上海市第三女子中学2021-2022学年高一上学期数学期末考试试题（word版含答案解析）

上海市第三女子中学2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．函数y＝log3（x﹣1）的定义域为　 　．
2．函数y＝2x﹣3的零点是 　 　．
3．已知cosα＝，﹣＜α＜0，则sinα＝　 　．
4．已知函数，则f（1）的值等于 　 　．
5．函数y＝的值域是　 　．
6．函数f（x）＝4x3+k +1（k∈R），若f（2）＝8，则f（﹣2）的值为　 　．
7．已知实数a＞0且a≠1，不论a取何值，函数y＝ax﹣4+2的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为 　 　．
8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2x+x，则当x＞0时，f（x）＝　 　．
9．已知tanα＝2，则的值为 　 　．
10．若函数f（x）＝（a＞0，a≠1）是R上的严格减函数，则实数a的取值范围是 　 　．
11．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝　　．
12．已知M是满足下列性质的所有函数y＝f（x）组成的集合：对任意x1，x2∈Df（其中Df为函数f（x）的定义域），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．若函数，x∈
[﹣1，+∞）属于集合M，则实数a的取值范围为 　 　．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．f（x）＝，g（x）＝x﹣1
B．f（x）＝x﹣1，g（t）＝t﹣1
C．f（x）＝log3x2，g（x）＝2log3x
D．f（x）＝x，g（x）＝
15．函数f（x）＝log2的图象（　　）
A．关于原点对称 B．关于直线y＝﹣x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
16．在同一坐标系中，函数y＝ax+1与y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三、解答题（共52分）
17．（8分）设常数a＞0且a≠1，若函数y＝loga（x+1）在区间[0，1]的最大值为1，最小值为0，求实数a的值．
18．（10分）已知幂函数f（x）＝（m∈Z）的图像关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是严格增函数．
（1）求m的值；
（2）求满足不等式f（2a﹣1）＜f（a+1）的实数a的取值范围．
19．（10分）已知函数f（x）＝a﹣是R上的奇函数，a∈R．
（1）求a的值．
（2）用定义证明：函数f（x）是R上的严格增函数．
20．（10分）某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．
21．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）＝0，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，关于x的不等式f（x）+3≥kx在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足m n＜0，m+n＞0，定义函数F（x）＝，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．
【参考答案】
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．（1，+∞）
【解析】要使函数有意义，则x﹣1＞0，得x＞1，
即函数的定义域（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
2．log23
【解析】令2x﹣3＝0，即2x＝3，所以x＝log23，
故函数的零点是：log23．故答案为：log23．
3．﹣
【解析】因为cosα＝，﹣＜α＜0，
所以sinα＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．
4．2
【解析】∵函数，∴f（1）＝f（4）＝log24＝2，
故答案为：2．
5．（0，1]
【解析】因为x2+1≥1，所以，函数的值域为：（0，1]．
6．﹣6
【解析】∵f（x）＝4x3+k +1，
∴f（x）﹣1＝4x3+k ，则f（x）﹣1为奇函数，
∴f（﹣2）﹣1＝﹣[f（2）﹣1]，
即f（﹣2）＝﹣f（2）+1+1＝﹣8+2＝﹣6，故答案为：﹣6．
7．（4，3）
【解析】∵常数a＞0且a≠1，无论a取何值，对于函数y＝ax﹣4+2，
令x﹣4＝0，求得x＝4且y＝3，故函数的图像恒过定点（4，3），
故答案为：（4，3）．
8．x﹣（）x
【解析】设x＞0，则﹣x＜0，
因为x＜0时，f（x）＝2x+x，且f（x）为奇函数，
所以f（﹣x）＝2﹣x﹣x＝﹣f（x），所以f（x）＝x﹣（）x．
故答案为：x﹣（）x．
9．﹣
【解析】因为tanα＝2，
所以＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
10．[）
【解析】因为f（x）＝（a＞0，a≠1）是R上的严格减函数，
所以，解得，．故答案为：[）．
11．2
【解析】∵二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x＝﹣＝a＞1，∴f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上是减函数，
又f（x）在[1，a]上的值域也是[1，a]，
∴，即，解得a＝2；故答案为：2．
12．[﹣1，1]
【解析】因为对任意x1，x2∈Df，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，
若函数，x∈[﹣1，+∞）属于集合M，
则|﹣|≤|x1﹣x2|，x∈[﹣1，+∞）
化简得，|a|≤|（2+x1）（2+x2）|恒成立，
因为|（2+x1）≥1，（2+x2）|≥1，
所以|（2+x1）（2+x2）|≥1，故|a|≤1，解得﹣1≤a≤1．
故答案为：[﹣1，1]．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．A
【解析】当时，则，
当时，α＝或，k∈Z，
故“” “”，
“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．
14．B
【解析】A．∵f（x）＝＝|x﹣1|，与g（x）的对应关系不同，∴不是同一函数；
B．f（x）与g（x）的定义域、对应关系和值域都相同，所以是同一函数；
C．∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴不是同一函数；
D..∵f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数；故选：B．
15．A
【解析】∵函数f（x）＝log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．
再根据 f（﹣x）＝log＝﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．
16．C
【解析】当a＞1时，直线y＝ax+1的斜率大于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，
+∞）上是增函数，选项C满足条件．
当1＞a＞0时，直线y＝ax+1的斜率大于0且小于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是减函数，没有选项满足条件．
故选：C．
三、解答题（共52分）
17．解：y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上为单调函数，
当a＞1时，有loga2＝1，且loga1＝0，解得a＝2，
当0＜a＜1时，有loga2＝0，且loga1＝1，此时a不存在，
故答案为：2．
18．解：（1）由于f（x）的图象关于y轴对称，则f（x）是偶函数，
即﹣m2+4m是偶数，
由于f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以﹣m2+4m＞0，即0＜m＜4，
又m∈Z，故m可取1，2，3，
分别代入﹣m2+4m得3，4，3，
故取m＝2，所以f（x）＝x4，
（2）由（1）可得：不等式f（2a﹣1）＜f（a+1） f（|2a﹣1|）＜f（|a+1|） |2a﹣1|＜|a+1| 0＜a＜2，
故实数a的取值范围是（0，2）．
19．解：（1）由奇函数性质可得，f（0）＝a﹣1＝0，
所以a＝1，此时f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x）满足题意，
故a＝1；
（2）证明：设x1＜x2，则＜0，
f（x1）﹣f（x2）＝＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上是增函数．
20．解：（1）由题意，令×（x﹣100+）≤9，
化简得x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100；
又因为60≤x≤120，
所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是[60，100]；
（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y；
则y＝ （x﹣100+）＝90000+，（其中60≤x≤120）；
由60≤x≤120，知∈[，]，
所以x＝90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升．
21．解：（1）由题意得，，解得a＝1，b＝2；
（2）由（1）得，f（x）＝x2+2x+1，
由f（x）+3≥kx在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，得x2+2x+4≥kx在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
即k≥x+在[﹣3，﹣1]上恒成立，则k≥（x+）max，
结合对勾函数的单调性可知，y＝x+在[﹣3，﹣1]上先增后减，
当x＝﹣2时，函数取得最大值﹣2，所以k≥﹣2，
所以k的范围为[﹣2，+∞）；
（3）F（m）+F（n）＞0．证明如下：
因为f（x）为偶函数，所以b＝0，f（x）＝ax2+1，
所以F（x）＝，
因为m n＜0，m+n＞0，则m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，
则m＞﹣n＞0，
F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝am2+1﹣2﹣1＝a（m﹣n）（m+n）＞0，
所以F（m）+F（n）＞0．