(共13张PPT)
八（上）数学教材习题
复习题 11
解：∵S△ABD = BD·AE = 1.5 cm ，
AE = 2 cm，
∴BD = 1.5 cm．
又∵AD 是 BC 边上的中线，
∴DC = BD = 1.5 cm，BC = 2BD = 3 cm．
1.如图,在△ABC中,AD,AE分别是边BC上的中线和高,AE=2 cm,
S△ABD=1.5 cm2.求BC和DC的长.
解：（1）x = 40.
（2）x = 70.
（3）x = 60.
（4）x = 100.
（5）x = 115.
2.求出下列图形中x的值.
3．填表：
答：从八边形的一个顶点出发可以作 5 条对角线，它们将八边形分成 6 个三角形，这些三角形的内角和之和与八边形的内角和相等．
4.从八边形的一个顶点出发,可以作几条对角线 它们将八边形分成几个三角形 这些三角形的内角和与八边形的内角和有什么关系
解：设该多边形的边数为 n，则根据题意可得
(n – 2)×180° = 360° + 540°．
解得 n = 7．
∵这个多边形的各内角都相等，
∴这个多边形的每个内角等于 (360° + 540°) ÷ 7 = ．
5.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°,并且这个多边形的各内角都相等.这个多边形的每个内角等于多少度
证明：在 △ABC 中， ∠A + ∠1 + 42° = 180°．
∵∠A + 10° = ∠1，
∴∠A + ∠A + 10° + 42° = 180°．
解得∠A = 64°．
∵∠ACD = 64°，∴∠A = ∠ACD.
∴ AB∥CD．
6.如图,∠B=42°,∠A+10°=∠1,∠ACD=64°.求证AB∥CD.
解：∵∠C = ∠ABC = 2∠A，
∠C + ∠ABC + ∠A = 180°，
∴∠C + ∠C + ∠C = 180°．
解得∠C = 72°．
又∵BD 是 AC 边上的高，
∴∠BDC = 90°，
∴∠DBC = 90° – ∠C = 90° – 72° = 18°．
7.如图,△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高.求
∠DBC的度数.
解：∵∠BAC = 50°，∠C = 70°，
∴∠DAC = 90° – ∠C = 20°，
∠ABC = 180° – ∠C – ∠BAC = 60°．
又∵AE，BF 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABF = ∠ABC = 30°，
∠BAE = ∠BAC = 25°，
∴∠BOA = 180° – ∠ABF – ∠BAE = 125°．
8.如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点
O,∠BAC=50°,∠C=70°.求∠DAC和∠BOA的度数.
9.如图,填空：
由三角形两边的和大于第三边,得
AB+AD>_________,
PD+CD>_________.
将不等式左边、右边分别相加,得
AB+AD+PD+CD>_________,
即AB+AC>_________.
BD
PC
BD + PC
BP + PC
解：∵五边形 ABCDE 的内角都相等，
∴∠B = ∠C = (5 – 2)×180°÷5 = 108°．
又∵DF⊥AB，∴∠BFD = 90°．
在四边形 BCDF 中，∠CDF = 360° – ∠BFD – ∠B – ∠C = 360° – 90° – 108° – 108° = 54°．
10.如图,五边形ABCDE的内角都相等,DF⊥AB.求∠CDF
的度数.
证明：(1) 如图，∵ BE，CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB．
∴∠BGC = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (∠ABC + ∠ACB)．
(2) ∵∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠A，
∴由 (1) 得，∠BGC = 180° – (180° – ∠A) = 90° + ∠A．
11.如图,△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于
点G.求证:
1
2
证明：在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠C = 90°，
∴∠ABC +∠ADC = 360° – ∠A – ∠C = 180°.
∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠EBC = ∠ABC，∠CDF = ∠ADC，
∴∠EBC +∠CDF = (∠ABC +∠ADC) = 90°．
又∵∠C = 90°，∴∠DFC +∠CDF = 90°．
∴∠EBC = ∠DFC．∴BE∥DF．
12.如图,在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,BE平分∠B,DF平分
∠D.求证：BE∥DF.(共11张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 11.1
答：图中共有 6 个三角形，分别是 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC 和 △AEC．
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
解：有 2 种选法．
四根木条每三根组成一组可组成四组，分别为 10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3. 其中 7 + 5＞10，7 + 3 = 10，5 + 3＜10，5 + 3＞7，所以第二组、第三组不能构成三角形，只有第一组、第四组能构成三角形．
2.长为10，7，5，3的四根木条,选其中三根组成三角形,有几种
选法？为什么？
解：如图所示，AD，AE，AF 分别为 △ABC 中过顶点 A 的中线、角平分线和高．
D
E
（F）
D
E
F
D
E
F
3.对于下面每个三角形,过顶点A画出中线、角平分线
和高.
4.如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高.填空：
(1)BE=______= _______;
(2)∠BAD=_________= _________;
(3)∠AFB=________= 90°；
(4)S△ABC=_________.
5.选择题.
下列图形中有稳定性的是( )
(A)正方形 (B)长方形
(C)直角三角形 (D)平行四边形
解：分以下两种情况：
（1）当长为 6 cm 的边为腰时，则另一腰长为 6 cm，底边长为 20 – 6×2 = 8 (cm)．因为 6 + 6 ＞ 8，所以此时符合三角形的三边关系；
（2）当长为 6 cm 的边为底边时，等腰三角形的腰长为 (20 – 6)÷2 = 7 (cm)．因为 6 + 7 ＞ 7，所以此时也符合三角形的三边关系．
综上可知，其他两边的长为 6 cm，8 cm ，或 7 cm，7 cm．
6.一个等腰三角形的一边长为6 cm,周长为20 cm,求其他两边的长.
解:（1）∵等腰三角形的一边长等于 5，一边长等于 6，∴其三边长为 5，5，6，或 6，6，5．∵ 5 + 5 ＞ 6，6 + 5 ＞ 6，∴两种情况都符合三角形的三边关系，故三角形的周长为 5 + 5 + 6 = 16 ，或 6 + 6 + 5 = 17．
（2）∵等腰三角形的一边长等于 4，一边长等于 9，∴其三边长为 4，4，9，或 4，9，9．∵ 4 + 4 ＜ 9，4 + 9 ＞ 9，∴只有三边长为 4，9，9 时符合三角形的三边关系，故三角形的周长为 4 + 9 + 9 = 22．
7.(1)已知等腰三角形的一边长等于5,一边长等于6,求它的周长;
(2)已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,求它的周长.
解：依题意知，S△ABC = BC · AD
= AB · CE，
∴ BC · AD = AB · CE，即 4AD = 2CE．
∴ AD ∶CE = 1 ∶2．
8.如图,在△ABC中,AB=2,BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多
少 (提示:利用三角形的面积公式.)
解：∠1=∠2．理由如下：
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC．
∵ DE // AC，DF // AB，
∴ ∠DAC = ∠1，∠BAD = ∠2．
∴ ∠1 = ∠2．
9.如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC,DE交AB于点E,DF∥
AB,DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系 为什么
答：要使四边形木架不变形，至少要再钉上 1 根木条；要使五边形木架不变形，至少要再钉上 2 根木条；要使六边形木架不变形，至少要再钉上 3 根木条．
10.要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根
木条 五边形木架和六边形木架呢 (共12张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 11.2
解：(1) x = 33．(2) x = 60．(3) x = 54．(4) x = 60.
1.求出下列图形中的x的值:
解：（1）一个三角形最多有一个直角，因为如果有两个或三个直角，那么三个内角的和就大于 180° 了；
（2）一个三角形最多有一个钝角，因为如果有两个或三个钝角，那么三个内角的和就大于 180° 了；
（3）不可以，因为如果一个外角是锐角，那么与它相邻的内角必为钝角，那就是钝角三角形，而不是直角三角形了．
2.(1)一个三角形最多有几个直角 为什么
(2)一个三角形最多有几个钝角 为什么
(3)直角三角形的外角可以是锐角吗 为什么
解：∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°，
∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°．
在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠A + ∠A + 10° + ∠A + 20° = 180°，
解得 ∠A = 50°．
则∠B = 50° + 10° = 60°，∠C = 50° + 20° = 70°.
3.△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°.求△ABC
的各内角的度数.
解法 1：由 AD⊥BC，得∠ADB = 90°．
由∠1 + ∠2 = 90°，∠1 =∠2，得∠2 = 45°.
∴∠BAC = 180° – ∠C – ∠2 = 70°．
解法 2：由 AD⊥BC，得∠ADC = 90°．
∴∠CAD = 90° – ∠C = 90° – 65° = 25°．
由∠1 + ∠2 = 90°，∠1 = ∠2，得∠1 = 45°.
∴∠BAC = ∠1 + ∠CAD = 45° + 25° = 70°.
4.如图,AD⊥BC，∠1=∠2,∠C=65°,求∠BAC的度数.
解：∵ AB // CD，∠A = 40°，
∴ ∠1 = ∠A = 40°．
∵∠D = 45°，
∴∠2 = ∠1 + ∠D = 40°
+ 45° = 85°．
5.如图, AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°.求∠1和∠2的度数.
解：∵AB // CD，∠A = 45°，
∴∠DOE = ∠A = 45°．
∵∠DOE = ∠C + ∠E，
∴∠C + ∠E = 45°.
又∵∠C = ∠E，
∴∠C + ∠C = 45°，
∴∠C = 22.5°．
6.如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=∠E,求∠C的度数.
解：依题意知：
∠ABC = 80° – 45° = 35°，
∠BAC = 45° + 15° = 60°，
∴∠ACB = 180° – 35° –
60° = 85°．
7.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,
C处在B处的北偏东80°方向,求∠ACB的度数.
解：依题意知 ∠BDC =∠A + ∠ACD = 62° + 35° = 97°，∠BFD = 180° – ∠BDC – ∠ABE = 180° – 97° – 20° = 63°．
8.如图,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于点F,∠A=
62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数.
解：∵∠A +∠ABC +∠ACB = 180°，∠A = 100°，
∴∠ABC +∠ACB = 180° – ∠A = 180° – 100° = 80°．
又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴∠2 = ∠ABC，∠4 = ∠ACB．
∴∠2 +∠4 = （∠ABC + ∠ACB）= ×80° = 40°．
∴ x° = 180° – (∠2 + ∠4) = 180° – 40° = 140°，即 x = 140．
9.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,求x的值.
10.如图,AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°,填空：
∵AB∥CD,
∴∠1+45°+∠2+45°=________.
∴∠1+∠2=_______.
∴∠E=________.
证明：∵∠BAC 是△ACE 的一个外角，
∴∠BAC = ∠ACE + ∠E.
∵ CE 平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE.
∴∠BAC = ∠DCE + ∠E，
又∵∠DCE 是△BCE 的一个外角，
∴∠DCE = ∠B + ∠E．
∴∠BAC = ∠B + ∠E +∠E = ∠B + 2∠E．
11.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线
于点E.求证∠BAC=∠B+2∠E.(共13张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 11.3
解：如图所示．
1.画出下面多边形的全部对角线:
解：（1）4x + 60 = (5 – 2)×180，解得 x = 120．
（2）3x + 3x + 2x + 4x = (4 – 2)×180，解得 x = 30．
（3）x + 150 + 135 + 180 = (5 – 2)×180，解得 x = 75．
2.求出下列图形中x的值:
3.填表：
解法 1：∵正五边形的内角和为 (5 – 2)×180° = 540°，
∴正五边形每个内角的度数为 540° ÷ 5 = 108°．
∵正十边形的内角和为 (10 – 2)×180° = 1440°，
∴正十边形每个内角的度数为 1440° ÷ 10 = 144°．
解法 2：∵正五边形的每个外角为 360° ÷ 5 = 72°，
∴正五边形每个内角的度数为 180° – 72° = 108°．
∵正十边形的每个外角为 360° ÷ 10 = 36°，
∴正十边形每个内角的度数为 180° – 36° = 144°．
4.计算正五边形和正十边形的每个内角的度数.
解：设该多边形的边数为 n，则有
(n – 2)×180° = 1260°．
解得 n = 9．
答：它是九边形．
5.一个多边形的内角和等于1260°,它是几边形
解：（1）设这个多边形是 m 边形．由题意得
(m – 2) × 180° = 360° ÷ 2．
解得 m = 3．
∴这个多边形为三角形．
（2）设这个多边形是 n 边形．由题意得
(n – 2)×180° = 2×360°．
解得 n = 6．
∴这个多边形为六边形．
6.(1)一个多边形的内角和是外角和的一半,它是几边形
(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍,它是几边形
解：AB∥CD，BC∥AD．理由如下：
在四边形 ABCD 中，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°．
∵ ∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ ∠A + ∠B = ∠A + ∠D = 180°.
∴ AB∥CD，BC∥AD．
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,AB与CD有怎样的
位置关系 为什么 BC与AD呢
解：（1）是．理由如下：
由 BC⊥CD，得∠BCD = 90°．
∵∠1 =∠2 =∠3，
∴∠1 =∠2 =∠3 = 45°．∴∠1 +∠3 = 90°.
∴∠COD = 90°，即 CO 是△BCD 的高．
8.如图,BC⊥CD,∠1=∠2=∠3,∠4=60°,∠5=∠6.
(1)CO是△BCD的高吗 为什么
(2)∠5的度数是多少
(3)求四边形ABCD各内角的度数.
解：（2）由（1）知 CO⊥BD，
∴ AO⊥BD．
∴ ∠4 + ∠5 = 90°．
又∵ ∠4 = 60°，
∴ ∠5 = 30°．
8.如图,BC⊥CD,∠1=∠2=∠3,∠4=60°,∠5=∠6.
(1)CO是△BCD的高吗 为什么
(2)∠5的度数是多少
(3)求四边形ABCD各内角的度数.
解：（3）易得∠BCD = 90°，
∠CDA = ∠1 + ∠4 = 45° + 60° = 105°，
∠DAB = ∠5 +∠6=2×30°=60°．
∴∠CBA = 360° – (∠BCD + ∠CDA + ∠DAB) = 105°．
8.如图,BC⊥CD,∠1=∠2=∠3,∠4=60°,∠5=∠6.
(1)CO是△BCD的高吗 为什么
(2)∠5的度数是多少
(3)求四边形ABCD各内角的度数.
解：∵五边形 ABCDE 的内角都相等，
∴∠E = [(5 – 2)×180°] ÷ 5 = 108°．
∴∠1 = ∠2 = (180° – 108°) ÷ 2 = 36°.
同理，∠3 = ∠4 = 36°．
又∵∠CDE = ∠E = 108°，
∴ x° = ∠CDE – (∠1 + ∠3) = 108° – (36° + 36°) ，即 x = 36．
9.如图,五边形ABCDE的内角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4,求x的值.
解：AB∥DE，BC∥EF．理由如下：
∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，
∴∠B = [(6 – 2)×180°] ÷ 6 = 120°．
∵∠BAD = 60°，∴∠B +∠BAD = 180°．
∴ BC∥AD.
∵∠DAF = 120° – 60° = 60°，
∴∠F +∠DAF = 180°．∴ EF∥AD．∴ BC∥EF．
∵∠ADE = 360° –∠E –∠F–∠DAF = 60°=∠BAD ，∴AB∥DE．
10.如图,六边形ABCDEF的内角都相等,∠DAB=60°.AB与DE有怎样的位置关
系 BC与EF有这种关系吗 这些结论是怎样得出的
