2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.6.1余弦定理与正弦定理第二课时正弦定理课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
§2.6.1余弦定理与正弦定理
二 、余弦定理
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标和数学素养
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
情境引入
我的家乡有一条小河，我想知道河两岸任意两点的距离
【数学建模1】如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间B，C的距离24 m，∠ACB=90°，∠ABC=45°，求A，B两点间的距离.
A
B

C
初中的时候，我这样做
【数学建模2】如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能解决这个问题吗？
A
B
C
高中的时候，我这样想
抽象概括为：已知两角和一边，解三角形。
思考
上一节学习了余弦定理，余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式，如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
直角三角形
直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？
如图，若△ABC是直角三角形，C=90°，则由
可知
因为C=90°,sinC=1,
所以
锐角三角形
如图，△ABC是锐角三角形，CD是边AB上的高，根据三角函数的定义，
CD=asin B,
CD=bsinA.
所以
同理
A
B
C
D
钝角三角形
如图，△ABC是钝角三角形（角C是钝角），CD是边AB上的高，根据三角函数的定义，
CD=asin B,
CD=bsinA.
所以
A
B
C
D
B
A
C
在直角三角形ABD中，AD=csinB
在直角三角形ACD中AD=bsin= bsinC
∴csinB= bsinC,
正弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

正弦定理
运用由特殊到一般的方法发现了正弦定理，这种思想方法经常用于发现客观规律。
例1.某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损.现测得如下数据：BC= 2.57cm，CE=3.57cm，BD=4，38cm，B=45°，C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0.01cm)
解:将BD、CE分别延长相交于点A.在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°,
由正弦定理，得
所以 .02(m)
同理AB8.60(cm)
因此，原玉佩另两边的长分别约为7.02cm，8.60cm
练1　(1) 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形
解　 因为B＝30°，C＝105°
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°
练2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形
应用正弦定理求三角形外接圆直径
例2.求证：如图（1），以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则
= = 2R.
证明在Rt△ABC中，C=90°，

又 且c=2R.

所以
在锐角三角形和钝角三角形中结论仍成立吗？
例3.台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响 这种影响持续多长时间 (精确到0.1h)
解：如图，设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向.300km处的点A.
假设经过th，台风中心到达点C.在△ABC中，AB=300km，AC=250km，BC=40tkm，B=45°.由正弦定理·得
8485.
所以角C有两个解.
例3.台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响 这种影响持续多长时间 (精确到0.1h)
学以致用
1.在△ABC中， 则B=___.
B
2.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形.其中有两解的是()，并说明理由.

A.a=7.b=14.A=30°
B.a=30.b=25,A=150°
C.a=72,b=50.A=135°
D.a=30,b=40.A=26°
3.如图，△ABC是半径为R的⊙O的内接正三角形.求△ABC的边长和△OBC的外接圆半径.
A.已知△ABC的三个顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求△ABC的面积.