2.3确定二次函数的表达式 课件（共31张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.3确定二次函数的表达式 课件（共31张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 627.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-27 21:02:52 | ||
图片预览
文档简介
(共31张PPT)
北师大版九年级下册数学
第二章 二次函数
2.3确定二次函数的表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m )与水平距离
x ( m )之间的关系如图所示，其中(4, 3)为图象的顶点，
你能求出y与x之间的关系式吗？
知识点
确定二次函数的表达式
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.
1
总 结
形式 含有的字母 需用条件
y＝ax2 a 一个
y＝ax2＋c a，c 两个
y＝a(x－h)2 a，h y＝a(x－h)2＋k a，h，k 三个
y＝ax2＋bx＋c a，b，c y＝a(x－x1)(x－x2) a，x1，x2 1.
总 结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特
别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，
应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功
倍的效果．
2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表
达式．
例1 已知二次函数y=ax +c的图象经过点（2，3)和
（-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
解：将点(2, 3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y= ax2+c，
得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5.
导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在
坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.
将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－ ，∴抛物线
对应的函数表达式为y＝－ x2.
例2 〈衡阳改编，图文信息题〉如图，已知
抛物线的顶点在坐标原点，矩形ABCD
的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于
x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴
上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式
为___________．
总 结
如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数
的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，
则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)；
若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐
标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个
求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的
二次函数与第(1)题相同.
2
知识点
用一般式(三点式)确定二次函数表达式
例3 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代入表达式，得
所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为
例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函
数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说
明不选择另一种函数的理由．
(2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量
的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内
选择？请直接写出结果．
温度x/℃ … －4 －2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度 增长量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
导引：由x，y的对应关系，易知y是x的二次函数．
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，
∴y关于x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49.
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总 结
已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．
1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
2 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一
个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．
3 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2,
3)，求这个二次函数的表达式.
顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
知识点
3
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
交点法求二次函数的表达式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
知识点
4
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：
若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝
ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函
数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知
图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－
x2)求．
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是( )
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的解析式 .
x 0 1 2 3 4
y 3 0 2 0 3
y=x2 4x+3
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE= ，当点M在OA
上时，ON=t，MN= ，所以S= （0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
值不变为 ，所以S= （2≤t≤4），故选C.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
北师大版九年级下册数学
第二章 二次函数
2.3确定二次函数的表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m )与水平距离
x ( m )之间的关系如图所示，其中(4, 3)为图象的顶点，
你能求出y与x之间的关系式吗？
知识点
确定二次函数的表达式
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.
1
总 结
形式 含有的字母 需用条件
y＝ax2 a 一个
y＝ax2＋c a，c 两个
y＝a(x－h)2 a，h y＝a(x－h)2＋k a，h，k 三个
y＝ax2＋bx＋c a，b，c y＝a(x－x1)(x－x2) a，x1，x2 1.
总 结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特
别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，
应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功
倍的效果．
2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表
达式．
例1 已知二次函数y=ax +c的图象经过点（2，3)和
（-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
解：将点(2, 3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y= ax2+c，
得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5.
导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在
坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.
将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－ ，∴抛物线
对应的函数表达式为y＝－ x2.
例2 〈衡阳改编，图文信息题〉如图，已知
抛物线的顶点在坐标原点，矩形ABCD
的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于
x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴
上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式
为___________．
总 结
如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数
的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，
则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)；
若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐
标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个
求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的
二次函数与第(1)题相同.
2
知识点
用一般式(三点式)确定二次函数表达式
例3 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代入表达式，得
所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为
例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函
数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说
明不选择另一种函数的理由．
(2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量
的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内
选择？请直接写出结果．
温度x/℃ … －4 －2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度 增长量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
导引：由x，y的对应关系，易知y是x的二次函数．
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，
∴y关于x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49.
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总 结
已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．
1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
2 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一
个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．
3 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2,
3)，求这个二次函数的表达式.
顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
知识点
3
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
交点法求二次函数的表达式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
知识点
4
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：
若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝
ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函
数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知
图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－
x2)求．
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是( )
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的解析式 .
x 0 1 2 3 4
y 3 0 2 0 3
y=x2 4x+3
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE= ，当点M在OA
上时，ON=t，MN= ，所以S= （0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
值不变为 ，所以S= （2≤t≤4），故选C.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php