3.7切线长定理 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.7切线长定理 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 506.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-28 20:27:45 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
北师大版九年级下册数学
第三章 圆
*3.7切线长定理
O
A
B
P
如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？
.
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上
O
·
P
A
B
O
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
证一证
切线长定理
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.
几何语言:
O
P
A
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
例 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
A
C
B
E
D
F
O
例 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切
于D、E、F，连接OD、OE、OF，则
OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
则有
x＋r＝b
y＋r＝a
x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
B
·
A
C
E
D
F
O
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或r＝ (前面课时已证明).
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
知识拓展
1、如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，
求圆O的直径．
练一练
导引：
连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可
得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC，求
∠BAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，
再根据勾股定理求出OB即可．
解：
如图，连接OE，OA，OB.
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝ ×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，
由勾股定理得OB＝ (cm)，
即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是 cm.
2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为________，∠DOE的度数为________．
60°
6
A
P
B
D
C
E
导引：
如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长
定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的
周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，∴∠DOE＝
(∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由∠APB＝60°得
∠APO＝30°.又∵AO＝ ，
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，∠DOE＝ ∠AOB＝60°.
1 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径
课堂练习
C
如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，
下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70°
D．∠AOP＝70°
C
如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则
∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
谢谢
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北师大版九年级下册数学
第三章 圆
*3.7切线长定理
O
A
B
P
如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？
.
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上
O
·
P
A
B
O
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
证一证
切线长定理
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.
几何语言:
O
P
A
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
例 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
A
C
B
E
D
F
O
例 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切
于D、E、F，连接OD、OE、OF，则
OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
则有
x＋r＝b
y＋r＝a
x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
B
·
A
C
E
D
F
O
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或r＝ (前面课时已证明).
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
知识拓展
1、如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，
求圆O的直径．
练一练
导引：
连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可
得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC，求
∠BAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，
再根据勾股定理求出OB即可．
解：
如图，连接OE，OA，OB.
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝ ×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，
由勾股定理得OB＝ (cm)，
即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是 cm.
2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为________，∠DOE的度数为________．
60°
6
A
P
B
D
C
E
导引：
如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长
定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的
周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，∴∠DOE＝
(∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由∠APB＝60°得
∠APO＝30°.又∵AO＝ ，
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，∠DOE＝ ∠AOB＝60°.
1 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径
课堂练习
C
如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，
下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70°
D．∠AOP＝70°
C
如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则
∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
谢谢
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