到达A点后.
综上，△PQC的面积为或at.
【名师指路】
本题考查了动点和三角形面积问题，根据动点确定出三角形的底和高以及对运动情况的分类讨论是解答本题的关键.
26．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若线段与线段相交点，则：
图1中的取值范围是________；
图3中的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；
（4）如图3，当时，直接写出的值．
【标准答案】（1），；（2）见解析；（3）最小值：，此时＝2+；（4）
【思路指引】
（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．利用全等三角形的性质分别证明：BE＝，即可解决问题；21教育网
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值．
（4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；
【详解详析】
（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，
∴∠AOB＝120°
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，
图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝，
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤，
故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤．
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠OEB＝∠OF＝90°，
根据题意，O是中心，∴OB＝OC，
∴∠OBE＝∠，
∴△OBE≌△OF（AAS），
∴OE＝OF，BE＝F
∵，
∴Rt△≌Rt△（HL），
∴，
∴．
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠＝135°，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠＝45°，
∴∥BC，
∵OK⊥BC，OB＝OC，
∴BK＝CK＝2，OB＝2，
∵∥，OK＝KE，
∴，
∴＝＝，
∴＝2+，
在Rt△中，＝．
∵，
∴有最小值，最小值为，此时＝2+．
（4）如图3中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝，
∵OC⊥， ，
∴∠＝∠＝∠BOC＝，
∴α＝．
【名师指路】
本题属于多边形综合题，考查了正多边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．（2021·上海虹口·八年级期末）在梯形中，．过点D作交边于点E，过点A作交边于点F，交射线于点P．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图，当点F与点E重合时，求边的长；
（2）如图，当点P在梯形内部时，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结，当时，求边的长．
【标准答案】（1）；（2）y=-x（≤x＜）；（3）或
【思路指引】
（1）证明四边形ABED是平行四边形，推出AD=BE，AB=DE，求出BE，可得结论．
（2）求出BF=，再利用平行四边形的性质，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，当点在在梯形内部时，如图3-2中，当点P在梯形外部时，分别构建方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥DE，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE，AB=DE，
∴∠DEC=∠B=30°，
∵CD=3，∠C=90°，
∴DE=2CD=6，
∵AE⊥DF，
∴AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠B=30°，AB=6，
∴BE==，
∴AD=BE=；
（2）如图2中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（1）可知AD=BE，BF=，
∴y=EF=BF-BE=-x，
由（1）可知当点E与点F重合时，AD最大，且为，
当点F与点C重合时，AD最小，且为==，
∴≤x＜，
∴y=-x（≤x＜）；
（3）如图3-1中，当点在在梯形内部时，设AD=m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意×（-m）×3=×（m+m+）×3，
解得m=，
如图3-2中，当点P在梯形外部时，可得×（m-）×3=×（m+m+）×3，
解得m=，
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述，满足条件的AD的值为或．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了梯形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．21cnjy.com
28．（2021·上海崇明·八年级期末）实践操作：
( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是__________；
（2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，，求线段DF的长．
【标准答案】（1）正方形．（2）证明见解析部分．（3）3cm
【思路指引】
（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；
（2）连接，证明△△，得，便可得结论；
（3）设，则，由勾股定理求出的值即可．
【详解详析】
【名师指路】
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键在于证明三角形全等，第（3）题关键证明利用勾股定理构建方程．
29．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，如果，，，求的面积；
（3）如果，，当是直角三角形时，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）4或6
【思路指引】
（1）由折叠的性质得，，由平行四边形的性质得，．则，，得，证出，则，由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；
（2）证四边形是矩形，则，，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，由三角形面积公式即可得出答案；
（3）分两种情况：或，需要画出图形分类讨论，根据含角的直角三角形的性质，即可得到的长．
【详解详析】
解：（1）证明：由折叠的性质得：△，
，，
四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）平行四边形中，，
四边形是矩形，
，，，
由（1）得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
的面积；
（3）分两种情况：
①如图3，当时，延长交于，
，，
，
，，
，
，，
，
，
是的中点，
在中，，
；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图4，当时
，，
，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，，在同一直线上，
，
中，，，
，；
综上所述，当是直角三角形时，的长为4或6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．【版权所有：21教育】
30．（2021·上海静安·八年级期末）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）8或或6
【思路指引】
（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形；
（2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的高，再求的长，由勾股定理列出关于、的等式，整理得到关于的函数解析式；
（3）以为腰的等腰三角形分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形与或全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形的高求出的长，再求等腰三角形的底边长．
【详解详析】
解：（1）证明：如图1，连结，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，
，
即；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）如图2，连结，交于点，作于点，则，
由（1）得，四边形是菱形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，，
，
，
，
由，且，得，
解得；
，
，
由，且，得，
点在边上且不与点、重合，
，
关于的函数解析式为，
（3）如图3，，且点在的延长线上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即等腰三角形的底边长为8；
如图4，，作于点，于点，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
，
即等腰三角形的底边长为；
如图5，，点与点重合，连结，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，
，
即，
等腰三角形的底边长为6．
综上所述，以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
【名师指路】
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法，在解第（3）题时，需要进行分类讨论，求出所有符合条件的值，以免丢解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
