2022年人教版七年级数学下册5.1.2 垂线（第一课时）课件（29张）

(共29张PPT)
第五章 相交线与平行线
5.1.2垂线
第一课时
【学习目标】
1．理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
【课前预习】
1．过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．两直线相交所成的四个角中有两个角相等，则这两条直线互相垂直B．在同一平面内，经过一已知点能画一条直线和已知直线垂直C．一条直线可以有无数条垂线D．在同一平面内，过射线的端点与射线垂直的直线只有一条
3．下列说法正确的是( )
A．直线一定比射线长 B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大
4．下列说法中不正确的是（ ）　　
A.两点之间的所有连线中，线段最短B.两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．下列说法中，正确的个数是(　　)
(1)相等的角是对顶角；(2)平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；
(3)两条直线相交有且只有一个交点；(4)两条直线相交成直角，则这个两条直线互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
【课前预习】答案
1．B
2．A
3．B
4．C
5．C
导入新课
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
一：垂线的概念
阅读教材第3页至4页，思考下列问题：
两条相交直线在什么情况下是垂直的？
什么叫垂线？什么叫垂足？
2.垂线是一条直线还是线段
3.请举出生活中垂直的例子。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗
F
E
M
N
O
记作：MN⊥EF ，垂足为O.
或者MN⊥EF于O
A
B
O
E
记作：AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
∵∠AOD=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定义)
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD (已知)
∴ ∠AOD=90°(垂直的定义)
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直的定义的应用格式
∵∠AOC=90°(已知)，
∴AB⊥CD(垂直的定义)．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°(或三个角中的一个角等于90°)，那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD(已知)，
∴∠AOC＝90°(垂直的定义)．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成：
导引： 要判断OE，OF是什么位置关
系，其实质是说明OE，OF是
否垂直，即要看∠EOF是否为
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题
转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.　
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
总 结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，
且∠BOD与∠BOE互余，即可
求出∠AOC的度数；根据OD平
分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出
∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
∠AOF的度数．
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
练习：当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直．理由：设所成的四个角中有一个角的度数为m°，则其余三个角的度数分别为180°－m°，m°，180°－m°，由题意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以这两条直线互相垂直．
二、垂线的画法
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂
线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线
所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部
分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长
线上，并记上直角符号“﹁”．
注意：画垂线也可用以下两种方法：
(1)利用量角器画；(2)用折叠法画．
例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请
你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画
已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如上页图.
总 结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知
点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角
是90°.
结论: 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
三、垂线的性质（1）
强调： 在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:
其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；
“有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的
垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯
一性．
1、垂线的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质(1)
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移；四、画
小结：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
【课后练习】
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B．互相垂直的两条直线不一定相交C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cmD．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
2．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）．
A．有两个角相等B．有两对角相等C．有三个角相等D．有四对邻补角
3．下列说法中错误的是（ ）
A．一个锐角的补角一定是钝角；B．同角或等角的余角相等；C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
4．下列说法：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
5．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB，使PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．40°或140° D．50°或130°
6．已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
7．如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少9°，那么这两个角的和是__________．
8．直线AB⊥CD，垂足为点O，直线EF经过点O，若锐角∠COE=m°，则∠AOF=__________°（用含m的代数式表示）.
9．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2=_______．
10．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA、PB，若PA⊥PB，当∠MPA=55°时，则∠NPB度数是______．
【课后练习】答案
1．C 2．C 3．D 4．B 5．D
6．107或163
7．180°或18°
8．90±m
9．35°或145°
10．35°或145°