2021-2022学年湘教版八年级数学下册1.1.2含30°角的直角三角形的性质及其应用同步练习 (word版含答案）

1.1.2 含30°角的直角三角形的性质及其应用
一、单项选择题。
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是(　 　)
A．2cm　　　　B．4cm　　　　C．6cm　　　　D．8cm
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　 　)
A．6 B．6 C．6 D．12
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为(　 　)
A．10 B．8 C．5 D．2.5
4．如图，AD、BE为△ABC的两条高，∠EAF＝30°，则下列结论不正确的是(　 　)
A．AC＝2CD B．BC＝2CE C．CD＝CE D．AF＝2EF
5．下列结论正确的是(　 　)
①直角三角形中，若有一锐角为30°，则它所对的直角边等于另一直角边的一半；②在一个三角形中，若有一锐角为30°，则它所对的边等于最长边的一半；③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，若最短的边长是最长的边长的一半，则最小角是30°.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6．将一张长方形纸片ABCD按如图所示折叠，使顶点C落在点C′处，已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长度为(　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是(　 　)
A．60° B．45° C．30° D．75°
8．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少用(　 　)
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．500a元
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是(　 　)
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
10. 在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，且AC＝AB，则∠B等于(　 　)
A．30° B．40° C．50° D．75°
二、填空题。
11. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ．
12. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 .
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为 .
14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，且BM＝3，则CM＝ .
15. 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4，则BD＝ .
16.在Rt△BAC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝5cm，则∠A＝ .
17. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝ m.
三、解答题。
18. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC.若∠B＝30°，求证：BE＝2EC.
19. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°.
求证：AB＝2BC.
20. 小华在轮船上，当轮船位于B处时，看见前面岛上有个灯塔A，仰角为15°，当轮船向岛的方向行驶6千米到达C处时，此时小华看灯塔A的仰角为30°，求灯塔离海平面的高度．
21. 如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°.请完整说明为何AD＝BD与CD＝2BD的理由．
答案:
一、
1-10 BAACB DCCDA
二、
11. 一半
12. 30°
13. 6
14. 6
15. 1
16. 30°
17. 4
三、
18. 证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∴∠C＝90°，∴AE＝2EC，∵AE＝BE，∴BE＝2EC.
19. 证明：延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，易证△ADE≌△CDB(SAS)，∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝CB，∵∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝2BC.
20. 解：过点A作AD⊥BC于D，∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∴∠BAC＝15°＝∠B，∴AC＝BC＝6 km，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3 km，因此，灯塔离海平面3 km.
21. 解：∵∠4＝60°，∠1＝30°，根据三角形外角定理可得：∠ABD＝∠4－∠1＝60°－30°＝30°＝∠1，∴BD＝AD.∵∠ABD＝30°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝30°，∴∠2＝180°－∠4－∠C＝180°－60°－30°＝90°，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD＝2BD.