2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.1菱形的性质与判定 分类训练（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》知识点分类训练（附答案）
一．菱形的性质
1．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为 　 　．
3．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为　 　．
4．菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．1
5．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1＝（　　）
A．30° B．25° C．60° D．15°
6．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
11．如图，在菱形ABCD中，M、N分别是边BC、CD上的点，且AM＝AN＝MN＝AB，则∠C的度数为　 　．
12．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
13．已知，如图，菱形ABCD，DE⊥AB于E，且E为AB的中点，已知BD＝4．
（1）∠DAB的度数；
（2）AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm，求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
15．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件　 　．
二．菱形的判定
16．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
17．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件　 　，则四边形ABCD为菱形．
18．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°
19．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
20．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
22．已知，如图所示，△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，试说明四边形AEDF是菱形．
23．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
求证：四边形AODE是菱形．
三．菱形的判定与性质
24．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．
25．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积．
参考答案
一．菱形的性质
1．解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴对角线相等不是菱形的性质，
故选：D．
2．解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故答案为：16．
3．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF＝BD，
∵EF＝5，
∴BD＝10，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，
故答案为：40．
4．解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
则∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝60°，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠B＝∠D＝120°，
∴∠1＝30°，
故选：A．
6．解：设另一条对角线长为xcm，
则×6 x＝12，
解得x＝4．
故选：B．
7．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵AC+BD＝14，
∴OD+AO＝7①，
∵∠AOB＝90°，
∴OD2+OA2＝25②，
由①②两式可得49﹣2OD OA＝25，
解得：OD OA＝12，
∴BD AC＝2OD 2OA＝4OD OA，
∴菱形面积＝BD AC＝2OD OA＝24．
故选：B．
8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
9．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
10．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD AG＝AB OE+AD OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AM＝AN＝MN＝AB，
∴AB＝AM，AN＝AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，∠MAN＝60°，
设∠B＝x，则∠AMB＝x，∠BAM＝∠DAN＝180°﹣2x，
∵∠B+∠BAD＝180°，
∴x+180°﹣2x+60°+180°﹣2x＝180°，
解得：x＝80°，
∴∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
12．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
13．解：（1）∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BA，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°；
（2）∵BD＝4，△ABD是等边三角形，
∴DO＝2，AD＝4，
∴AO＝＝2，
∴AC＝4；
（3）菱形ABCD的面积为：BD AC＝×4×4＝8．
14．解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∴∠ABO＝30°，
∵菱形ABCD的周长是48cm，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝12cm，
∴AO＝6cm，则BO＝6cm，
故AC＝12cm，BD＝12cm；
（2）菱形ABCD的面积为：×12×12＝72（cm2）．
15．解：添加的条件应为：AC＝BD．
证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，
则HG∥EF且HG＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：AC＝BD
二．菱形的判定
16．解：需要添加的条件是AB＝BC；
理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
17．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
18．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项C不符合题意；
D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
19．解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH＝HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．
20．证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴BH＝HC，
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形．
21．证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
22．证明：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形．
23．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形AODE为菱形．
三．菱形的判定与性质
24．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC AE＝2×3＝6．
故答案是：6．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．