2.5二次函数与一元二次方程 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.5二次函数与一元二次方程 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 678.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-28 10:44:54 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
北师大版九年级下册数学
第二章 二次函数
2.5二次函数与一元二次方程
创设情境，导入新课
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋2＝0的根为_______．
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______．
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．
－2 0
－2
2 0
2
创设情境，导入新课
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y= ax2+bx+c(a≠0) ，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5 二次函数与一元二次方程 第一课时．
合作探究，展示交流
(1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？
(2) 当x取何值时，y＝0 ？这里x的取值
与方程有什么关系？
(3) 你能从中得到什么启发？
问题:画函数 y=x2－2x－3的图象,根据图象
回答下列问题：
动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象
x
y
y＝x2－2x－3
你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为：
（－1，0）（3，0）。
方程x2－2x－3 ＝0的两根是：
x1＝ －1，x2 ＝ 3。
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决。
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗
（3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
观察下列二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点; ②有一个交点；
③没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有数学根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_____________ ．
b2 – 4ac ≥ 0
已知，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
应用新知，解决问题
h=-5t2+v0t+h0，一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么：
1.h和t的关系式是？
2.图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？
3.小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
h=－5t2＋40t．
2 4 6 8
A
B
8s. 可以利用图象，也可以解方程
－5t2＋40t=0。
拓展训练, 能力提升
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A、 a＜0， b＜0， c＞0，b2﹣4ac＞0
B、 a ＞0， b ＜0， c ＞0， b2﹣4ac ＜0
C、 a ＜0， b ＞0， c ＜0， b2﹣4ac ＞0
D、 a ＜0， b ＞0， c ＞0， b2﹣4ac ＞0
2.若关于x的函数 与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 —————— .
3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的间．
(1)t=1时，足球的高度是多少？
(2)t为何值时，h最大？
(3)球经过多长时间球落地？
(4)方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
(5)方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大.
(3)对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地意味着h=0 即－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0(舍去),t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(5)解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3 表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标.
(4) 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐 标.
回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3)确定方程x2+2x-10=0的解；
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3，x2≈2.3.
活动探究
分别约为-4.3和2.3
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y=x2+2x-10
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3.
约为2.3.
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
做一做
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7，x2≈2.7.
(2) 作直线y=3；
(1)原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
解法2
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
课堂点睛
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解
在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？
1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=
-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
O
x
y
1
3
－1
答案:D
2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
O
x
y
A
x = 2
B
答案:D
3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），
与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解析】（1）由题意得
，解得
故所求解析式为
解得
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．
（2）令
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
4．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
答案:4
5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 ,
∴
，
，
（2）依题意，
，
，
，
谢谢
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第二章 二次函数
2.5二次函数与一元二次方程
创设情境，导入新课
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋2＝0的根为_______．
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______．
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．
－2 0
－2
2 0
2
创设情境，导入新课
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y= ax2+bx+c(a≠0) ，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5 二次函数与一元二次方程 第一课时．
合作探究，展示交流
(1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？
(2) 当x取何值时，y＝0 ？这里x的取值
与方程有什么关系？
(3) 你能从中得到什么启发？
问题:画函数 y=x2－2x－3的图象,根据图象
回答下列问题：
动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象
x
y
y＝x2－2x－3
你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为：
（－1，0）（3，0）。
方程x2－2x－3 ＝0的两根是：
x1＝ －1，x2 ＝ 3。
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决。
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗
（3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
观察下列二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点; ②有一个交点；
③没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有数学根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_____________ ．
b2 – 4ac ≥ 0
已知，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
应用新知，解决问题
h=-5t2+v0t+h0，一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么：
1.h和t的关系式是？
2.图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？
3.小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
h=－5t2＋40t．
2 4 6 8
A
B
8s. 可以利用图象，也可以解方程
－5t2＋40t=0。
拓展训练, 能力提升
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A、 a＜0， b＜0， c＞0，b2﹣4ac＞0
B、 a ＞0， b ＜0， c ＞0， b2﹣4ac ＜0
C、 a ＜0， b ＞0， c ＜0， b2﹣4ac ＞0
D、 a ＜0， b ＞0， c ＞0， b2﹣4ac ＞0
2.若关于x的函数 与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 —————— .
3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的间．
(1)t=1时，足球的高度是多少？
(2)t为何值时，h最大？
(3)球经过多长时间球落地？
(4)方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
(5)方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大.
(3)对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地意味着h=0 即－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0(舍去),t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(5)解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3 表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标.
(4) 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐 标.
回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3)确定方程x2+2x-10=0的解；
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3，x2≈2.3.
活动探究
分别约为-4.3和2.3
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y=x2+2x-10
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3.
约为2.3.
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
做一做
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7，x2≈2.7.
(2) 作直线y=3；
(1)原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
解法2
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
课堂点睛
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解
在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？
1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=
-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
O
x
y
1
3
－1
答案:D
2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
O
x
y
A
x = 2
B
答案:D
3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），
与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解析】（1）由题意得
，解得
故所求解析式为
解得
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．
（2）令
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
4．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
答案:4
5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 ,
∴
，
，
（2）依题意，
，
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