2022年河南省人教版中考数学总复习九年级下册4.7相似三角形学案

2022年河南省中考数学总复习
寒假阶段考点解析
第四章 三角形
第7节　 相似三角形
【预学习内容课本范围】人教：九下P23～P46
【预学习目标定位导航】
1 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；
2 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
3 了解相似三角形的性质定理和判定定理；
4 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；
5 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；
6 了解相似三角形判定定理的证明；
7 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；
8 在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．
【预学习考点解读分析】
考点1.比例及其性质
1.定义：两个比相等的式子叫做比例，比如＝.
2．基本性质：＝ ．(a，b，c，d都不等于0)
3．合比性质：＝ ＝② ．(bd≠0)
4．等比性质：＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0) ＝③ .　
5．平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图，由l1∥l2∥l3，可得：
(1)＝；(2)＝④ ；(3)＝ .
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
【特别提示】求两条线段的比时，要统一长度单位.
考点2.黄金分割：把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较短的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且黄金比为＝≈0.618.
【特别提示】一条线段的黄金分割点有2个．
考点3.相似三角形的判定与性质：
1.相似的概念：(1)定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或叫做相似系数)．特别地，当相似比等于1时，两个三角形全等．
2．相似三角形的判定
文字描述 图形示例 几何语言
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC
三边⑤ ，两个三角形相似 ∵＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′
两边对应成比例，且夹角⑥ 的两个三角形相似 ∵＝， ∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′
两角对应相等，两个三角形相似 ∵∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′
3.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角⑦ ，对应边⑧ ．(2)相似三角形对应高、对应中线与对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于⑨ ．(4)相似三角形面积的比等于⑩ ．
简记：相似三角形，对应角相等，对应线段成比例．
【特别提示】“两个三角形相似”与“∽”是不同的．若题中只说“两个三角形相似”，那么对应边(角)都不确定，若题中说“相似于(∽)”，则对应边(角)确定．
判定三角形相似的思路：(1)有平行线截线，用平行线的性质找等角；(2)有一对等角，找另一对等角或两邻边对应成比例；(3)有两边对应成比例，找夹角相等或第三边也对应成比例．
考点4.相似三角形的实际应用
1．运用相似三角形解决实际问题：如利用光的反射定律求物体的高度，利用影长计算建筑物的高度、路灯的高度；在同一时刻，物高和影长成比例，即＝.
2．运用相似三角形解决实际问题的步骤：(1)根据实际问题建立三角形模型；(2)找出相似三角形；(3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解．
考点5.相似多边形
1．概念：两个边数相同的多边形，如果它们对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．性质：(1)相似多边形的对应角 ，对应边的比等于相似比．(2)相似多边形对应对角线的比、对应边上的高线之比、对应边上的中线之比、对应角的平分线之比都等于相似比．(3)相似多边形的周长之比等于相似比．(4)相似多边形的面积之比等于相似比的 .
【预学习考点巩固专练】
考点巩固专练1：平行线分线段成比例
1．(2021焦作模拟)如图，已知AB∥CD∥EF，则下列等式成立的是(　 　)
A．AC·CE＝BD·DF B．AC·AE＝BD·BF
C．AC·DF＝CE·BD D．CD2＝AB·EF
2．(2021北京模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则的值为(　 　)
A． B． C． D．
考点巩固专练2：相似三角形的相关计算
3.(2021郑州模拟)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为(　 　)
A．3 B．3 C．3 D．4
4．(2021开封模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，延长BC到点D，使BD＝3CD，若E是AC的中点，则DE的长为(　 　)
A． B． C． D．1
5．(2021苏州模拟)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，交BC于点N，CD恰好平分∠ACB，若AD＝2，BD＝3，则AC的长是(　 　)
A． B．3 C．2 D．6
6．(2021商丘模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，BD＝2，点P是边BC上一动点(不与端点重合)，作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E.若CE＝，则BP的长为(　 　)
A．4 B．2 C．3 D．4或2
7．(2021北京模拟)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为　 　.
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为
．
【预学习考点真题回顾】
历年考情分析解读：相似三角形是河南中考的必考内容，但很少单独出题考查，多作为解题的重要工具使用，常应用于复杂几何图形的计算、与圆有关的计算与证明以及几何图形的类比探究综合题等．
命题点：相似三角形的判定与性质
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ ．
【河南历年中考备用卷试题精选】
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，＝，则的值为 ．
2．如图，已知a∥b∥c，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若AB＝6，则BC的长为 .
【全国试题新考型拓展】
1．(2021绍兴)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5 m，树影AC＝3 m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5 m，则树的高度AB长是(　 　)
A．2 m B．3 m C． m D． m
2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”如图，该问题的答案是 步．
2022年河南省中考数学总复习
寒假阶段考点解析
第四章 三角形
第7节　 相似三角形
【预学习内容课本范围】人教：九下P23～P46
【预学习目标定位导航】
1 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；
2 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
3 了解相似三角形的性质定理和判定定理；
4 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；
5 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；
6 了解相似三角形判定定理的证明；
7 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；
8 在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．
【预学习考点解读分析】
考点1.比例及其性质
1.定义：两个比相等的式子叫做比例，比如＝.
2．基本性质：＝ ① ad＝bc ．(a，b，c，d都不等于0)
3．合比性质：＝ ＝② ．(bd≠0)
4．等比性质：＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0) ＝③ .　
5．平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图，由l1∥l2∥l3，可得：
(1)＝；(2)＝④ ；(3)＝ .
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
【特别提示】求两条线段的比时，要统一长度单位.
考点2.黄金分割：把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较短的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且黄金比为＝≈0.618.
【特别提示】一条线段的黄金分割点有2个．
考点3.相似三角形的判定与性质：
1.相似的概念：(1)定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或叫做相似系数)．特别地，当相似比等于1时，两个三角形全等．
2．相似三角形的判定
文字描述 图形示例 几何语言
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC
三边⑤ 对应成比例 ，两个三角形相似 ∵＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′
两边对应成比例，且夹角⑥ 相等 的两个三角形相似 ∵＝， ∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′
两角对应相等，两个三角形相似 ∵∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′
3.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角⑦ 相等 ，对应边⑧ 成比例 ．(2)相似三角形对应高、对应中线与对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于⑨ 相似比 ．(4)相似三角形面积的比等于⑩ 相似比的平方 ．
简记：相似三角形，对应角相等，对应线段成比例．
【特别提示】“两个三角形相似”与“∽”是不同的．若题中只说“两个三角形相似”，那么对应边(角)都不确定，若题中说“相似于(∽)”，则对应边(角)确定．
判定三角形相似的思路：(1)有平行线截线，用平行线的性质找等角；(2)有一对等角，找另一对等角或两邻边对应成比例；(3)有两边对应成比例，找夹角相等或第三边也对应成比例．
考点4.相似三角形的实际应用
1．运用相似三角形解决实际问题：如利用光的反射定律求物体的高度，利用影长计算建筑物的高度、路灯的高度；在同一时刻，物高和影长成比例，即＝.
2．运用相似三角形解决实际问题的步骤：(1)根据实际问题建立三角形模型；(2)找出相似三角形；(3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解．
考点5.相似多边形
1．概念：两个边数相同的多边形，如果它们对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．性质：(1)相似多边形的对应角 相等 ，对应边的比等于相似比．(2)相似多边形对应对角线的比、对应边上的高线之比、对应边上的中线之比、对应角的平分线之比都等于相似比．(3)相似多边形的周长之比等于相似比．(4)相似多边形的面积之比等于相似比的 平方 .
【预学习考点巩固专练】
考点巩固专练1：平行线分线段成比例
1．(2021焦作模拟)如图，已知AB∥CD∥EF，则下列等式成立的是(　C　)
A．AC·CE＝BD·DF B．AC·AE＝BD·BF
C．AC·DF＝CE·BD D．CD2＝AB·EF
2．(2021北京模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则的值为(　D　)
A． B． C． D．
考点巩固专练2：相似三角形的相关计算
3.(2021郑州模拟)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为(　B　)
A．3 B．3 C．3 D．4
4．(2021开封模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，延长BC到点D，使BD＝3CD，若E是AC的中点，则DE的长为(　D　)
A． B． C． D．1
5．(2021苏州模拟)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，交BC于点N，CD恰好平分∠ACB，若AD＝2，BD＝3，则AC的长是(　A　)
A． B．3 C．2 D．6
6．(2021商丘模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，BD＝2，点P是边BC上一动点(不与端点重合)，作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E.若CE＝，则BP的长为(　C　)
A．4 B．2 C．3 D．4或2
7．(2021北京模拟)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为　2　.
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为
9 ．
【预学习考点真题回顾】
历年考情分析解读：相似三角形是河南中考的必考内容，但很少单独出题考查，多作为解题的重要工具使用，常应用于复杂几何图形的计算、与圆有关的计算与证明以及几何图形的类比探究综合题等．
命题点：相似三角形的判定与性质
(2015河南第10题，3分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ ．
【河南历年中考备用卷试题精选】
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，＝，则的值为 ．
2．如图，已知a∥b∥c，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若AB＝6，则BC的长为 10 .
【全国试题新考型拓展】
1．(2021绍兴)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5 m，树影AC＝3 m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5 m，则树的高度AB长是(　A　)
A．2 m B．3 m C． m D． m
2.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”如图，该问题的答案是　　步．