(共15张PPT)
八（上）数学教材习题
复习题 12
解：如图，△ABC ≌ △ADC，△AEO ≌ △OFC，△AGM ≌ △CHN．
1.图中有三个正方形,请你说出图中所有的全等三角形.
解：（1）有，△ABD ≌△CDB．
（2）有，如 △ABD 和 △AFD，△AFD 和 △BCD，△ABF 和 △DBF，△ABE 和 △DFE．
2.如图,在长方形ABCD中,AF⊥BD,垂足为E,AF交BC于点F,连
接DF.
(1)图中有全等三角形吗
(2)图中有面积相等但不全等的三角形吗
证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠ACE = ∠2 + ∠ACE，
即∠ACB = ∠DCE．
在 △ABC 和 △DEC 中，
∴△ABC ≌ △DEC ( SAS).
∴ AB = DE．
3.如图,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证AB=DE.
解：依题意知∠CAB = ∠DBA = 90°，∠CAD = ∠DBC，
∴∠CAB – ∠CAD = ∠DBA – ∠DBC，即∠DAB = ∠CBA．
又∵ AB = BA，
∴ △ABC ≌ △BAD（ASA）．
∴ CA = DB．
4.如图,海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北
方,海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从
观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C,D到观测点A,B所在海岸
的距离CA,DB相等.请你说明理由.
证明：∵ D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD = CD，∠BED = ∠CFD = 90°．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
∴ Rt△BDE ≌ △Rt△CDF (HL)．
∴ DE = DF．
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，
即 AD 是 △ABC 的角平分线．
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别
是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
答：应在三条公路所围成的三角形的角平分线交点处修建度假村．
6.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,
应在何处修建
解：C，D 两地到路段 AB 的距离相等．
理由如下：∵AC∥BD，∴∠A = ∠B．
在 △ACE 和 △BDF 中，
∴ △ACE ≌ △BDF (AAS)．
∴ CE = DF．
7.如图，两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时
间后分别到达C,D两地.C,D两地到路段AB的距离相等吗 为什么
证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∴△ABC ≌ △DEF (SSS)．
∴∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE．
∴ AB∥DE，AC∥DF．
8.如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE,AC∥DF.
解：∵ BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E = ∠ADC = ∠CAD + ∠ACD = 90°．
∵∠BCE + ∠ACD = ∠ACB = 90°，
∴∠BCE = ∠CAD．
又∵ BC = AC，
∴△BCE ≌ △CAD (AAS)．
∴ CE = AD = 2.5 cm，BE = CD．
∴ BE = CD = CE – DE = 2.5 – 1.7 = 0.8 (cm)．
9.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别
为D,E，AD=2.5 cm,DE=1.7 cm.求BE的长.
解：由题意得 △BCD ≌ △BED，
∴ DE = DC，BE = BC = 6 cm．
∵ AB = 8 cm，
∴ AE = AB – BE = 8 – 6 = 2(cm)．
∴ AD + DE + AE = AD + CD + AE = AC + AE = 5 + 2 = 7 (cm)．
即 △AED 的周长为 7 cm．
10.如图的三角形纸片中,AB=8 cm,BC=6 cm,AC=5 cm,沿过点B的直线折叠这个
三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD.求△AED的周长.
解：AD = A′D′．证明如下：
∵△ABC ≌ △A′B'C'，
∴AB = A'B'，∠B =∠B′，BC = B′C′．
又∵ AD 和 A'D' 分别是 BC 和 B'C' 上的中线，
∴ BD = BC，B′D′ = B′C′．
∴BD = B'D′．
∴△ABD ≌ △A′B′D′ (SAS).
∴ AD = A'D'．
11.如图,△ABC≌△A' B' C' ，AD,A' D' 分别是△ABC,△A' B' C'
的对应边上的中线.AD与A' D' 有什么关系 证明你的结论.
证明：如图，作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F．
∵ AD 是 △ABC 的角平分线，
∴ DE = DF．
∴
即 S△ABD ∶S△ACD = AB ∶AC．
12.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,求证:
S△ABD:S△ACD=AB:AC.
已知：如图，在 △ABC 与 △A'B'C 中，AB = A′B′，AC = A′C′，CD，C'D' 分别是 △ABC，△A'B'C' 的中线，且 CD = C′D'．
求证：△ABC ≌ △A'B′C′．
证明：∵ AB = A'B'，CD，CD' 分别是 △ABC，△A'B′C′ 的中线，
∴ AB = A′B′，即 AD = A′D′．
13.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,
那么这两个三角形全等.
在 △ADC 与 △A'D'C′ 中，
∴ △ADC ≌ △A′D′C′ (SSS)．
∴∠A = ∠A′．
在 △ABC 与 △A'B′C′ 中，
∴△ABC ≌ △A'B′C′ (SAS)．
13.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,
那么这两小三角形全等.(共8张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 12.1
答：其他对应边： AC 和 CA；
对应角：∠B 和∠D，∠ACB 和∠CAD，∠CAB 和∠ACD．
1.如图,△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边.写出其他对
应边及对应角.
答：其他对应边： AN 和 AM，BN 和 CM；
对应角：∠ANB 和∠AMC，∠BAN 和∠CAM．
2.如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB和AC是对应边.
写出其他对应边及对应角.
解：根据全等三角形的对应角相等，由图可知∠1 = 180° – 60° – 54° = 66°．
3.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1等于多少度
解：(1) 对应边：FG 和 MH，EF 和 NM，EG 和 NH；其他对应角：∠E 和∠N，∠EGF 和∠NHM．
(2) 由 (1) 可知 NM = EF = 2.1 cm，EG = NH = 3.3 cm．
∴ HG = EG – EH = 3.3 – 1.1 = 2.2 (cm).
4.如图,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG是最长边.在
△NMH中,MH是最长边,EF=2.1 cm,EH=1.1 cm,NH=3.3 cm.
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)求线段NM及线段HG的长度.
解：相等．理由如下：
∵△ABC ≌ △DEC，
∴∠ACB =∠DCE（全等三角形的对应角相等）.
∴∠ACB – ∠ACE =∠DCE – ∠ACE（等式的基本性质），
即∠BCE =∠ACD．
5.如图,△ABC≌△DEC,CA和CD,CB和CE是对应边,∠ACD
和∠BCE相等吗 为什么
解：（1） 对应边：AB 和 AC，AD 和 AE，BD 和 CE.
对应角：∠A 和 ∠A，∠ABD 和 ∠ACE，∠ADB 和 ∠AEC．
6.如图,△AEC≌△ADB,点E和点D是对应顶点.
(1)写出它们的对应边和对应角；
(2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度数.
解：（2）∵△AEC ≌ △ADB，
∴∠ACE = ∠ABD = 39°．
在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180°，即∠A +∠ABD +∠1 +∠2 +∠ACE = 180°．
又∵∠1=∠2，
∴ 50° + 39° + 2∠1 + 39° = 180°，解得∠1 = 26°．
6.如图,△AEC≌△ADB,点E和点D是对应顶点.
(1)写出它们的对应边和对应角；
(2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度数.(共15张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 12.2
解：△ABC 和 △ADC 全等．理由如下：
在△ABC 与 △ADC 中，
∴△ABC ≌ △ADC (SSS)．
1.如图,AB=AD,CB=CD.△ABC和△ADC全等吗 为什么
证明：在 △ABE 和 △ACD 中，
∴△ABE ≌ △ACD (SAS)．
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等)．
2.如图,AB=AC,AD=AE.求证：∠B=∠C.
3.如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).在图中,要测量工件内槽宽AB,只要测量哪些量 为什么
解：只要测量 A'B' 的长即可．
因为在△AOB 和 △A′OB′中，
所以△AOB ≌ △A′OB′（SAS），
所以 AB = A'B'．
证明：∵∠ABD + ∠3 = 180°，∠ABC + ∠4 = 180°，
且∠3 = ∠4，
∴∠ABD = ∠ABC（等角的补角相等）．
在 △ABD 和 △ABC 中，
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA）．
∴ AD = AC．
4.如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证AC=AD.
证明：在 △ABC 和 △CDA 中，
∴ △ABC ≌ △CDA (AAS)．
∴ AB = CD．
5.如图,∠1=∠2,∠B=∠D.求证AB=CD.
解：相等．理由如下：
由题意知 ∠ADC = ∠BEC = 90°，∠C = ∠C，AC = BC，
∴ △ADC ≌ △BEC (AAS)．
∴ AD = BE．
6.如图,从C地看A,B两地的视角∠C是锐角,从C地到A,B两地的距
离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗
为什么？
证明：(1) 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL)．
∴ BD = CD．
(2) ∵ Rt△ABD ≌ Rt△ACD，
∴∠BAD = ∠CAD．
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高.求证:
(1)BD=CD； (2)∠BAD=∠CAD.
证明：∵ AC⊥CB，DB⊥CB，
∴ ∠ACB =∠DBC = 90°．
在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中，
∴ Rt△ACB ≌ Rt△DBC (HL)．
∴ ∠ABC = ∠DCB (全等三角形的对应角相等)．
∴ ∠ABD = ∠ACD (等角的余角相等)．
8.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为C,B,AB=DC.求证∠ABD=∠ACD.
证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，
即 BC = EF．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∴ △ABC ≌ △DEF (SSS)．
∴ ∠A = ∠D．
9.如图,点B,E,C，F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证∠A=∠D.
证明：在 △AOB 和 △COD 中，
∴ △AOB ≌ △COD（SAS）.
∴ ∠A = ∠C．
∴ DC∥AB．
10.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证DC∥AB.
证明：∵ FB = CE，
∴ FB + FC = CE + FC，即 BC = EF．
∵ AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B = ∠E，∠ACB = ∠DFE．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∴△ABC ≌ △DEF (ASA)．∴AB = DE，AC = DF.
11.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE，AB∥ED，AC∥FD.
求证：AB=DE，AC=DF.
解：AE = CE．证明如下：
∵FC∥AB，
∴∠A = ∠FCE，∠ADE = ∠F．
在 △AED 和 △CEF 中，
∴△AED ≌ △CEF (AAS)．
∴ AE = CE (全等三角形的对应边相等）．
12.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.AE与
CE有什么关系？证明你的结论.
解：△ABD ≌ △ACD，△ABE ≌ △ACE，△EBD ≌ △ECD．
证明如下：在 △ABD 和 △ACD 中，
∴△ABD ≌ △ACD (SSS)．∴∠BAE = ∠CAE．
又 AB = AC，AE = AE，
∴△ABE ≌ △ACE (SAS)．∴ BE = CE．
又 BD = CD，DE = DE，∴△EBD ≌ △ECD (SSS)．
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,找出
图中的全等三角形,并证明它们全等.
解：△ABD ≌ △ACD，△ABE ≌ △ACE，△EBD ≌ △ECD．
证明如下：在 △ABD 和 △ACD 中，
∴△ABD ≌ △ACD (SSS)．∴∠BAE = ∠CAE．
又 AB = AC，AE = AE，
∴△ABE ≌ △ACE (SAS)．∴ BE = CE．
又 BD = CD，DE = DE，∴△EBD ≌ △ECD (SSS)．
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,找出
图中的全等三角形,并证明它们全等.(共8张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 12.3
1.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M，N作OA，OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么
解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP = ∠ONP = 90°．
在 Rt△MOP 和 Rt△PON 中，
∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）.
∴∠MOP = ∠NOP，
即 OP 是∠AOB 的平分线．
证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，且 DE，DF 分别垂直 AB，AC 于点 E，F，
∴ DE = DF．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）．
∴ EB = FC．
2.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证EB=FC.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO = ∠CEO = 90°．
又∵∠DOB = ∠EOC，OB = OC，
∴△DOB ≌ △EOC（AAS）．
∴ OD = OE．
∴ 点 O 在∠BAC 的平分线上．
∴∠1 = ∠2．
3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D，E，BE，CD相交于点
O,OB=OC.求证∠1=∠2.
证明：∵AD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠BAD = ∠CAD．
又∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD = ∠BAD，∠FPD = ∠CAD．
∴∠EPD = ∠FPD．
即PD平分∠EPF．
∴点 D 到 PE 和 PF 的距离相等．
4.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥
AB,交BC于点E,PF∥AC,交BC于点F,求证:点D到PE和PF的距
离相等.
证明：∵OC 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE，∠DOP = ∠EOP，∠ODP = ∠OEP=90°．
又∠DPF =∠DOP+∠ODP，∠EPF=
∠EOP+∠OEP，∴∠DPF =∠EPF．
在△DPF 和 △EPF 中，
PD = PE，∠DPF =∠EPF，PF = PF．
∴△DPF ≌ △EPF (SAS)．∴DF = EF．
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥
OB,垂足分别为D,E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF.
解：AD 与 EF 垂直．证明如下：
∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠ADE = ∠ADF．
又 ∵DG = DG，
∴△GDE ≌ △GDF (SAS)．
∴∠DGE = ∠DGF．
∵∠DGE + ∠DGF = 180°，
∴∠DGE = ∠DGF = 90°，即 AD⊥EF．
6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,
F,连接EF,EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗 证明你的结论.
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F．
∵∠B = ∠C = 90°，∴ EC⊥CD，EB⊥AB．
∵DE 平分∠ADC，∴ EF = EC．
又∵ E 是 BC 的中点，∴ EC = EB．
∴ EF = EB．
∵ EF⊥AD，EB⊥AB，
∴ 点 E 在∠DAB 的平分线上，即 AE 是∠DAB 的平分线.
F
7.如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE
是∠DAB的平分线.(提示:过点E作EF⊥AD,垂足为F.)
