福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一。选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．直线x ( y ( 3 = 0的倾斜角是（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
2. 已知数列满足，，(n∈N)，则此数列的通项等于?( )
A． B． C． D．
3．已知=（10，5），=（5，x）且∥，则x的值为 ( )
A． 2.5 B． 2 C．5 D． 0.5
4．直线绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )
A． B．
C． D．
5.“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的(　 　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，
且侧棱,正视图是边长为2的正方形，
该三棱柱的左视图面积为（ 　）
A. 　B. C. D.
7．设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的（ ） （ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆
８.若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是（　　　）
　A．4 B．.12 C．4或12 D．.6
９．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （　　 ）
　 A．３０ B．.２５ C．２４ D．.４０
10．两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　)
A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
12．已知点P是抛物线上的点，设点P到抛物线的准线的距离为，到圆上一动点Q的距离为，则＋的最小值是 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．3＋1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应的位置）
13.若,，且与的夹角为，则=
14.圆关于A(1,2)对称的圆的方程为
15．在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为
16．已知直线l与椭圆交于、两点,线段的中点为P,设直线l的斜率为直线OP（O是原点）的斜率为则的值等于 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分)设是公比为正数的等比数列， ，。
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。
18．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2＝4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；
19．(本小题满分12分)已知双曲线b>0)的离心率e=直线l过A(a,0)、B(0,－b)两点,原点O到l的距离是.
(1)求双曲线的方程;
(2)求该双曲线的渐近线方程、顶点坐标和焦点坐标。
20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，
D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；
21．(本小题满分12分)如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,PA=AC=1，PB=PD=, 点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.

22. (本小题满分14分),
(1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程.
(2)点P在椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.
(3)平行于CD的直线交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.
三明一中2012-2013学年(上)高三数学(文)学段考试卷答案
一、选择题：5×12=60
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
D
B
B
D
C
C
C
B
B
二、填空题：4×4=16
13、3 14、 15、2 16、
三、解答题：
（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列
……9分
……12分
18．解　(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，……1分
则 ＝2 ……2分 解得，k1＝0，k2＝－，……3分
故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0. ……5分
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；……7分
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，……8分
即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，∴d＝1，……9分
∴1＝，∴k＝，……10分此时直线方程为3x－4y＋5＝0，……11分
综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1. ……12分
又∴. ……5分
故所求双曲线的方程为. ……6分
（2）渐近线方程为，……8分
顶点坐标为……10分
又C=2，所以焦点坐标为（2，0），（-2，0）……12分
20．解：（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线
……………2分
，…5分
（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，
，………6分， ……7分
又……9分

又 …………11分
平面ABC⊥平面APC ………………12分
……5分
(2)存在, ……6分
证明如下:取棱PC的中点F,线段PE的中点M,连接BD.设.
连接BF,MF,BM,OE.
∵PE∶ED=2∶1,F为PC的中点,E是MD的中点,
∴MF∥EC,BM∥OE. ……8分
∵平面平面平面平面AEC,
∴MF∥平面AEC,BM∥平面AEC. ……10分
∵
∴平面BMF∥平面AEC. ……11分
又平面BMF,
∴BF∥平面AEC. ……12分
22解：
……3分
(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y),
……5分
.
.……7分
(3)直线CD的斜率为，CD平行于直线，
设直线的方程为
设则x1＋x2＝ x1·x2＝ ……10分
=.……11分
点C到直线MN的距离为……12分

当且仅当……13分
……14分