2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习（word版含解析）

5.4《二次函数与一元二次方程》同步练习
一．选择题
1．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，
则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　 　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（　 　）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　)
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
6、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤5 B．m≥2 C．m<5 D．m>2
7、若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m
8、若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图所示，则m的值是(　　)
A．－8 B．8 C．±8 D．6
二．填空题
9．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　 　．
10、小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根
为x1＝－4.5，则方程的另一个近似根为x2＝ (精确到0.1).
11、如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图像，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是___________________．(精确到0.1)
12、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是________．
13、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 3 …
y … －3 1 3 1 …
现给出下列说法：①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线；③当x＝2时，y＝3；
④方程ax2＋bx＋c＝－2的正根在3与4之间．其中正确的说法为________．(只需写出序号)
三．解答题
14．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
15．如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．
16．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式，
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标．
17．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 p m 3 q 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）表格中字母m＝　 　；（直接写出答案）
（3）在给定的直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）以上二次函数的图象与x轴围成的封闭区域内（不包括边界），横、纵坐标都是整数的点共有　 　个．（直接写出结果）
参考答案
一．选择题
1．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，
则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　 B　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（　 C 　）
A．没有交点 B．一个交点 C．两个交点 D．不能确定
4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　)
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
[解析] ∵二次函数y＝x2－3x＋m的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴0＝12－3＋m，解得m＝2，
∴二次函数为y＝x2－3x＋2.令y＝0，则x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．故选B.
5．解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
6、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤5 B．m≥2 C．m<5 D．m>2
[解析] ∵二次函数的图像与x轴有交点，∴b2－4ac＝(－1)2－4×≥0，解得m≤5.故选A.
7、若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（ A ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m
8、若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图所示，则m的值是(　　)
A．－8 B．8 C．±8 D．6
[解析] 由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，∴b2－4ac＝m2－4×2×8＝0，解得m＝±8.
又∵对称轴为直线x＝－<0，∴m>0，∴m的值为8.故选B.
二．填空题
9．解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
10、小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根
为x1＝－4.5，则方程的另一个近似根为x2＝2.5 (精确到0.1).
11如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图像，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是______x1≈0.8，x2≈3.2(合理即可)_____________．(精确到0.1)
12、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是_答案不唯一，如－_______．
13、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 3 …
y … －3 1 3 1 …
现给出下列说法：①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线；③当x＝2时，y＝3；
④方程ax2＋bx＋c＝－2的正根在3与4之间．其中正确的说法为________．(只需写出序号)
[解析]①③④ ∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，故①正确；
∵抛物线过点(0，1)和(3，1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝2时的函数值与当x＝1时的函数值相等，为3，故③正确；
∵当x＝－1时，y＝－3，∴当x＝4时，y＝－3，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为－2时，－1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2＋bx＋c＝－2的负根在－1与0之间，正根在3与4之间，故④正确．
三．解答题
14．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
15【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，
∴m的值为0或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16．【分析】（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3，求得b值，则二次函数的解析式可得；
（2）令y＝0，解得x值，则二次函数的图象与x轴的交点坐标可得．
【解答】解：（1）将A（2，5）代入y＝x2+bx﹣3得
5＝4+2b﹣3
解得：b＝2
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）令y＝x2+2x﹣3＝0
则：（x﹣1）（x+3）＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标，属于基础知识的考查，难度不大．
17【分析】（1）根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解；
（2）根据表格中的点的坐标可知某两个点是对称点即可求解；
（3）根据（1）求得表中其它未知点的坐标后即可画函数图象；
（4）根据所画出的抛物线与x轴围成的封闭区域即可得结论．
【解答】解：（1）观察表格中的x、y的值，可知
（﹣2，0）、（4，0）是对称点，所以抛物线的对称轴是x＝1，
所以顶点坐标为（1，3）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（2，）代入，
＝a（2﹣1）2+3，解得a＝﹣，
所以这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
答：这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+．
（2）因为抛物线的对称轴是x＝1，
（0，m）、（2，）是对称点，
所以m＝，
故答案为．
（3）如图即是这个二次函数的图象．
（4）根据二次函数图象与x轴围成的封闭区域，可知
横、纵坐标都是整数的点共有8个：
（﹣1，1）、（0，1）、（1，1）、（2，1）、（3，1）、（0，2）、（1，2）、（2，2）．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标．