2.2二次函数的图像与性质 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
北师大版九年级下册数学
第二章 二次函数
2.2二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象和性质
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
函数图象画法
列表
描点
连线
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
二次函数 y = x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　
问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？
在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.
顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点.
抛物线y=ax2与y=-ax2的关系
问题2 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
典例精析
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题2 从二次函数
开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
归 纳
y
O
x
y
O
x
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
y
y
x
O
O
练一练
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
x
y
O
观察图象,回答问题
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中作出二次函数y=3x 和 y=3(x-1) 的图象．
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y=-0.5x ,y=-0.5(x+1)2和y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
例 画出函数y=-0.5（x+1） -1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1） -1？
思考：
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移
1个单位,再沿直线x=-1向
上平移1个单位后得到的.
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象和抛物线y=-0.5x ,y=-0.5(x+1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
y=- (x+1) -1
y=- x
y=- (x+1)
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
顶点是
(-1,-1).
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值是 -1.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,
y=-3(x-1)2-2,y=-3x 和y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小
开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
y
X=1
与y=-3x 有关哟
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
抛物线y=a(x-h) +k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）。
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
变换步骤：
向左平移
1个单位
向上平移
1个单位
向左平移
1个单位
向上平移
1个单位
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=-h时,最小值为k.
当x=-h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
y
x
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？
点（1、3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就好啦!
点（3、0）在抛物线上，求a没问题。
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是顶点，
设抛物线的解析式为Y=a（x-1） +3 （0≤x≤3）
点（3、0）在抛物线上，所以有0=a（3-1） +3
∴ a=-
∴ y=- （x-1） +3 （0≤x≤3）
当x=0时，y=2.25，
即水管应长2.25m。
3
4
3
4
复习引入
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
极值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3






我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画二次函数 的图象．

思
考
我们知道，像 这样的函数的图象和性质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 也能化成这样的形式吗？
探究
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
··· ···
3
3.5
5
7.5
3.5
5
7.5
x
y
O
5
10
5
10
配方可得
由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
先画出二次函数 的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数
x
y
O
5
10
5
10
从二次函数 的图象可以看出：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
观察归纳
因此，抛物线 的对称轴是 顶点坐标是
归
纳
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点与对称轴
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
因为
所以，有y=a(x－h)2+k
配方
因此，任何一个二次函数图象都可以通过将y=ax2进行平移得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h|个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k|个单位，
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax +bx+c
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
本课小结
例1 填表：
典例精析
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
( ,-6)
直线x=
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
D
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
课堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php