3.6.2 直线和圆的位置关系 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
北师大版九年级下册数学
第三章 圆
3.6.2 直线和圆的位置关系
回顾旧知
直线与圆的位置关系量化
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
<
=
>
相离
相切
相交
情境引入
动手操作：在 ⊙O 中任取一点 A，连接 OA，过点 A 作直线 l⊥OA .
思 考：（可与同伴交流）
（1）圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线 l 与 ⊙O 的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂
直这条半径的直线是圆的切线. 如图，半径 OA⊥直
线 l，直线 l 为 ⊙O 的切线．
特征①：直线 l 经过半径 OA 的外端点 A.
特征②：直线 l 垂直于半径 OA.
d = r
相切
感悟新知
圆的切线的判定方法：
（1）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．
（2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆
的切线．
（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线．
总结归纳
例 1 如图， A 是 ⊙O 外一点，AO 的延长线交
⊙O 于点 C， 点 B 在圆上，且 AB=BC，∠A =
30°. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OB.
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）=180°-
（ 60°+30°）=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB 为 ⊙O 的切线（经过半径的外端并且
垂直这条半径的直线是圆的切线）.
练习
如图，已知 OA=OB=5，AB=8，⊙O 的直径为 6.
求证：AB 与 ⊙O 相切.
证明：过点 O 作 OC⊥AB.
∵OA=OB=5，AB=8，∴AC=BC=4.
∴在 Rt△AOC 中，OC=3.
又∵⊙O 的直径为 6，
∴OC=半径 r，
∴直线 AB 是⊙O 的切线.
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证 d=r.
实际应用
例 2 如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东 30°方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市 A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
合作学习
已知直线 AT 切 ⊙O 于点 A（切点），连接 OA，
则 OA 是半径. 问：
① OA 与 AT 垂直吗？
②过点 A 作 AT 的垂线，垂线过点 O 吗？
解：①经过切点的半径垂直于圆的切线.
②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
圆的切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
（1）切线和圆只有一个公共点．
（2）圆心到切线的距离等于半径．
（3）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
（4）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
总结归纳
例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. 如图， 用角尺的较短边紧靠 ⊙O 于点 A，并使较长边与 ⊙O 相切于点 C，记角尺的直角顶点为 B，量得 AB=8 cm，BC=16 cm. 求 ⊙O 的半径.
连接过切点的半径是常用的辅助线.
O
A
B
C
D
解：连接 OA，OC，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D.
∵⊙O 与 BC 相切于点 C，∴OC⊥BC.
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB.
在 Rt△ADO 中，OA2 =AD2 +OD2，
即 r2 =（r-8）2 +162，解得 r=20.
∴ ⊙O 的半径为 20 cm.
例 4 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，AO 交⊙O 于点 D，连接 CD，OC.
求证：∠ACD = ∠COD.
证明：如图，作 OE丄CD 于点 E，
则∠COE+ ∠OCE= 90°.
∵⊙O 与 AB 相切于点 C，
∴OC丄AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE= 90°.
∴∠ACD= ∠COE.
∵△ODC 是等腰三角形，OE⊥CD，
∴ ∠COE= ∠COD， ∴∠ACD= ∠COD.
1. 切线的判定定理.
2. 判定一条直线是圆的切线的方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点.
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径.
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
课堂小结
3. 辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直.
（2）无公共点：作垂直证半径.
4. 切线的性质：
（1）经过切点的半径垂直于圆的切线.
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的运用：
常用的辅助线是连接半径.
综合性较强，要联系许多其他图形的性质．
1．（青岛·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
B
C
A
答案：B
2.（娄底·中考）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）
A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交
答案：C
3.（赤峰·中考）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A.1cm B.2cm C.4cm D.2cm或4cm
答案：D
·O
l
【规律方法】直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.
4.（兰州·中考）如图，等边三角形的内切圆半径为1，那么这个等边三角形的边长为（ ）
答案：D
C．
D．
A．2 B．3
5.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
6.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，
求⊙O的半径.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90 °，
∴直线CE与⊙O相切.
BC=2 ∴AB=BCtan∠ACB=
AC= .
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ，
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
解得：r= .
（2）∵tan∠ACB=
∴DE=DC tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
得
，
，
7．（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在直角△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.
谢谢
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