2021-2022学年鲁教版(五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定 同步达标测试题（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在长方形ABCD中，AB＝24，BC＝25，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，则EC的长为（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
3．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　）
A．55° B．40° C．35° D．20°
5．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．下列关于四边形的说法，正确的是（　　）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
7．下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
二．填空题（共11小题，满分44分）
9．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径和弧上，若∠O＝60°，OB＝BC，OE＝4，则AB的长为 　 　．
10．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝　 　°．
11．如图，已知矩形ABCD，AB：AD＝2：3，若∠BAD的平分线与BC交于点E，则BE：EC等于　 　．
12．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝　 　°．
13．如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　．
15．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝，AF＝，则AC的长为　 　．
16．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若AB＝5，DE＝2，则△BEC的面积为　 　．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　 　．
18．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是　 　．
19．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是　 　cm．
三．解答题（共4小题，满分36分）
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；
（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．
21．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE．求证：四边形DEBF是矩形．
22．如图，在 ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：连接BE，
由题意知，BE＝BC＝25，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝24，AD＝BC＝25，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝25﹣7＝18，
在Rt△EDC中，EC＝，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
5．解：∵菱形具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分；
矩形具有的性质：对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分；
∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：D．
6．解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故选：D．
7．解：A、在 ABCD，若∠A＝∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在 ABCD中，AC＝BD，
则 ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在 ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．解：根据图形，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
则得到：∠1+∠3＝90°，
根据三角形内角和定理得到：∠AFB＝∠EFG＝90°，
同理，平行四边形的相邻角的平分线一定互相垂直，
因而平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成四边形，四边形的四个内角一定是直角，即四边形是矩形．
故选：A．
二．填空题（共11小题，满分44分）
9．解：如图，连接OD，
∴OD＝OE＝4，
∵OB＝BC，
∴BC＝2OB，
∴OC＝OB+BC＝3OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝DC，
在Rt△AOB中，∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴AB＝OB，
∴CD＝OB，
在Rt△OCD中，根据勾股定理，得
OD2＝OC2+CD2，
∴42＝（3OB）2+（OB）2，
解得OB＝，
∴AB＝OB＝×＝2．
故答案为：2．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝65°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝65°+65°＝130°，
故答案为：130．
11．解：设AB＝2a，则AD＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3a，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线与BC相交于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝2a，
∴CE＝BC﹣BE＝3a﹣2a＝a，
∴BE：EC＝2：1，
故答案为：2：1．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DOE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135．
13．解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，
∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝5×12＝60，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝＝13，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，
∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB PF+OC PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故答案案为：．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，
故答案为：15°．
15．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝，
又∵BE＝，
∴BC＝BE+EC＝+＝8，
在Rt△ABE中，
AB＝＝＝＝6，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝10．
故答案为：10．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝CD＝5，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE，
设BC＝BE＝x，
∴AE＝x﹣2，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴52+（x﹣2）2＝x2，
∴x＝，
∴BC＝，
∴△BEC的面积＝×BC×DC＝×5＝．
故答案为：．
17．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
18．解：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC＝13，
故答案为：13．
19．解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，
∴∠A＝90°，
又∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴四边形ADME是矩形，
连接AM，则AM＝DE，
由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，
此时，S△ABC＝BC AM＝×5 AM＝×3×4，
解得AM＝2.4，
即DE＝2.4cm．
故答案为：2.4．
三．解答题（共4小题，满分36分）
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝DC﹣CF，
即DF＝EB，
又∵AB∥DC，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴ DEBF是矩形．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝FD，
∴AE+EF＝FD+EF，
即AF＝DE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴ ABCD为矩形．
23．（1）证明：∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x
在Rt△DCF中，
∵x2＝（8﹣x）2+42 ，
∴x＝5，
∴CD＝5．