2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形面积分类训练 (word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形面积分类训练 (word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 223.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-29 09:14:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-9弧长及扇形面积》知识点分类训练（附答案）
一．弧长的计算
1．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．2+ B．+ C．+ D．2+
2．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
4．已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留π）．
5．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 ．
6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，BC＝4，以BC的中点D为圆心，2为半径作弧，分别交边AB、AC于E、F，则的长为 ．
7．如图，⊙O的半径为5cm，弦AC垂直平分半径OB，则弧ABC的长为 cm．
8．一顶简易的圆锥形帐篷，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是 米．
二．扇形面积的计算
9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．π﹣ D．﹣
10．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣6 C．6π﹣3 D．6π﹣6
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．﹣π C．π﹣ D．π
12．如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积之和为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
13．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是 cm2．
14．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π） ．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为cm，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是 ．
16．如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于 ．
17．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，AB是半径为6的⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，若∠COD＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
19．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的弧长为 ，面积为 ．
20．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的面积为 ．
21．如图，点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是一平行四边形．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
23．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB的长为4，且BC＝2，∠DAC＝15°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
一．弧长的计算
1．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+．
故选：D．
2．解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误．
②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故②错误．
③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误．
④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确．
故选：C．
3．解：，解得r＝．
故答案为：．
4．解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角＝，
所得到的三条弧的长度之和＝3×＝2πcm；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．
故答案为：2π．
5．
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝＝＝，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长＝++＝3×＝π．
故答案为：π
6．解：由题意，DB＝DE＝DF＝2，
∴∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC，
∵∠A＝70°，
∴∠B+∠C＝110°，
∴∠BDE+∠CDF＝360°﹣2（∠B+∠C）＝140°，
∴∠EDF＝180°﹣140°＝40°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
7．解：∵弦AC垂直平分半径OB，
∴AO＝AB，CO＝CB，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴弧ABC的长＝＝π（cm）．
故答案为π．
8．解：r＝＝＝2，
直径为4米．
二．扇形面积的计算
9．解：过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OE＝1，CE＝DE＝，
∴CD＝2，
∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1＝π﹣．
故选：A．
10．解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM
∵AO＝2，∴AM＝．
∵S扇形AMO＝×π×MA2＝．
S△AMO＝AM MO＝1，
∴S弓形AO＝﹣1，
∴S三叶花＝6×（﹣1）
＝3π﹣6．
故选：B．
11．解：连接BE，过E作EH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBH＝30°，
∴EH＝BE＝1，
∴S阴＝S扇形BAE+S△BCE﹣S△ABE﹣S扇形BEF＝+﹣﹣＝，
故选：A．
12．解：根据三角形的外角和是360°以及扇形的面积公式，得阴影部分的面积和是：＝4π．
故选：D．
13．解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴＝3π，
解得：R＝4，
所以此扇形的面积为＝6π（cm2），
故答案为：6π．
14．解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝．
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×8×8﹣×4×4﹣+××4×4
＝16﹣4π+8
＝24﹣4π．
故答案为：24﹣4π．
15．解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝cm，
∵OC＝cm，
∴OE＝cm，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COD＝120°，
∴图中阴影部分面积＝﹣×3×＝π﹣cm2，
故答案为：π﹣cm2．
16．解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD＝，
∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC CD＝﹣1．，
故答案为：﹣1
17．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
18．解：∵AB⊥CD于E，∠COD＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OCB的面积＝，
故答案为：3π．
19．解：该扇形的弧长＝＝π，
该扇形的面积＝＝，
故答案为：π，．
20．解：扇形的面积＝＝18π，
故答案为：18π．
21．解：（1）如图，连接OB，
∵四边形OABC是一平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，同理∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°；
（2）S阴影＝扇形OAB的面积﹣三角形OAB的面积
＝π×32﹣×32
＝．
22．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴由勾股定理得：AB＝10cm，
∴OB＝5cm，
连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝5cm；
（2）S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB
＝π 52﹣×5×5
＝（cm2）．
23．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝2，AB＝4，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝15°+30°＝45°；
（2）连接OD，
∵直径AB＝4，
∴半径OD＝OA＝2，
∵OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴∠ADO＝∠DAB＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×2×2＝π﹣2．
一．弧长的计算
1．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．2+ B．+ C．+ D．2+
2．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
4．已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留π）．
5．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 ．
6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，BC＝4，以BC的中点D为圆心，2为半径作弧，分别交边AB、AC于E、F，则的长为 ．
7．如图，⊙O的半径为5cm，弦AC垂直平分半径OB，则弧ABC的长为 cm．
8．一顶简易的圆锥形帐篷，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是 米．
二．扇形面积的计算
9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．π﹣ D．﹣
10．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣6 C．6π﹣3 D．6π﹣6
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．﹣π C．π﹣ D．π
12．如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积之和为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
13．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是 cm2．
14．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π） ．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为cm，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是 ．
16．如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于 ．
17．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，AB是半径为6的⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，若∠COD＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
19．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的弧长为 ，面积为 ．
20．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的面积为 ．
21．如图，点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是一平行四边形．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
22．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
23．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB的长为4，且BC＝2，∠DAC＝15°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
一．弧长的计算
1．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+．
故选：D．
2．解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误．
②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故②错误．
③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误．
④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确．
故选：C．
3．解：，解得r＝．
故答案为：．
4．解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角＝，
所得到的三条弧的长度之和＝3×＝2πcm；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．
故答案为：2π．
5．
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝＝＝，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长＝++＝3×＝π．
故答案为：π
6．解：由题意，DB＝DE＝DF＝2，
∴∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC，
∵∠A＝70°，
∴∠B+∠C＝110°，
∴∠BDE+∠CDF＝360°﹣2（∠B+∠C）＝140°，
∴∠EDF＝180°﹣140°＝40°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
7．解：∵弦AC垂直平分半径OB，
∴AO＝AB，CO＝CB，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴弧ABC的长＝＝π（cm）．
故答案为π．
8．解：r＝＝＝2，
直径为4米．
二．扇形面积的计算
9．解：过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OE＝1，CE＝DE＝，
∴CD＝2，
∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1＝π﹣．
故选：A．
10．解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM
∵AO＝2，∴AM＝．
∵S扇形AMO＝×π×MA2＝．
S△AMO＝AM MO＝1，
∴S弓形AO＝﹣1，
∴S三叶花＝6×（﹣1）
＝3π﹣6．
故选：B．
11．解：连接BE，过E作EH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBH＝30°，
∴EH＝BE＝1，
∴S阴＝S扇形BAE+S△BCE﹣S△ABE﹣S扇形BEF＝+﹣﹣＝，
故选：A．
12．解：根据三角形的外角和是360°以及扇形的面积公式，得阴影部分的面积和是：＝4π．
故选：D．
13．解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴＝3π，
解得：R＝4，
所以此扇形的面积为＝6π（cm2），
故答案为：6π．
14．解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD＝45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴＝．
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD
＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）
＝×8×8﹣×4×4﹣+××4×4
＝16﹣4π+8
＝24﹣4π．
故答案为：24﹣4π．
15．解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝cm，
∵OC＝cm，
∴OE＝cm，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COD＝120°，
∴图中阴影部分面积＝﹣×3×＝π﹣cm2，
故答案为：π﹣cm2．
16．解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD＝，
∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC CD＝﹣1．，
故答案为：﹣1
17．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
18．解：∵AB⊥CD于E，∠COD＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OCB的面积＝，
故答案为：3π．
19．解：该扇形的弧长＝＝π，
该扇形的面积＝＝，
故答案为：π，．
20．解：扇形的面积＝＝18π，
故答案为：18π．
21．解：（1）如图，连接OB，
∵四边形OABC是一平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，同理∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°；
（2）S阴影＝扇形OAB的面积﹣三角形OAB的面积
＝π×32﹣×32
＝．
22．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴由勾股定理得：AB＝10cm，
∴OB＝5cm，
连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝＝5cm；
（2）S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB
＝π 52﹣×5×5
＝（cm2）．
23．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝2，AB＝4，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝15°+30°＝45°；
（2）连接OD，
∵直径AB＝4，
∴半径OD＝OA＝2，
∵OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴∠ADO＝∠DAB＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×2×2＝π﹣2．