二项式定理大题+详解（Word含答案解析）

二项式定理大题
1．在(2x－3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和
2．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x项的系数；
（3）展开式中所有含x的有理项．
3．（1）求展开式中的前4项；
（2）求展开式中的第8项；
（3）求展开式中的第7项．
4．已知在的展开式中，第项为常数项．
（1）求；
（2）求含项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
5．求的展开式中：
（1）各项系数之和；
（2）各项系数的绝对值之和；
（3）系数最小的项.
6．已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．
7．已知.求下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
8．设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
9．（1）求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*) 能被31整除；
（2）求S＝除以9的余数；
（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．
二项式定理大题答案详解
1．在(2x－3y)10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和.
【答案】
（1）210
（2）1
（3）29，29
（4）奇数项系数和为，偶数项系数和为
【分析】
（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）
二项式系数的和为.
（2）
令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
（3）
奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.
（4）
设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为.
2．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x项的系数；
（3）展开式中所有含x的有理项．
【答案】
（1）4
（2）54
（3）第1项，第3项，第5项
【分析】
（1）由题可得，解方程即得；
（2）利用二项展开式的通项公式，即得；
（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求．
（1）
由已知，得，即，
所以或（舍） ，
∴．
（2）
设展开式的第项为．
令，得，
则含x项的系数为．
（3）
由（2）可知，令，则有，2，4，
所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项．
3．（1）求展开式中的前4项；
（2）求展开式中的第8项；
（3）求展开式中的第7项．
【答案】（1）第1项为1，第2项为，第3项为，第4项为；（2）；（3）
【分析】
（1）根据二项式定理，分别写出展开式的前4项即可；
（2）根据二项式定理，直接写出展开式中的第8项即可；
（3）根据二项式定理，直接写出展开式中的第7项即可；
【详解】
（1）展开式的第1项为，
第2项为，
第3项为，
第4项为；
（2）展开式中的第8项为
（3）展开式中的第7项
4．已知在的展开式中，第项为常数项．
（1）求；
（2）求含项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】
（1）；
（2）；
（3），，.
【分析】
利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果；
将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；
令通项中的指数为整数，求出结果即可.
（1）
解：通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）
解：由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）
解：由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
5．求的展开式中：
（1）各项系数之和；
（2）各项系数的绝对值之和；
（3）系数最小的项.
【答案】
（1）-1
（2）
（3）
【分析】
（1）设，令求解；
（2）令，与令得到的两式相加减求解；
（3）的展开式的通项公式为：，将问题转化为求系数的绝对值的最大值即可.
（1）
解：设，
令，得；
所以的展开式各项系数之和为-1；
（2）
令，得，
两式相减得：，
两式相加得：，
所以的展开式各项系数的绝对值之和为，
；
（3）
的展开式的通项公式为：
，
系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大，
则，解得，
则，即系数的绝对值的最大值为，
因为13为奇数，
所以，即第14项的系数最小，
所以系数最小的项为
6．已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）求出展开式中各项系数和，二项式系数和可求出，即可得出二项式系数最大的项为第三、四两项，求出即可；
（2）求出展开式通项，即可得出系数最大的项.
（1）
令x=1，则展开式中各项系数和为，
又∵展开式中二项式系数和为，
，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，；
（2）
展开式为，，
设展开式中第r+1项系数最大，
则，即，解得，
因此r=4，即展开式中第5项系数最大， .
7．已知.求下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）赋值法令x＝0，即得解；
（2）赋值法令x＝1，即得解；
（3）利用通项分析可得a1，a3，a5为负值，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，令x＝－1即得解；
（4）由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35联立即得解.
（1）
令，得
∴ .
（2）
令x＝1，得
∴ a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（3）
令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝ (－1)k·25－k·x5－k，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
（4）
由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
8．设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）分别令和，作差即可得到结果；
（2）令即可求得结果；
（3）由和所得式子作和即可推导得到结果.
（1）
令得：；令得：，
.
（2）
令得：.
（3）
由（1）（2）知：，
两式作和得：，.
9．（1）求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*) 能被31整除；
（2）求S＝除以9的余数；
（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．
【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）1.10.
【分析】
（1）利用二项式定理证明整除问题：在证明整除问题要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．
（2）利用二项式定理求余数问题：在求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．
（3）利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【详解】
（1）证明：∵
显然为整数，
∴原式能被31整除．
（2）
∵是正整数，
∴S被9除的余数为7.
（3）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页