3.3垂径定理（课件）（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.3垂径定理（课件）（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-28 20:20:21 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
北师大版九年级下册数学
第三章 圆
3.3 垂径定理
问题：左图中 AB 为圆 O 的直径，CD为圆 O 的弦，相交于点 E，当弦 CD 在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
直径 AB 和弦 CD 互相垂直.
观察讨论
特殊情况
在 ⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，AB⊥CD.
提问：你在圆中还能找到哪些相等的量？请证明你猜得的结论.
CE=DE
证明结论
已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD.
⌒
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⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
证明：连接 OA，OB，则 OA=OB.
因为垂直于弦 AB 的直径 CD 所在的直线既是等腰三角形 OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴，
所以当把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC，AD 分别与 BC，BD 重合.
因此，AE=BE，AC=BC，AD=BD.
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垂径定理
1. 文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧.
2. 符号语言
总结
3. 图形语言
2. 请画图说明垂径定理的条件和结论.
1. 判断下列图形是否是表示垂径定理的图形.
是
不是
是
练习
条件
结论
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
分析
CD为直径，
CD⊥AB
｝
｛
点 C 平分弧 ACB
点 D 平分弧 ADB
CD 平分弦 AB
例 1 如图，已知在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，求 ⊙O 的半径.
.
A
E
B
O
例题
解：连接 OA，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则 OE=3 cm，AE=BE.
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm.
在 Rt△AOE 中，根据勾股定理，
得 OA=5 cm.
∴⊙O 的半径为 5 cm.
例 2 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.
求证：AC=BD.
E
.
A
C
D
B
O
┐
证明：过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则 AE=BE，CE=DE，
所以AE-CE=BE-DE，
即 AC=BD.
例 3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD.
求证：AC=BD.
.
M
C
D
A
B
O
N
⌒
⌒
证明：作直径 MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
∴AM=BM，CM=DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），
∴ AM-CM=BM-DM，
即 AC=BD.
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垂径定理的几个基本图形
例1.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
例2.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点
O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且
OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
└
解:连接OC.
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）
对
错
错
对
【跟踪训练】
●O
●M
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点.
A
B
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤
正确结论的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案:B
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
．
答案:B
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm
答案:D
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
答案：D
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
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北师大版九年级下册数学
第三章 圆
3.3 垂径定理
问题：左图中 AB 为圆 O 的直径，CD为圆 O 的弦，相交于点 E，当弦 CD 在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
直径 AB 和弦 CD 互相垂直.
观察讨论
特殊情况
在 ⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，AB⊥CD.
提问：你在圆中还能找到哪些相等的量？请证明你猜得的结论.
CE=DE
证明结论
已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD.
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C
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O
A
E
B
D
证明：连接 OA，OB，则 OA=OB.
因为垂直于弦 AB 的直径 CD 所在的直线既是等腰三角形 OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴，
所以当把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC，AD 分别与 BC，BD 重合.
因此，AE=BE，AC=BC，AD=BD.
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垂径定理
1. 文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧.
2. 符号语言
总结
3. 图形语言
2. 请画图说明垂径定理的条件和结论.
1. 判断下列图形是否是表示垂径定理的图形.
是
不是
是
练习
条件
结论
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
分析
CD为直径，
CD⊥AB
｝
｛
点 C 平分弧 ACB
点 D 平分弧 ADB
CD 平分弦 AB
例 1 如图，已知在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，求 ⊙O 的半径.
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A
E
B
O
例题
解：连接 OA，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则 OE=3 cm，AE=BE.
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm.
在 Rt△AOE 中，根据勾股定理，
得 OA=5 cm.
∴⊙O 的半径为 5 cm.
例 2 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.
求证：AC=BD.
E
.
A
C
D
B
O
┐
证明：过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则 AE=BE，CE=DE，
所以AE-CE=BE-DE，
即 AC=BD.
例 3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD.
求证：AC=BD.
.
M
C
D
A
B
O
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证明：作直径 MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
∴AM=BM，CM=DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），
∴ AM-CM=BM-DM，
即 AC=BD.
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垂径定理的几个基本图形
例1.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
例2.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点
O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且
OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
└
解:连接OC.
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对
的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ）
对
错
错
对
【跟踪训练】
●O
●M
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点.
A
B
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.
答案：6
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
答案:D
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤
正确结论的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案:B
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
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答案:B
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm
答案:D
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
答案：D
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
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