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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题03 方法探究之用频率估计概率易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
2．（2021·江苏海门·模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟预测）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）21教育名师原创作品
A．15 B．20 C．25 D．30
3．（2021·江苏江苏·八年级月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
4．（2021·江苏姜堰 ( http: / / www.21cnjy.com )·二模）老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：21*cnjy*com
一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组
摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38
请你估计袋子中白球的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·江苏射阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )2-1-c-n-j-y
A．16 B．20 C．24 D．28
6．（2021·江苏盱眙 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
7．用直角边长分别为2、1的四个直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．在一个不透明的口袋中， ( http: / / www.21cnjy.com )装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（ ）.
A．16个 B．14个 C．20个 D．30个
二、填空题
9．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个．
10．（2021·江苏秦淮·八年级期中）某班学生做抛图钉的实验，实验结果如下：
抛掷次数n 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 122 158 193 231 274 311 352 389
钉尖着地的频率 0.4067 0.3950 0.3860 0.3850 0.3914 0.3888 0.3911 0.3890
根据以上信息，估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为_______（精确到0.01）．
11．（2021·江苏·南京玄武外国语学 ( http: / / www.21cnjy.com )校八年级期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，活动进行中的一组统计数据如下表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 68 109 136 345 560 701
摸到白球的频率 0.68 0.73 0.68 0.69 0.70 0.70
请估计：摸到白球的概率为__________．
12．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．21世纪教育网版权所有
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）
13．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个．
14．（2021·江苏大丰·八年级月考）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）．
15．（2021·江苏·南京市金陵 ( http: / / www.21cnjy.com )汇文学校八年级月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：21cnjy.com
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615
请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_____；（精确到0.1）
16．（2021·江苏江苏·八年级月考）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．2·1·c·n·j·y
17．在一个不透明的口袋中装有4个红球 ( http: / / www.21cnjy.com )和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有_____个.【来源：21·世纪·教育·网】
18．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的 ( http: / / www.21cnjy.com )小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为________ 个．
19．一个不透明的袋中装有 ( http: / / www.21cnjy.com )除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．【来源：21cnj*y.co*m】
20．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000
色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．
三、解答题
21．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
22．（2021·江苏·仪征市第三中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：21·cn·jy·com
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使 ( http: / / www.21cnjy.com )得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个www.21-cn-jy.com
23．（2021·江苏滨湖·一模）一款游戏 ( http: / / www.21cnjy.com )的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
24．（2021·江苏·南通田家炳 ( http: / / www.21cnjy.com )中学二模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：21·世纪*教育网
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
25．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：【出处：21教育名师】
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
26．（2021·江苏射阳·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
被到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b
（1）表格中________；（精确到0.01）
（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1）
（3）如果袋子中有14个红球，那么袋子中除了红球，估计还有________个其他颜色的球．
27．（2021·江苏南京·八年级期中）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1426 1898 2850
合格品频率（精确到0.001） 0.940 0.942 0.946 0.951 a b
（1）a=__________，b=__________；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
28．（2021·江苏江都 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：www-2-1-cnjy-com
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 31 48 71 127 196 252 744
摸到白球的频率 0.310 0.240 0.238 0.254 0.245 0.252 0.248
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有几只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，与这一结果相似的试验最有可能是 ．
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”．
C．质地均匀的正六面体骰子（点数分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5
29．（2021·江苏·沭阳县修远中 ( http: / / www.21cnjy.com )学八年级月考）某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为50000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．21*cnjy*com
（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
（2）估计袋中白球接近的个数．
30．（2021·江苏扬州·一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）小亮和小丽进行摸球试验，他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同，试验规则；先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．【版权所有：21教育】
（1）小亮随机模球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽打算随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球没有红球的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 方法探究之用频率估计概率易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
【标准答案】C
【思路指引】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解详析】
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误．
故选：C．
【名师指路】
此题考查了利用频率估计概率，大 ( http: / / www.21cnjy.com )量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
2．（2021·江苏海门·模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )预测）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意可得摸到红球的概率为0.2，然后根据概率公式计算即可；
【详解详析】
由题意可得，摸到红球的概率为0.2，则有，
，
∴，
∴；
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键．
3．（2021·江苏江苏·八年级月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【标准答案】B
【思路指引】
根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解详析】
解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查的是利用频率估 ( http: / / www.21cnjy.com )计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
4．（2021·江苏姜堰·二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：
一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组
摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38
请你估计袋子中白球的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，据此根据概率公式可得答案．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，
∴在袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，
设白球有x个，
则=0.4，
解得：x=2，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查利用频率估计概率及概率公式，熟练掌握频率估计概率的前提是在大量重复实验的前提下是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
5．（2021·江苏射阳 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
【标准答案】B
【思路指引】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解详析】
根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故选B．
【名师指路】
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
6．（2021·江苏盱眙·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【标准答案】D
【详解详析】
试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
7．用直角边长分别为2、1的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可
【详解详析】
解：大正方形的面积为：，
阴影部分的小正方形的面积为：，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
8．在一个不透明的口袋中，装 ( http: / / www.21cnjy.com )有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（ ）.
A．16个 B．14个 C．20个 D．30个
【标准答案】B
【详解详析】
解：由题意可得：，
解得：x=14，经检验，x=14是原方程的解
故选B．
【名师指路】
本题考查利用频率估计概率．
二、填空题
9．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个．
【标准答案】3a
【思路指引】
设盒子中大约有白球x个，根据“黑球数 ( http: / / www.21cnjy.com )量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数＋白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【详解详析】
解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝3a，
经检验x＝3a是分式方程的解，
所以估计盒子中大约有白球3a个，
故答案为：3a．
【名师指路】
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
10．（2021·江苏秦淮·八年级期中）某班学生做抛图钉的实验，实验结果如下：
抛掷次数n 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 122 158 193 231 274 311 352 389
钉尖着地的频率 0.4067 0.3950 0.3860 0.3850 0.3914 0.3888 0.3911 0.3890
根据以上信息，估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为_______（精确到0.01）．
【标准答案】0.39
【思路指引】
大量重复实验时，事件发生的频率在 ( http: / / www.21cnjy.com )某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解详析】
解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近，
所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39，
故答案为：0.39．
【名师指路】
本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．21世纪教育网版权所有
11．（2021·江苏· ( http: / / www.21cnjy.com )南京玄武外国语学校八年级期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，活动进行中的一组统计数据如下表：21·cn·jy·com
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 68 109 136 345 560 701
摸到白球的频率 0.68 0.73 0.68 0.69 0.70 0.70
请估计：摸到白球的概率为__________．
【标准答案】
【思路指引】
观察摸到白球的频率后即可得出答案．
【详解详析】
解：观察表格得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.70，
∴摸到白球的概率为0.7=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实 ( http: / / www.21cnjy.com )验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．www.21-cn-jy.com
12．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．2-1-c-n-j-y
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为_________．（精确到0.01）
【标准答案】0.35
【思路指引】
随着实验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，据此进行判断即可．
【详解详析】
随着实验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，据此进行判断抛掷该纪念币正面朝上的概率约为0.35．【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：0.35．
【名师指路】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义．
13．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个．
【标准答案】3
【思路指引】
先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于
∴可估计摸到红球的概率约为
设袋中红球个数为，
依据概率公式得：
解得
所以可估计袋中约有3个红球
故答案为：3．
【名师指路】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
14．（2021·江苏大丰·八年级月考）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）．
【标准答案】0.8
【思路指引】
观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率．
【详解详析】
观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，
，
则这种玉米种子发芽的概率是0.8，
故答案为：0.8．
【名师指路】
本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率．
15．（2021·江苏·南 ( http: / / www.21cnjy.com )京市金陵汇文学校八年级月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615
请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_____；（精确到0.1）
【标准答案】0.60
【思路指引】
计算出平均值即可解答
【详解详析】
解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为0.60；
【名师指路】
此题考查利用频率估计概率，解题关键在于求出平均值
16．（2021·江苏江苏·八年级月考）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．
【标准答案】20.
【思路指引】
先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
【详解详析】
解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故答案为．
【名师指路】
本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
17．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若 ( http: / / www.21cnjy.com )干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有_____个.21cnjy.com
【标准答案】12.
【思路指引】
由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解详析】
设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴=，
解得：x=12，
故白球的个数为12个．
故答案为12．
【名师指路】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
18．某口袋中装有红色、黄色、蓝色 ( http: / / www.21cnjy.com )三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为________ 个．
【标准答案】15.
【思路指引】
首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可．
【详解详析】
解：∵摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，
∴摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%，
设有蓝球x个，根据题意得：=25%，
解得：x=15，
故答案为15．
【名师指路】
本题主要是利用频率估计概率，熟练掌握概率公式即可求解.
19．一个不透明的袋中装 ( http: / / www.21cnjy.com )有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．
【标准答案】8
【详解详析】
试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
20．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000
色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．
【标准答案】0.07
【思路指引】
随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．
【详解详析】
解： 观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，
故男性中，男性患色盲的概率为0.07
故答案为：0.07．
【名师指路】
本题考查利用频率估计概率．
三、解答题
21．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
投篮次数n 10 50 100 150 200
命中次数m 4 25 65 90 120
命中率 0.4 0.5 0.65
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
【标准答案】（1）；（2）；（3）分
【思路指引】
（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率；
（2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案；
（3）先计算次投篮的命中数，从而可得答案.
【详解详析】
解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：
（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在附近，
所以这个运动员投篮命中的概率约是
故答案为：
（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中次，
所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：分.
【名师指路】
本题考查的是利用频率估计概率，掌握大量实验的前提下，利用稳定的频率估计概率是解题的关键.
22．（2021·江苏·仪征市第三中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：21教育名师原创作品
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在 ( http: / / www.21cnjy.com )这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【标准答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10．
【思路指引】
（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解详析】
解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：个，
故答案为：；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【名师指路】
本题考查了利用频率估计概率： ( http: / / www.21cnjy.com )大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（2021·江苏滨湖· ( http: / / www.21cnjy.com )一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
【标准答案】（1）P（指针指向4）＝；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝．
【思路指引】
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【详解详析】
（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形，
∴P（指针指向4）＝．
（2）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7，
由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种，
∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝．
【名师指路】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率．21*cnjy*com
24．（2021·江苏·南通田家炳 ( http: / / www.21cnjy.com )中学二模）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【标准答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．
【思路指引】
（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．
【详解详析】
解：（1）画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6个等可能的结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：
由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，
∴小明进校时谁遇到甲的概率为，
小丽进校时谁遇到甲的概率为，
∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．
【名师指路】
本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．
25．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【标准答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大．
【思路指引】
（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
【详解详析】
解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能.
(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优
小张 优 优 中 中 差 差
小王 差 中 优 优 优 中
由表格可知：
小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.
26．（2021·江苏射 ( http: / / www.21cnjy.com )阳·八年级期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
被到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a b
（1）表格中________；（精确到0.01）
（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1）
（3）如果袋子中有14个红球，那么袋子中除了红球，估计还有________个其他颜色的球．
【标准答案】（1）0.71；（2）0.7；（3）6
【思路指引】
（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）；
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；
（3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球个，根据题意得，
解得：，
答：袋子中还有其他颜色的球6个．
【名师指路】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．2·1·c·n·j·y
27．（2021·江苏南京·八年级期中）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1426 1898 2850
合格品频率（精确到0.001） 0.940 0.942 0.946 0.951 a b
（1）a=__________，b=__________；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？
【标准答案】（1）0.949，0.950；（2）0.95；（3）400000
【思路指引】
（1）根据表中数据计算即可；
（2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95；21*cnjy*com
（3）用样本数据估计总体即可．
【详解详析】
解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950；
故答案为：0.949，0.950；
（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；
（3）．
答：该厂估计要生产400000个N95口罩．
【名师指路】
本题考查了利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com )：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
28．（2021·江苏江都·八年级期中）在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 31 48 71 127 196 252 744
摸到白球的频率 0.310 0.240 0.238 0.254 0.245 0.252 0.248
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有几只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，与这一结果相似的试验最有可能是 ．
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”．
C．质地均匀的正六面体骰子（点数分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5
【标准答案】（1）0.25；（2）75只；（3）B
【思路指引】
（1）由表中的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数球的总数得到的黑球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.25附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.25者即为正确答案．
【详解详析】
解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.25，
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：
（只，
答：盒子里黑球大约有75只；
（3）．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为，不符合题意；
．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”的概率为，故此选项符合题意；；
．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到，落地时面朝上的点数小于5的概率为，不符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是：用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
29．（2021·江苏· ( http: / / www.21cnjy.com )沭阳县修远中学八年级月考）某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为50000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
（2）估计袋中白球接近的个数．
【标准答案】（1）；（2）24
【思路指引】
（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
（2）由题意，设袋中白球有x个，然后列出方程，解分式方程，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）根据题意可得：参加这种游戏活动为50000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000；故参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率为：，21教育网
∴参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率是；
（2）∵实验系数很大，大数次实验时，频率接近与理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是，
设袋中白球有x个，根据题意得：
，
解得：x=24，
经检验，x=24是方程的解．
∴估计袋中白球接近24个．
【名师指路】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．【出处：21教育名师】
30．（2021·江苏扬州·一模）小 ( http: / / www.21cnjy.com )亮和小丽进行摸球试验，他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同，试验规则；先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机模球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽打算随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球没有红球的概率．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）根据频率的计算公式即可得；
（2）先画出树状图，从而可得出小丽随机摸球两次的所有可能的结果，再找出这两次摸出的球没有红球的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．
【详解详析】
（1）这10次中摸出红球的频率为；
（2）由题意，画树状图如下：（其中红1和红2分别表示两个红球）
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由图可知，小丽随机摸球两次的所有可能的结果共有16种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两次摸出的球没有红球的结果共有4种，
则这两次摸出的球没有红球的概率为．
【名师指路】
本题考查了频率、利用列举法求概率，较难的是题（2），正确画出树状图是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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