6-2矩形的性质与判定 知识点分类训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》知识点分类训练（附答案）
一．矩形的性质
1．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4 B．2 C．5 D．4
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4 B．4 C．3 D．5
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）
A．20° B．40° C．80° D．100°
4．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（　　）
A．10 B．4.8 C．6 D．5
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（　　）
A．30° B．45° C．50° D．55°
8．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 　 　cm．
10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．在运动过程中：
（1）Rt△AOB斜边中线的长度是否发生变化 　 　（填“是”或“否”）；
（2）点D到点O的最大距离是 　 　．
11．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，3）、（2，﹣1），则其第四个顶点的坐标为　 　．
12．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F和G，则PF+PG一定与图中哪条线段的长度相等：　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为　 　．
14．矩形的两条对角线的夹角是60°，矩形短边长为3，那么矩形对角线的长为　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为　 　．
二．矩形的判定
16．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°
18．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．
（1）求∠CFD的度数；
（2）求证：四边形FDEC是矩形．
20．在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　 　．
21．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
三．矩形的判定与性质
22．如图，AD是 ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
23．如图，已知 ABCD，延长AB到E使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝4，CD＝2，求AC的长．
参考答案
一．矩形的性质
1．解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故选：C．
2．解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
3．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；
∵BO＝DO，
∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；
当∠ABD＝45°时，
则∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．
故选：C．
5．解：∵矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
∴四边形ABFE里面的空白三角形的面积和四边形EDCF中阴影三角形的面积相等．
∴求阴影部分的面积可看成求四边形ABFE的面积．
∴阴影部分的面积为：（2×3）÷2＝3．
故选：A．
6．解：如图，连接OP，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝×10＝5，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP，
∴××6×8＝×5 PE+×5 PF，
解得PE+PF＝4.8．
故选：B．
7．解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴x+3x＝90，
x＝22.5°，
即∠FDC＝x°＝22.5°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，
∴ED＝EC，
∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，
∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠DAC＝∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC＝60°，DC＝AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC＝OD，
∴BE＝BO，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝75°，
∵∠AOB＝∠DOC＝60°，
∴∠AOE＝60°+75°＝135°，∴③正确；
∵OA＝OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE＝S△COE，∴④正确；
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝5（cm）．
故答案为：5．
10．解：（1）如图，设斜边中点为Q，在运动过程中，斜边中线OQ＝＝3.
∵AB长度不变，故OQ不变，
故答案为：否；
（2）在矩形的运动过程当中，有DQ+OQ≥OD，
当D、Q、O三点共线时，则有DQ+OQ＝OD，此时，OD取得最大值，如图所示，
∵Q为AB中点，
∴AQ＝＝3，
又AD＝BC＝2，
∴DQ＝＝，
∴OD＝DQ+OQ＝．
故答案为：．
11．解：如图，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（2，3），
∵四边形ABCD为长方形，
∴D（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
12．证明：连接PE，如图
∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP
＝
＝，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，AB＝CD，
∴S△BED＝，
∴，
∴PF+PG＝AB＝CD．
故答案为：AB或CD．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
14．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴AC＝2OA＝6．
即矩形对角线的长为6．
故答案为：6．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6．
故答案为：6．
二．矩形的判定
16．解：如图所示：
以AB为对角线的格点矩形有3个，
以AB为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个，
故选：D．
17．解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，
故选项A不符合题意；
若∠DAB＝90°，则四边形ABCD是矩形，
故选项B不符合题意；
若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，
故选项C符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，
若∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
则四边形ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
18．解：需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DF是∠ADC的角平分线，
∴DF⊥AC．
∴∠CFD＝90°；
（2）证明：如图，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴BD＝CD，
∵DE是∠BDC的角平分线，
∴DE⊥BC．
∴∠DEC＝90°，
∵∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
20．解：当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：①③④．
21．证明：∵BD是AC的垂直平分线
∴AD＝DC，BD⊥CA，
∴∠BDC＝90°，
∵由题意知：AB∥DE，AD∥BE
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∴DC＝BE，
又AC∥BE
即DC∥BE
∴四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
三．矩形的判定与性质
22．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2
∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OD＝OC，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF＝CD＝＝1，
∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，
∴OE＝＝＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴ BECD是矩形；
（2）解：∵CD＝2，
∴AB＝BE＝2．
∵AD＝4，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝2
∴CE＝2
∴AC＝＝2．