2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.6.1余弦定理习题课课件（59张ppt）

(共59张PPT)
2.6.1余弦定理
（习题课）
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标和数学素养
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
3.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
复习引入
余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
注意：正弦定理结构的最大特点是等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美
前后呼应
余弦定理推论
余弦定理功能
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形
(2)已知两边及一角解三角形
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍
研究边
求边
1.在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．
求边
2.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________
1.先解一元二次方程得到余弦值
2.用余弦定理求边
求边
2.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________
5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝ ．根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3× ＝16，
∴c＝4，即第三边c的长为4．
求边
3.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，b＝，求c．
1.利用内角和π和A＋C＝2B得角B
2.利用余弦定理求边c
求边
3.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，b＝，求c．
在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°．
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
即 ()2＝82－2ac，
∴ac＝15，
∵a＋c＝8， 解得c＝3或c＝5．
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
1.设中线长，两次用余弦定理，列出方程组
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
三角形中线向量公式，把表示出来，加模，平方。。。
这种方法最好
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
求中线长
4.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长
可以用平行四边形规则
求中线长
5.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1　　　B．2 C．3 D.
求边的组合
1.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
1.对这一堆边，肯定不是把各边都求出来再代入；
2.余弦定理，把这些边组合起来。
求边的组合
1.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°
＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
求边的组合
2.
1.双余弦理
求边的组合
2.
2.本来就是公式
A
B
C
求边的组合
求边最值或范围
1.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是(　　)
A．(2，4) B．(2，3]
C．[3，) D．(2，)
1.一方面利用余弦定理构建c边关于cosC的余弦型函数；
2.由于三角形是锐角三角形，1>cosC>0,得到c的范围；
3.另一方面，三角形本身包含的三边不等关系。本题很重要。
求边最值或范围
1.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是(　　)
A．(2，4) B．(2，3]
C．[3，) D．(2，)
由题意得20＋，且c2＋1－9>0，且19－c2>0， 所以2求边最值或范围
2.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________
1.三角形本身的三边不等式要注意
2.通过余弦定理，用角表示边
3.角B,C可以是钝角。需分类讨论。此题也非常重要。
求边最值或范围
2.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________
研究角
求角
1.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
整理三边关系式，得到余弦定理所需的清晰的边的关系，逆用余弦定理，得余弦值，再得角。这种考法是经常性的
求角
1.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
B　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝，
∴A＝60°．
求角
2.已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)
A．90° B．120° C．135° D．150°
1.由三边之比知角的大小；2.只要求出中间角的大小，就可得最大角与最小角之和
求角
2.已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)
A．90° B．120° C．135° D．150°
设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°．则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°．
求角
将边集中到一起，逆用余弦定理，转化为三角恒等式，三角化简，出角
求角
求三角函数值
1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
利用余弦定理求出边c，可知最大边，可知最大角；
在三边已知的条件下，再使用余弦定理，可求最大角的余弦值
求三角函数值
1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7× ＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A=
求三角函数值
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7× ＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A=
求三角函数值
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________
1.把cos(A-B)展开也没有用
2.上绝招：在三角形中构造差角
求三角函数值
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________
求三角函数值
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________
求三角函数值
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，cos(A－B)＝，则cos C＝________
求三角函数值
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
求三角函数值
5.
已知高求三角值，典例。
借助于高，沟通三边关系，为余弦定理铺路
求值最值或范围
1.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
1.求角的范围，先求其三角函数值的范围，再借助函数的单调性或单位圆得角的范围。
2.就目前来说，也只能求余弦值范围。
求值最值或范围
1.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
研究形状
判断三角形形状
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
由>0,联想到余弦定理，得到角C的余弦，如果是负值，角C是钝角，三角形是钝角三角形。
判断三角形形状
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
判断三角形形状
2.在△ABC中，已知＝,分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
1.降次升角，获得cosA
2.作余弦定理获得三边关系，符合勾股定理
判断三角形形状
2.在△ABC中，已知＝,分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
在△ABC中，
由＝ ，得
∴cos A＝．根据余弦定理的推论＝ ．
∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
判断三角形形状
3.在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
判断三角形形状
4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos A＝，b＋c＝2a，则△ABC的形状为________．