3.8圆内接正多边形 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版九年级下册数学
第三章 圆
3.8圆内接正多边形
你还能举出更多正多边形的例子吗？
正多边形：
___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
三条边相等，三个角也相等（60°）.
四条边都相等，四个角也相等（90°）.
各边相等
各角也相等
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
B
C
D
E
求证：正五边形的对角线相等
【想一想】
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
怎样找圆的内接正方形？
怎样找圆的外切正方形？
怎样找圆的内接正n边形？
怎样找圆的外切正n边形？
E
F
G
H
A
B
C
D
0
A
B
C
D
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
【例题】
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
证明:(1）∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
⌒
⌒
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【定理】
正三角形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？
正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
【类比联想】
【定理】
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系
E
F
C
D
.
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
A
B
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
E
F
C
D
O
A
B
G
R
a
.
中心角
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,边数为n，
圆的半径为R,它的周长为L=na.
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成
n等份.
4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
正多边形的性质
【归纳】
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为______．
解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= ，
∴∠AOC=90°，
∴AC= ，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCB=
，
∴正八边形面积为： ．
针对训练
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
·
A
B
C
D
O
∴AB=
∴S△ABC=
边心距OD=
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°， ∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
·
A
B
C
D
O
E
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1. 填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .
3
课堂练习
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
72
4.下列说法正确的是（ ）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.一个圆有且只有一个内接正多边形
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为
D
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）
谢 谢