1.5 平方差公式 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
北师大版 七年级下册数学
第一章 整式的乘除
1.5 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
复习引入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和
邻居们－讲，大家都说：“张
老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
情景引入
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
合作探究
一、平方差公式
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么
规律？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2－12
=(5y)2－z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
(a–b) (a+b) =a2 b2
(b+a)( b+a )=a2 b2
知识要点归纳
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
(a+b)(a b)=a2 b2
（1）左边:都是两项式，是相同两数的和与差相乘；即一项相同、另一项符号相反（互为相反数或式)
（2）右边：是这两个数的平方差；即右边是左边相同项的平方减去互为相反数项的平方．
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是代数式，可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
（4）各因式项数相同．符号相同的放在前面平方，符号相反的放在后面平方．
平方差公式的结构特征：
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=_________.
(2)(a－b)(b+a)= __________.
(3)(－a－b)(－a+b)= ________.
(4)(a－b)(－a－b)= _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(a-b)(a+b)
典例精析
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n)
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；
（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；
（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
注意：1.先把要计算的式子与公式对照;
2.哪个是a 哪个是b
下列计算对不对 如果不对,怎样改正
(1)(x+2)(x- 2)=x2- 2;(2)(2a2+b2)(2a2- b2)=2a4- b4;
(3)(- 3a- 2)(- 3a- 2)=(- 3a)2- 22=9a2- 4.
(3)错;应改为(- 3a- 2)(- 3a- 2)=9a2+12a+4.
解:(1)错;应改为(x+2)(x- 2)=x2- 4.
(2)错;应改为(2a2+b2)(2a2- b2)=4a4- b4.
[知识拓展]　
1.a,b仅仅是符号,它们可以表示数,也可以表示式子,无论表示什么,它们的和与差的积一定等于它们的平方差.
2.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征:公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,而公式的右边是这两个数的平方差.
练一练
a
b
图1-5
如图1-5，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
图中的灰色部分的面积为 。
a2 - b2
二、平方差公式的几何验证
a
b
a
b
图1-5
图1-6
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，如图1-6，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
b
如果将阴影部分拼成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别为 ，它的面积为 ( a + b ) ( a – b ) 。
a + b 、a – b
a
b
a
b
图1-5
图1-6
（3）比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
a2－b2 = (a+b)(a－b)
平方差公式的运用
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请
用字母表示这一规律，你能说明它的正确
性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
典例精析
例2 计算:
(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
= 1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
例3 计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;
(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
例4 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
1.下列式子可用平方差公式计算的是 (　　)
A.(a- b)(b- a) B.(- x+1)(x- 1)
C.(- a- b)(- a+b) D.(- x- 1)(x+1)
解析:A选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;B选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;C选项中a的符号相同,b的符号相反,符合公式特点,故此选项正确;D选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误.故选C.
C
课堂练习
解析:A选项(x- 2y)(2y+x)=(x- 2y)(x+2y)=x2- 4y2,所以A选项不正确;B选项(- 2y- x)(x+2y)不符合平方差公式结构特征,所以B选项正确;C选项(x- 2y)(- x- 2y)=- (x- 2y)(x+2y)=
- x2+4y2,所以C选项不正确;D选项(2y- x)(- x- 2y)=(x- 2y)(x+2y)=x2- 4y2,所以D选项不正确.故选B.
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是 (　　)
A.(x- 2y)(2y+x) B.(- 2y- x)(x+2y)
C.(x- 2y)(- x- 2y) D.(2y- x)(- x- 2y)
B
3.下列各题的计算是否正确 错的如何改正
(1)(x+2)(x- 2)=x2- 2;
(2)(- 3a- 2)(3a- 2)=9a2- 4.
解:(1)错误,改正:(x+2)(x- 2)=x2- 4.
(2)错误,改正:(- 3a- 2)(3a- 2)=4- 9a2.
4.计算.
(1)(200+1)(200- 1)；(2)102×98；
(3)9.9×10.1.
解:(1)(200+1)(200- 1)=2002- 12=40000- 1=39999.
(2)102×98=(100+2)(100- 2)=1002- 22=10000- 4=9996.
(3)9.9×10.1=(10- 0.1)(10+0.1)=102- 0.12=100-0.01=99.99.
5.计算.
(1)(a+3b)(a- 3b);
(2)(3+2a)(- 3+2a);
(3)(- 2x2- y)(- 2x2+y).
解:(1)(a+3b)(a- 3b)=a2- 9b2.
(2)(3+2a)(- 3+2a)=4a2- 9.
(3)(- 2x2- y)(- 2x2+y)=(- 2x2)2- y2=4x4- y2.
解:由题意可知a2- 4b2=(a+2b)(a- 2b)=5×3=15.
6.已知a+2b=5,a- 2b=3,求a2- 4b2的值.
7.若a=2,求3( a2+1 )( a4+1 )( a8+1 )( a16+1 )的值.
解:原式=( 22-1 )( 22+1 )( 24+1 )( 28+1 )( 216+1 )=( 24-1 )·( 24+1 )( 28+1 )( 216+1 )
=( 28-1 )( 28+1 )( 216+1 )=( 216-1 )( 216+1 )=232-1.
平方差公式
内容
数学语言
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
平方差公式的几何验证及应用
课堂小结
谢谢
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