1.6 完全平方公式 教学课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
北师大版 七年级下册数学
第一章 整式的乘除
1.6完全平方公式
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
复习引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种
(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行
比较.你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
情景引入
计算下列多项式的积。
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= .
p2－2p+1
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= .
m2－4m+4
一、完全平方公式
计算两数和的平方，你能发现什么规律？
（a+b）2
= (a+b)(a+b)
=a2+ab+ba+b2
=a2+2ab+b2
（a＋b）2= ？
（a + b）2＝ a2 + 2ab + b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
计算两数差的平方，你能发现什么规律？
（a－b）2= ？
（a －b）2＝ a2 － 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
（a－b）2
=[a＋（－b）]2
=a2＋2a（－b）＋（－b）2
=a2－2ab＋b2
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
乘积2倍放中央，
符号同前方”
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
想一想:
二、完全平方公式的几何验证
b
b
a
a
(a+b)
a
b
ab
ab
+
+
和的完全平方公式：
完全平方公式 的几何意义
a
a
b
b
(a-b)
a
ab
ab
b
b
b
差的完全平方公式：
完全平方公式 的几何意义
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解: (2x－3)2=
=4x2
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
(a + b)2= a2 + 2 ab + b2
y2
(2) ( y+ )2.
=y2
+ y
+
+ ( )2
+ 2 y
解：( y+ )2 =
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗
为什么
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，
(a-b)2=a2-b2.
例2 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]
= x2－(2y－3)2
= x2－(4y2－12y+9)
= x2－4y2+12y－9.
方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
(2) (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用
完全平方公式计算.
例3 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平
方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
思考：怎样计算1032,982更简便呢？
(1) 1032；
解：原式= (100+3)2
=10000+600+9
=10609.
(2) 982.
解：原式= (100 –2)2
=10000 -400+4
=9604.
三、完全平方公式的应用
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
解: (1)
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
典例精析
(2) (a+b+c)2.
解：原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
例5 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
=(x2－4y2)2
=x4－8x2y2＋16y4.
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
例6 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2
的值．
解：因为a＋b＝7，
所以(a+b)2＝49.
所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.
(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
2.若a+b=7,ab=12,则a2- ab+b2的值为 (　　)
A.- 11 B.13 C.37 D.61
1.代数式2xy- x2- y2等于 (　　)
A.(x- y)2 B.(- x- y)2
C.- (y+x)2 D.- (x- y)2
解析:2xy- x2- y2=- (- 2xy+x2+y2)=- (x- y)2.故选D.
D
解析:因为a2- ab+b2=a2+b2- ab=(a+b)2- 3ab,所以当a+b=7,ab=12时,原式=(a+b)2- 3ab=49- 3×12=13.故选B.
B
课堂练习
解析:因为x2+16x+k是完全平方式,所以x2+16x+k=x2+2×x×8+64=(x+8)2,所以k等于64.故选A.
3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 (　　)
A.64 B.48 C.32 D.16
A
4.若代数式x2+3x+2可以表示为(x- 1)2+a(x- 1)+b的形式,则a+b的值是　　　　.
解析:因为x2+3x+2=(x- 1)2+a(x- 1)+b=x2+(a- 2)x+(b- a+1),所以a- 2=3,b- a+1=2,所以a=5,b=6,所以a+b=5+6=11.故填11.
11
注意完全平方公式和平方差公式的不同：
（1）形式不同．
（2）结果不同：
完全平方公式的结果是三项，
即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果是两项，
即 (a+b)(a b)＝a2 b2.
2.在解题过程中要准确确定a和b,对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号,2ab项不少乘2是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
1.
课堂小结
3.完全平方公式的几何验证及应用
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
合作探究
一、平方差公式
谢谢
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