2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.6.1余弦定理与正弦定理第一课时余弦定理课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
§2.6.1余弦定理与正弦定理
一、余弦定理
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标和数学素养
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
3.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
情境引入
问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边和角都可以用这两边及其夹角来表示，那么如何表示呢？由此引入本节研究内容.
A
B
C
已知b
已知c
已知角A



余弦定理
如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
我们利用向量来研究
设 根据向量的数量积，可得
+
余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
注意：正弦定理结构的最大特点是等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美
前后呼应
1.利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？
思考
C
B
c
b
A
﹚
a
已知
已知
已知
求角？
余弦定理推论
思考
2.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
若三角形ABC中C=90°，则cos 90°=0，这时
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2；
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广
用余弦定理解三角形
释义
【解三角形】
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c称为三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.
例1.如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点 O分别沿OA、OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5km/h，3h后两人相距多远 (精确到0.1km)
解：经过3h，甲到达点P,|OP|=4×3=12(km),乙到达点Q，|OQ|=4.5×3=13.5(km).在△OPQ中，依余弦定理，=
≈16.4(km)
因此，3h后两人相距约16.4km.
例2.如图是古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus，约前417一前369)用来构造无理数 …的图形.试计算图中线段BD的长度及∠DAB的的大小.(长度精确到0.1，角度精确到1°)
≈0.1691,∠DAB≈80°
例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且
(1)若 求实数m的值；
(2)若 求△ABC面积的最大值.
解:由A是锐角，且cos 2A= ，得
可变形为
依据余弦定理，可知 即 所以m=1.
(2)因为sin A=sin A
所以bc= +-=2bc -，即bc≤
=
即所求△ABC面积的最大值是
例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且
(1)若 求实数m的值；
(2)若 求△ABC面积的最大值.
解:由A是锐角，且cos 2A= ，得
可变形为
依据余弦定理，可知 即 所以m=1.
(2)因为sin A=sin A
所以bc= +-=2bc -，即bc≤
=
即所求△ABC面积的最大值是
例4　在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状
解　∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A,由余弦定理可得：
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2∴a2＋b2＝c2或a＝b
故△ABC为直角三角形或等腰三角形
解后心得
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形
(2)已知两边及一角解三角形
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍
学以致用
B
3.
4.在△ABC中.已知b=1.c=2.A=60°，则a=_.
5.△ABC的三边之比为3∶5：7.求这个三角形的最大角.
6.在△ABC中.已知b=2.730，c=4.297，A=58°30'，解这个三角形.(边长精确到0.001，角度精