福建省三明市普通高中2022届高三上学期期末质量检测数学试题（Word版含答案）

三明市2021—2022学年第一学期普通高中期末质量检测
高三数学
本试卷共6页．满分150分．
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. {1} C. {3} D. {1，3}
2.若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3.北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（ ）
A. 16种 B. 36利 C. 48种 D. 60种
4.已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A. － B. － C. D.
5.若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－4，4） B. （－2，2）
C. （－∞，－4）U（4，＋∞） D.
6.著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为C，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：，其中k是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有的物体放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度为，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（ ）
A. B. C. D.
7.函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9.设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知等差数列{}中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11.如图，正方体中，E，F分别为，的中点，G为侧面内一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在点G，使平面EFG//平面 D. 三棱锥的体积为定值
12.已知函数有两个极值点，，则（ ）
A. a的取值范围为（－∞，1） B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
14.已知双曲线C：的左焦点为F，M是该双曲线一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若△OMF的面积为4，则双曲线C的离心率为___．
15.已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为___．
16.一个二元码是由0和1组成的数字串．，其中称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k等于___．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，求△ABC的面积．
18.（12分）
定义为数列{}的“匀称值”，若数列{}的“匀称值”为2.
（1）求数列}的通项公式；
（2）设，的前n项和为，求．
19.（12分）
为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
（1）据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
20.（12分）
如图，三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
21.（12分）
已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（12分）
已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个不大于－1的极值点，证明：．
三明市2021—2022学年第一学期普通高中期末质量检测
高三数学试题参考答案及评分细则
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分类的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，
1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分：
9. AC 10. BC 11. ABD 12. BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. [0，4] 14. 15.或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分） 16. 6
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：因为），由正弦定理得：，
即，即，
又因为A为内角，，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为，所以．
根据余弦定理及，，，
得，即，即，．…．．．8分
所以△ABC的面积………．…10分
18. 解：（1）因为＝2，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当时，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
①－②得，，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又因为，满足，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以．．．．．．．．．．．．．．10分
所以，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19. 解：（1）由题知，，，
所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人．．．．．．．．．．．．5分
（2）甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，．．．．．．8分
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.解：（1）取BC的中点O，连结AO，，因为△ABC为等边三角形，所以．．．．．．．．．．．．1分
因为侧面为菱形，所以，又因为，
所以为等边三角形，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为，平面，平面，所以BC⊥平面，．．．．．．．．．．．．．4分
因为平面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）因为侧面为斐形，所以，
由（1）知，所以，所以，
因为，，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又因为，所以为等边三角形．
在平面过点O作，由（1）知BC⊥平面，且平面，
所以．以O为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
此时，A（0，，），B（－1，0，0），C（1，0，0），（0，，0），所以，
因为，所以（－1，，）．．．．．．．．8分
所以
设为平面的一个法向量，则即
取，则，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
又因为平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为．．．．．．12分
21. 解法一：（1）由焦距为2得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
又因为P（，－）在椭圆上，所以，即．．．．．2分
又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以椭圆C的方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，
设N（0，），A（，），B（，）
①当直线l的斜率存在时，设l：
由整理得，
，，．．．．．．．．7分
因为，所以点N在以AB为直径的圆上，即．．．．．．．．．．．．8分
因为，
所以
∴解得，即存在N（0，1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），
点N（0，1）满足
综上，存在定点N（0，1），使得恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解法二：（1）由焦距为2得，可知（－，0），（，0）．．．．．．．．．．1分
由椭圆定义：得：
．．．．．．．．．．．．．2分
整理得：，即．．．．．．．．．．3分
由得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以椭圆的方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）同解法一
解法三：（1）由焦距为2得，可知（－，0），（，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为P（，－），所以，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又因为，解方程组得：
所以椭圆的方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）同解法一．
22. 解：（1）f（x）定义域为R，由
得．．．．．．．．．．．．．1分
当时，，
此时f（x）在（－1，＋∞）上单调递增；在（－∞，－1）上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当时，令，即，，．．．．．3分
因为，所以．令，则或，
即f（x）在（－∞，－）和（－1，＋∞）上单调递增．
令，则，即f（x）在（－，－1）上单调减．……4分
当时，令，即．
因为，所以，令，则或，
即f（x）在（－∞，－1）和（－，＋∞）上单调递增．
令，则，即f（x）在（－1，－）上单调递减…………5分
综上所述：
当时，f（x）在（－1，＋∞）上单调递增；在（－∞，－1）上单调递减．
当时，f（x）在（－∞，－）和（－1，＋∞）上单调递增，在（－，－1）上单调递减．
当时，f（x）在（－∞，－1）和（－，＋∞）上单调递增，在上单调递减．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为函数f（x）有两个不大于－1的极值点，由（1）知，
因为且，所以，
所以要证明，只要证明，
即要证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
令，
则，令，则，
令，则，
所以h（x）在上单调递增，因为，，
所以h（x）在上有唯一零点，设为，
且当时，，g（x）单调递减，
当时，，g（x）单调递增，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为，即，即，
所以
所以，所以原不等式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分