2020-2021学年四川省攀枝花市西区九年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2020-2021学年四川省攀枝花市西区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程（x+3）（x﹣7）＝0的两个根是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣7 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝﹣3，x2＝7 D．x1＝﹣3，x2＝﹣7
3．“水中捞月”事件发生的概率是（　　）
A．0 B． C． D．1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
6．由二次函数y＝﹣x2+2x，可知（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1
C．最大值为﹣1 D．顶点坐标为（﹣1，1）
7．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
8．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（3，1） C．（3，2） D．（4，2）
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．已知＝＝，且3y＝2z+6，则xy＝　 　．
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N．若ON＝1，则BD＝　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②＝2；③sin∠CAD＝；④AB＝BF．其中正确的结论有　 　（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：（第17-22题每小题8分，第23题10分，第24题12分，共70分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a＝﹣3．
19．我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A、B、C依次表示这三个诵读材料），将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小华诵读《弟子规》的概率是　 　；
（2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率．
20．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
21．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
22．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
23．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（每小题5，共60分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】各式化为最简二次根式后，找出被开方数相同的即为同类二次根式．
解：A、原式＝2，符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝2，不符合题意．
故选：A．
2．一元二次方程（x+3）（x﹣7）＝0的两个根是（　　）
A．x1＝3，x2＝﹣7 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝﹣3，x2＝7 D．x1＝﹣3，x2＝﹣7
【分析】根据因式分解法直接求解即可．
解：
∵（x+3）（x﹣7）＝0，
∴x+3＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝7，
故选：C．
3．“水中捞月”事件发生的概率是（　　）
A．0 B． C． D．1
【分析】根据必然发生的事件的概率P（A）＝1和不可能发生事件的概率P（A）＝0直接得出答案．
解：∵“水中捞月”是不可能发生的事，
∴“水中捞月”事件发生的概率是0；
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边解答即可．
解：如图，根据勾股定理得，BC＝＝＝12，
sinA＝＝．
故选C．
5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
6．由二次函数y＝﹣x2+2x，可知（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1
C．最大值为﹣1 D．顶点坐标为（﹣1，1）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，1），
∴函数有最大值1，
故A、C、D错误，B正确；
故选：B．
7．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】根据配方法进行整理即可得解．
解：y＝x2﹣2x+3，
＝（x2﹣2x+1）+2，
＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
8．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
【分析】根据等边三角形的性质得出角相等，再由已知条件求出，即两边对应成比例并且夹角相等，因此两个三角形相似．
解：∵△ABC是等边三角形，＝，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，
设AD＝x，AC＝3x，
则BC＝3x，CD＝2x，
∵AE＝BE＝x，
∴，，
∴，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（3，1） C．（3，2） D．（4，2）
【分析】根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，＝＝，
即＝，＝，
解得，OB＝3，CD＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
故选：C．
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到答案．
解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有 ，即．tan∠CAD＝，故④错误．
解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，故③正确（也可以延长FE交CD的延长线于G，证明CD＝DG，利用直角三角形斜边中线的性质证明）；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，有 ，即．
∵tan∠CAD＝，故④错误，
故选：B．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x＝1、x＝﹣1和x＝﹣2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0，故③正确；
④∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴点（0，1）的对称点为（﹣2，1），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1，故④错误；
⑤∵x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣＝﹣1，即b＝2a，
∴c﹣a＞1，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．已知＝＝，且3y＝2z+6，则xy＝　60　．
【分析】利用设k法解答即可．
解：设＝＝＝k，
∴x＝3k，y＝5k，z＝6k，
∵3y＝2z+6，
∴15k＝12k+6，
∴k＝2，
∴x＝6，y＝10，
∴xy＝6×10＝60，
故答案为：60．
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为　27　．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+2＝27，
故答案为：27．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N．若ON＝1，则BD＝　6　．
【分析】由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN＝1：2，设OB＝OD＝x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；
∴＝，
∵M为AD中点，
∴MD＝AD＝BC，
即 ＝，
∴＝，即BN＝2DN，
设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB+ON＝x+1，DN＝x﹣1，
∴x+1＝2（x﹣1），
解得：x＝3，
∴BD＝2x＝6；
故答案为6．
16．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②＝2；③sin∠CAD＝；④AB＝BF．其中正确的结论有　①②④　（写出所有正确结论的序号）．
【分析】①正确．四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB．
②正确由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以 ＝＝．
③错误．设CF＝a，AF＝2a，由DF2＝AF CF＝2a2，得DF＝a，AD＝＝a，可得sinCAD＝＝＝．
④正确．连接AE，由∠ABE+∠AFE＝90°，推出A、B、E、F四点共圆，推出∠AFB＝∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB＝∠CED，由∠BAF+∠BEF＝180°，∠BEF+∠CED＝180°，推出∠BAF＝∠CED，推出∠BAF＝∠BFA，即可证明．
解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC＝∠ECF，∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝，
∵CE＝BC＝AD，
∴＝＝2，
∴AF＝2CE，故②正确，
设CF＝a，AF＝2a，由DF2＝AF CF＝2a2，得DF＝a，AD＝＝a
∴sinCAD＝＝＝，故③错误．
连接AE，∵∠ABE+∠AFE＝90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB＝∠AEB，
∵AB＝CD，BE＝EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB＝∠CED，
∵∠BAF+∠BEF＝180°，∠BEF+∠CED＝180°，
∴∠BAF＝∠CED，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，故④正确．
故答案为①②④．
三、解答题：（第17-22题每小题8分，第23题10分，第24题12分，共70分）
17．计算：．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
解：．
＝2﹣1+4﹣2×+﹣（﹣1）
＝5﹣++1
＝6+．
18．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a＝﹣3．
【分析】先将÷（a+2﹣）进行化简，然后将a＝﹣3代入求解即可．
解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝×
＝．
当a＝﹣3时，
原式＝＝．
19．我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A、B、C依次表示这三个诵读材料），将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小华诵读《弟子规》的概率是　　；
（2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有9种等可能性结果，再找出小华和小敏诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）小华诵读《弟子规》的概率＝；
故答案为．
（2）列表得：
小华小敏 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小华和小敏诵读两个不同材料的结果有6种，
所以P（小华和小敏诵读两个不同材料）＝．
20．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
20（1+x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
21．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．
【解答】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴＝，
由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，
∴∠EAF＝∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴＝．
22．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【分析】根据矩形性质得出DG＝CH，CG＝DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG＝CH，CG＝DH，DG∥HC，
∴∠DAH＝∠FAE＝30°，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH＝30°，AD＝6米，
∴DH＝3（米），AH＝3（米），
∴CG＝3（米），
设BC为x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝，
∴DG＝3+，BG＝x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG＝DG tan30°，
∴x﹣3＝（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度大约为13米．
23．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一对三角形相似就行，根据两角对应相等，容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；
（2）以CD为直径画弧，该弧与AB的交点即为所求；
（3）由点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE＝∠BCD＝30°，利用含30°角的直角三角形性质可得AB与BC边之间的数量关系．
解：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，
∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°
∴∠ADE＝∠CEB，
在△ADE和△BEC中，
∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；
（2）如图所示，点E1和E2是四边形ABCD的边AB上的强相似点，
理由：∵AD＝2，AE1＝1，BE1＝4，BC＝2，DE1＝，CE1＝，CD＝5，
∴AE1：AD：DE1＝1：2：，
BC：BE1：CE1＝1：2：，
DE1：CE1：CD＝1：2：，
∴△DAE1∽△E1BC∽△CE1D，
∴点E1是四边形ABCD的边AB上的强相似点，
同理可得，点E2是四边形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM＝∠BCE，CE＝CD＝AB，
∴∠BCE＝∠BCD＝×90°＝30°，
∴在Rt△BCE中，cos∠BCE＝＝cos30°＝
∴＝，
即＝．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD＝S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC＝﹣t2+t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值，
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y＝﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x＝1，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y＝﹣x+1，根据得点Q的坐标为（，﹣），（，﹣）．
解：（1）由得，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S△BCD＝S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC＝（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣＝时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y＝﹣x+5，
由得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM＝EM＝2，
∴过点E与BC平行的直线为y＝﹣x+1，
由得或，
∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．