福建省三明一中2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．下列各小题中，所给出的四个
答案中有且仅有一个是正确的）
1．设全集U=R，集合,，则集合（ ）
A． B．
C． D．
2．等比数列中，，则公比是（　　）
A． 　　　B． 　 C． 　　 D．
3．若是实数，则“”是“”（　　）条件
A．充分而不必要 　B．必要而不充分　C ．充分必要 D．既不充分也不必要
4．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的为（　　）
A． B．
C． 　　D．
5．两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（　　）
A．北偏东 　　B．北偏西　　　 C．南偏东 　　 D．南偏西
6．函数在一个周期上的图象如下图所示．则函数的解析式是 (.　　)

C．
D．
7．在中，若，则的形状是（　　）
　A．直角三角形　　　　　　　　　　　B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 　　　　　　　　D．既非等腰三角形又非直角三角形
8．数列中，若，，则（　　）
A． B． 　　 C． 　D．
9．若向量，共线，则的最小值是（　　）
A． 　 B． 　 C． D．
10．函数在区间上的值域为，则的最小值是（　　）
A． 　B． 　 C． D．
第II卷（非选择题，共１００分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
11．当时，恒成立，则的最大值是________；
12．若数列中，，且满足，则________；
13. 若向量，且，，则满足条件的点变动范围的面积是________；
14．在直角坐标平面内，已知点列、、，…，，……．
　如果为正偶数，则向量的坐标（用表示）是________；
15．给出下列四个命题：
（1）函数是奇函数；
（2）函数的图象由的图象向左平移个单位得到；
（3）函数的对称轴是；
（4）函数的最大值为3．
其中正确命题的序号是__________（把你认为正确的命题序号都填上）．
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.（本小题满分13分）
已知向量，，且，若．
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ) 求向量的夹角的大小．
17．（本小题满分13分）
已知数列是首项为，公差为的等差数列，又数列的前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）的三边中，已知，且，求的值．
19．（本小题满分13分）
某化工厂引进一条先进生产线生产某化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知该生产线年产量最大为210吨．
（Ⅰ）求年生产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低成本；
(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
20．（本小题满分14分）
已知的三边成等比数列，且，．
（Ⅰ）求； (Ⅱ)求的面积．
21．（本小题满分14分）注意：第（Ⅲ）小题平行班不做，特保班必做．
已知．
（Ⅰ）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设，求函数的最小值；
（Ⅲ）设各项为正的数列满足：，求证：．
三明一中2012—2013学年第一学期学段考
高三理科数学试题参考答案
1－10．　　BA　　BCBC　　ADDC
解得或（舍去），　　　∴　．
(Ⅱ)　由(Ⅰ)得，，
∴　，
又，∴　．
又也符合上式，
∴　．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴　
　　　　　　　　　　　　　　　　．
18．解：（Ⅰ）
．
由得，，
故的单调递增区间是．
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得，,
∵　，　∴　，　∴，又，
∴　．
(Ⅱ)设年产量获得的总利润为万元，
则，
∴在上是增函数，∴　当时，．
答：当年产量为210吨时，可获得的利润最大为1660万元．
20．解：（Ⅰ）由，
又成等比数列，得，由正弦定理有，
在中有，∴得，即．
由知，不是最大边，　∴　．
(Ⅱ)由余弦定理得，
，　得，
∴　．
21．解：（Ⅰ）依题意：　∵在递增 ，
∴　对恒成立 ∴．
∵　∴ 当且仅当时取“”，∴，
且当时，，，，
∴符合在是增函数，　　∴．
当时,即时.在递增 ∴当时,
②当时,即,当
③当,即时,在递减,当时,
综上:
（Ⅲ）∵，，
假设，则， ∴成立．
设，，则，
∴在单调递减，∴，∴，
∴，故，∴．
∴　,
∴　．
故原命题得证．　　　　　　　　　　　注：（Ⅲ）用数学归纳法应酌情给分．