3.4圆周角和圆心角的关系 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
北师大版九年级下册数学
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
3.下列命题是真命题的是( )
①垂直弦的直径平分这条弦
②相等的圆心角所对的弧相等
③圆既是轴对称图形,还是中心对称图形
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
1.圆心角的定义
答：相等.
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
B
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况
A
.
O
B
C
.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
.
.
A
O
B
C
A
.
O
B
C
.
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗
.
O
B
C
A
特征：
①角的顶点在圆上.
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
②角的两边都与圆相交.
探究
1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆周角.
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
×
×
√
×
×
【巩固练习】
说说你的想法,并与同伴交流.
提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.
A
B
C
●O
A
B
C
●O
●O
A
B
C
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
圆周角和圆心角的关系
议一议
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
● O
A
B
C
D
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,
∠CBD = ∠COD,
∴ ∠ABC = ∠AOC.
提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
A
B
C
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
∴∠ABC = ∠AOC.
●
O
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC= ∠AOC.
D
D
圆心在角的边
圆心在角
圆心在角
上
内
外
定理：
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
证明：
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
例.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
【例题】
B
A
O
70°
X
1.求圆中角X的度数
A
O
X
120°
C
C
D
B
2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=_______.
25
【跟踪训练】
答案：35° 120°
●O
B
B
A
C
D
E
D
E
A
C
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系
如图1,圆中一段 对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系 为什么
图2
由此你能得出什么结论
●O
B
C
D
E
A
图1
如图2,圆中 那么∠C和∠G的大小有什么关系 为什么
探究
如图,圆中∠C=∠G, 那么 的大小有什么关系 为什么
由此你又能得出什么结论
圆周角定理的推论1
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
用于找相等的角
定理：
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
C
O
A
图(1)
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
由此你能得出什么结论
F
E
●
B
C
A
图(2)
O
议一议
用于判断某条弦是否是直径
用于构造直角
圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论1:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论：
1.判断题：
（1）同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.（ ）
（2）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
X
X
自我检测
2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
D
解：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
●O
A
C
B
E
∵BF是⊙O的直径
∴∠BAF=90°
在Rt△ABF中，∠F=30°
∴BF=2AB
又∵AB=4
∴BF=8
即⊙O直径为8
解:过B作直径BF交⊙O于点F, 连接AF
F
4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，且点O2在⊙O1上，点C是AO2B上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP.
（1）根据题意将图形补充完整；
（2）当点C在AO2B上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）
.
.
O1
O2
A
B
.
C
P
.
C
P
大小不变的角有：
∠ACB
∠APB
∠BCP
谢谢
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