数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试1（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试1（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-02 18:39:54 | ||
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文档简介
数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章单元测试1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知向量与共线，则实数k＝（ ）
A．0 B．1
C．－1或2 D．－2或1
2．已知向量，且，那么（ ）
A． B．9 C． D．18
3．空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，且，为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在长方体中，是线段中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
7．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，正方体中，M是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．长方体中，分别在棱，上，且，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．
14．在棱长为1的正方体中，过点A的平面分别与棱，，交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面上的正投影的面积为，四边形AEFG在平面上的正投影的面积为.
给出下面四个结论：
①四边形AEFG是平行四边形；
②的最大值为2；
③的最大值为；
④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为.
则其中所有正确结论的序号是___________.
15．已知向量，，若与垂直，则___________.
16．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.
三、解答题
17．如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．
（1）证明：平面平面.
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
18．如图，在三棱台中，为的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，已知平面BCD，平面平面ACD，E，F分别是AD，AC的中点．
（1）求证：；
（2）若，直线BD与平面ABC所成角为30°，求二面角的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
21．已知空间内不重合的四点A，B，C，D的坐标分别为，，，，且．
（1）求k，t的值；
（2）求点B到直线CD的距离．
22．如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设
（1）试用 表示向量 ；
（2）若 ，异面直线 与 所成角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
利用空间向量共线的性质直接求解．
【详解】
向量与共线，
，
解得或1．
故选：．
2．D
【分析】
，则，使得，据此计算即可.
【详解】
依题意，由可知，，使得，于是，解得
于是.
故选：D.
3．A
【分析】
结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
4．A
【分析】
根据题干条件得到，利用基本不等式“1”的妙用进行求解最小值.
【详解】
，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当即，时等号成立.
故选：A
5．C
【分析】
由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.
【详解】
由底面是正方形，E为的中点，且，
根据向量的运算法则，可得
.
故选：C.
6．C
【分析】
将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】
连接、，
因为，
因为是线段的中点，则，
因此，
因此，.
故选：C.
7．B
【分析】
直接根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以
故选：B
8．B
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则,
所以，
所以，
所以为锐角，
所以，
故选：B
9．C
【分析】
根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
∵，∴
，∴，，
故选：C.
10．C
【分析】
由题知，，进而根据向量运算求解即可.
【详解】
解：因为，，所以，
所以
故选：C
11．D
【分析】
依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；
【详解】
解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；
故选：D
12．A
【分析】
根据线面角公式即可直接求出答案.
【详解】
设直线与平面所成角为，则，
又因为，所以.
故选：A.
13．
【分析】
根据题意得，进而得，即，再结合题意求解即可.
【详解】
解：因为四棱锥中，四边形为菱形，
所以，所以，所以．
所以，，，故．
故答案为：
14．①③④
【分析】
对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；
建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.
【详解】
对①，因为平面AEFG分别与平面、平面、平面、平面交于，易知平面∥平面，则，而平面∥平面，则，所以四边形AEFG是平行四边形.①正确；
以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记点G在平面上的投影点为点H，点F,G在平面上的投影点分别为点I,J.设，其中，则，，所以，由①，，则
.
易得，，所以，②错误；
，当且仅当时取“=”，③正确；
，令，即， 则此时，平行四边形AEFG是菱形，而此时，所以菱形的面积，当时，.④正确.
故答案为：①③④.
15．
【分析】
根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.
【详解】
解：与垂直，，
则，解得：，
，
则，
.
故答案为：.
16．##
【分析】
建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的正弦值.
【详解】
以D为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.设AB＝2，则，，，，.设平面EFC1B的一个法向量为，则 取x＝2，得.易知平面BCC1的一个法向量为.设平面EFC1B和平面BCC1所成的锐二面角为θ，则，所以.
故答案为：
17．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）先证明平面得，再根据几何关系得，进而得平面，最后结合判定定理即可证明；
（2）根据题意，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.
（1）
证明：因为圆所在的平面，即平面，
而平面，所以．
因为是圆的直径，为圆周上一点，
所以．
又，
所以平面，而平面，
则，
因为，，
所以．又，
所以，而为线段的中点，
所以．
又，
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）
解：以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
由（1）知平面的一个法向量为，
设二面角为，易知为锐角，则，
即二面角的余弦值为．
18．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）取的中点M，连接，证明平面即可；
（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量的坐标， 设直线与平面所成角为，由求解.
（1）
证明：如图所示：
取的中点M，连接，
因为，则，
又因为，
则，
平面，
又平面.
（2）
由（1）知，
二面角的平面角，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的一个法向量为：，
，令，则，
又，
由，
得，
设直线与平面所成角为，
则.
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）将线线垂直问题转化为线面垂直问题，结合已知逐步转化可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求，注意观察，借助平面ABC不难发现二面角为钝角.
（1）
过B作于H
∵平面平面ACD，平面平面
∴平面ACD
∵平面ACD
∴
∵平面BCD，平面BCD
∴
又∵
∴平面ABC
∵平面ABC
∴
（2）
以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
由（1）知BD在平面ABC内的射影为BC，即为直线BD与平面ABC所成角
∴，，，，
，，，
，，，
设面BAD的法向量由
得，令，则，，即
设面BEF的法向量
由，得，
令，则，，即
设二面角的平面角为，由图知为钝角，
所以
即二面角的余弦值为
20．
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；
（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
（1）
因为底面，、底面，所以，，
所以，，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面
（2）
由（1）知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，
则，，即
所以可取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
21．
（1），
（2）
【分析】
（1）由，可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解；
（2）设直线与所成的角为，求出，再根据点B到直线CD的距离为即可得解．
（1）
解： ，，
因为，所以存在唯一实数，使得，
所以，
所以，解得，
所以，；
（2）
解：，
则，
设直线与所成的角为，则，
所以点B到直线CD的距离为.
22．
（1）
（2）
【分析】
（1）由向量中线定理和三角形法则可得答案；
（2）计算出，，代入，，， 由异面直线向量夹角公式可得答案.
（1）
因为D为中点，
所以，
由．所以，
所以．
（2）
由题意知，
，
所以，
，
，
所以，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知向量与共线，则实数k＝（ ）
A．0 B．1
C．－1或2 D．－2或1
2．已知向量，且，那么（ ）
A． B．9 C． D．18
3．空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，且，为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在长方体中，是线段中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
7．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，正方体中，M是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．长方体中，分别在棱，上，且，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．
14．在棱长为1的正方体中，过点A的平面分别与棱，，交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面上的正投影的面积为，四边形AEFG在平面上的正投影的面积为.
给出下面四个结论：
①四边形AEFG是平行四边形；
②的最大值为2；
③的最大值为；
④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为.
则其中所有正确结论的序号是___________.
15．已知向量，，若与垂直，则___________.
16．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.
三、解答题
17．如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．
（1）证明：平面平面.
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
18．如图，在三棱台中，为的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，已知平面BCD，平面平面ACD，E，F分别是AD，AC的中点．
（1）求证：；
（2）若，直线BD与平面ABC所成角为30°，求二面角的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
21．已知空间内不重合的四点A，B，C，D的坐标分别为，，，，且．
（1）求k，t的值；
（2）求点B到直线CD的距离．
22．如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设
（1）试用 表示向量 ；
（2）若 ，异面直线 与 所成角的余弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
利用空间向量共线的性质直接求解．
【详解】
向量与共线，
，
解得或1．
故选：．
2．D
【分析】
，则，使得，据此计算即可.
【详解】
依题意，由可知，，使得，于是，解得
于是.
故选：D.
3．A
【分析】
结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
4．A
【分析】
根据题干条件得到，利用基本不等式“1”的妙用进行求解最小值.
【详解】
，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当即，时等号成立.
故选：A
5．C
【分析】
由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.
【详解】
由底面是正方形，E为的中点，且，
根据向量的运算法则，可得
.
故选：C.
6．C
【分析】
将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】
连接、，
因为，
因为是线段的中点，则，
因此，
因此，.
故选：C.
7．B
【分析】
直接根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以
故选：B
8．B
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则,
所以，
所以，
所以为锐角，
所以，
故选：B
9．C
【分析】
根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
∵，∴
，∴，，
故选：C.
10．C
【分析】
由题知，，进而根据向量运算求解即可.
【详解】
解：因为，，所以，
所以
故选：C
11．D
【分析】
依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；
【详解】
解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；
故选：D
12．A
【分析】
根据线面角公式即可直接求出答案.
【详解】
设直线与平面所成角为，则，
又因为，所以.
故选：A.
13．
【分析】
根据题意得，进而得，即，再结合题意求解即可.
【详解】
解：因为四棱锥中，四边形为菱形，
所以，所以，所以．
所以，，，故．
故答案为：
14．①③④
【分析】
对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；
建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.
【详解】
对①，因为平面AEFG分别与平面、平面、平面、平面交于，易知平面∥平面，则，而平面∥平面，则，所以四边形AEFG是平行四边形.①正确；
以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记点G在平面上的投影点为点H，点F,G在平面上的投影点分别为点I,J.设，其中，则，，所以，由①，，则
.
易得，，所以，②错误；
，当且仅当时取“=”，③正确；
，令，即， 则此时，平行四边形AEFG是菱形，而此时，所以菱形的面积，当时，.④正确.
故答案为：①③④.
15．
【分析】
根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.
【详解】
解：与垂直，，
则，解得：，
，
则，
.
故答案为：.
16．##
【分析】
建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的正弦值.
【详解】
以D为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.设AB＝2，则，，，，.设平面EFC1B的一个法向量为，则 取x＝2，得.易知平面BCC1的一个法向量为.设平面EFC1B和平面BCC1所成的锐二面角为θ，则，所以.
故答案为：
17．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）先证明平面得，再根据几何关系得，进而得平面，最后结合判定定理即可证明；
（2）根据题意，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.
（1）
证明：因为圆所在的平面，即平面，
而平面，所以．
因为是圆的直径，为圆周上一点，
所以．
又，
所以平面，而平面，
则，
因为，，
所以．又，
所以，而为线段的中点，
所以．
又，
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）
解：以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
由（1）知平面的一个法向量为，
设二面角为，易知为锐角，则，
即二面角的余弦值为．
18．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）取的中点M，连接，证明平面即可；
（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量的坐标， 设直线与平面所成角为，由求解.
（1）
证明：如图所示：
取的中点M，连接，
因为，则，
又因为，
则，
平面，
又平面.
（2）
由（1）知，
二面角的平面角，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的一个法向量为：，
，令，则，
又，
由，
得，
设直线与平面所成角为，
则.
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）将线线垂直问题转化为线面垂直问题，结合已知逐步转化可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求，注意观察，借助平面ABC不难发现二面角为钝角.
（1）
过B作于H
∵平面平面ACD，平面平面
∴平面ACD
∵平面ACD
∴
∵平面BCD，平面BCD
∴
又∵
∴平面ABC
∵平面ABC
∴
（2）
以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
由（1）知BD在平面ABC内的射影为BC，即为直线BD与平面ABC所成角
∴，，，，
，，，
，，，
设面BAD的法向量由
得，令，则，，即
设面BEF的法向量
由，得，
令，则，，即
设二面角的平面角为，由图知为钝角，
所以
即二面角的余弦值为
20．
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；
（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
（1）
因为底面，、底面，所以，，
所以，，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面
（2）
由（1）知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，
则，，即
所以可取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
21．
（1），
（2）
【分析】
（1）由，可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解；
（2）设直线与所成的角为，求出，再根据点B到直线CD的距离为即可得解．
（1）
解： ，，
因为，所以存在唯一实数，使得，
所以，
所以，解得，
所以，；
（2）
解：，
则，
设直线与所成的角为，则，
所以点B到直线CD的距离为.
22．
（1）
（2）
【分析】
（1）由向量中线定理和三角形法则可得答案；
（2）计算出，，代入，，， 由异面直线向量夹角公式可得答案.
（1）
因为D为中点，
所以，
由．所以，
所以．
（2）
由题意知，
，
所以，
，
，
所以，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
答案第1页，共2页
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