(共16张PPT)
八（上）数学教材习题
复习题 13
是
不是
是
是
是
是
1.下列图形是轴对称图形吗 如果是,找出它们的对称轴.
解：如图所示．
2.画出下列轴对称图形的对称轴.
证明：如图，连接 BC．
∵点 D 是 AB 的中点，CD⊥AB，
∴ AC = BC．
同理，AB = BC，
∴ AC = AB．
3.如图,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB,垂足为D,
BE⊥AC,垂足为E.求证AC=AB.
解：点 A 与点 B 关于 x 轴对称；点 B 与点 E 关于 y 轴对称；点 C 与点 E 不关于 x 轴对称，因为它们的纵坐标分别是 3，–2，不是互为相反数．
4.如图所示的点A,B,C,D,E中,哪两个点关于 x 轴对称 哪两个点
关于 y 轴对称 点C和点E关于 x 轴对称吗 为什么？
解：∵ DB = BA，CE = CA，
∴∠D = ∠DAB = ∠ABC = 25°，
∠E = ∠CAE = ∠ACB = 40°．
∴∠DAE = 180° – ∠D – ∠E = 115°．
5.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB
=80°,延长CB至D,使DB=BA,延长BC
至E,使CE=CA,连接AD,AE.求∠D,∠E，
∠DAE的度数.
证明：∵AD = BC，AC = BD，AB = BA，
∴△ABD ≌ △BAC (SSS).
∴∠ABD = ∠BAC．
∴EA = EB，
即△EAB 是等腰三角形．
6.如图,AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.
证明：∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB．
∵ CD 是高，
∴∠BCD = 90° – ∠B = ∠A = 30°.
∴ BD = BC = AB．
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,
求证
解：等边三角形有 3 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，正八边形有 8 条对称轴，正 n 边形有 n 条对称轴．
8.试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数.一般地,一个正n边形有多少条
对称轴
解：(1)(4)是轴对称，(2)(3)是平移．(1)的对称轴是 y 轴，(4)的对称轴是 x 轴；(2)中图形 I 先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 5 个单位长度得到图形Ⅱ；(3)中图形 I 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到图形Ⅱ．
9.如图,从图形I到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称 如果是轴对称,找出对称轴；
如果是平移,是怎样的平移
证明：∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DE，DF 分别垂直于 AB，AC，
∴ DE = DF，∠DEA = ∠DFA = 90°．
又∵ DA = DA，
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF (HL)．
∴ AE = AF．
∴ AD 垂直平分 EF．
10.如图，AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD
的高.求证：AD垂直平分EH.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，
又∵ AD = BE = CF，
∴ BD = CE = AF．
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE (SAS)．
∴ DF = ED = FE．
即 △DEF 是等边三角形．
11.如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE
=CF.求证:△DEF是等边三角形.
解：这五个点为正五边形的 5 个顶点，如图所示.
12.在纸上画五个点,使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,
这五个点应该怎样画
证明：在等边 △ABC 中，∵ BD 是中线，
∴ BD 是 AC 边上的高，且 ∠ACB = 60°.
∴ ∠CBD = 90°– ∠ACB = 30°．
∵ CE = CD，
∴∠E = ∠CDE = ∠ACB = 30°．
∴∠CBD = ∠E．
∴ DB = DE．
13.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.
求证DB=DE.
证明：在等腰△ABC 中，∵ AC = BC，∴ ∠CAB = ∠CBA．
∵△BDC 和△ACE 都为等边三角形，∴ ∠CAE = ∠CBD = 60°．
∴ ∠CAB – ∠CAE = ∠CBA – ∠CBD，即∠FAB = ∠FBA.
∴ FA = FB．
又∵ CA = CB，∴ CF 垂直平分线段 AB．
∴ G 为 AB 的中点．
14.如图,△ABC为等腰三角形,△BDC和
△ACE分别为等边三角形,AE与BD相交于
点F,连接CF并延长,交AB于点G,求证：G
为AB的中点.
解：如图，作点 A 关于 MN 的对称点 A′，再作点 B 关于 l 的对称点 B′，连接 A'B'，交 MN 于点 C，交 l 于点 D，则 A→C→D→B 即为所求的最短路径．
15.如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮
马,然后回到B处,请画出最短路径.(共14张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 13.1
解：它们都是轴对称图形，对称轴如图所示．
1.下面的图形是轴对称图形吗 如果是,你能画出它的对称轴吗
是
不是
是
是
是
是
2.下列各图形是轴对称图形吗？如果是,画出它们的一条对称轴.
答：有阴影的三角形与 1，3 成轴对称；整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
3.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称 整个图形是轴对
称图形吗 它共有几条对称轴
解：∠A'B'C' = 90°，AB = 6 cm．
4.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,∠B=90°,
A'B'=6 cm,求∠A'B'C'的度数和AB的长.
答：△ABC ≌ △A′B′C′；
如果两个三角形全等，那么它们不一定关于某条直线对称．
5.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,这两个三角形全等吗
一般地,如果两个三角形全等,那么它们一定关于某条直线对
称吗
解：∵ DE 是 AC 的垂直平分线，
∴ AD = CD，AC = 2AE = 6 cm．
又∵△ABD 的周长为 13 cm，
∴ AB +BD + AD = 13 cm．
∴ AB + BD + CD = 13 cm，
即 AB + BC = 13 cm．
∴ AB + BC + AC = 13 + 6 = 19 (cm)．
故 △ABC 的周长为 19 cm．
6.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3 cm,△ABD的周
长为13 cm,求△ABC的周长.
答：是轴对称图形，它有 2 条对称轴，如图所示.
7.平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形吗 如果是,它有几
条对称轴
答：直线 d是图形的对称轴．
8.如图所示的虚线中,哪些是图形的对称轴
证明：∵∠A = ∠C，OA = OC，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ≌ △COD (ASA).
∴ OB = OD．
又∵ BE = DE，
∴ OE 垂直平分 BD．
9.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.
求证:OE垂直平分BD.
答：公共汽车站建在线段 AB 的垂直平分线与公路的交点处，就能使两个小区到车站的路程一样长．
10.如图,某地由于居民增多,要在公路l上增加一个公共汽车站,A,
B是路边两个新建小区,这个公共汽车站建在什么位置,能使两
个小区到车站的路程一样长
答：AB 和 A'B' 所在的直线相交，BC 和 B'C′ 所在的直线也相交，交点都在对称轴 l 上；AC 和 A'C′ 所在的直线不相交，它们所在的直线与对称轴 l 平行．规律：成轴对称的两个图形中，若对应线段所在的直线相交，则交点一定在对称轴上；若对应线段所在的直线不相交，则与对称轴平行．
11.如图,△ABC与△A' B' C' 关于直线l对称,对应线段AB和A' B'所在的直线
相交吗 另外两组对应线段所在的直线相交吗 如果相交,交点与对称轴l有
什么关系 如果不相交,这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系 再找
几个成轴对称的图形观察一下,你能发现什么规律
解：发射塔应建在两条高速公路 m 和 n 夹角的平分线与线段 AB 的垂直平分线的交点位置上．如图所示，点 P 即为所要找的位置．
12.如图,电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔,按照设计要求,发射塔到
两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,发
射塔应修建在什么位置 在图上标出它的位置.
(1) 证明：∵点 P 在 AB，BC 的垂直平分线上，
∴ PA = PB，PB = PC．
∴ PA = PB = PC．
(2) 解：点 P 在 AC 的垂直平分线上．
结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到这个三角形三个顶点的距离相等．
13.如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证PA=PB=PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上 由此你还能得出什么
结论？(共8张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 13.2
解：如图所示．
1.如图,将各图形补成关于直线 l 对称的图形.
解：关于 x 轴对称的点的坐标依次为: （3，–6）,（–7，–9）,（6，1）,（–3，5）,（0，–10）.
关于 y 轴对称点的坐标依次为：（–3，6）,（7，9）,（–6，–1）,（3，–5）,（0，10）.
2.分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标:
(3，6)，(–7，9)，(6，–1)，(–3，–5)，(0，10).
解：B（1，–1），
C（–1，–1），
D（–1，1）．
3.如图,以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系.点A的
坐标为(1,1),写出点B,C,D的坐标.
解：如图所示．
4.如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别画出△ABC
关于 x 轴和 y 轴对称的图形.
解：(1) 关于 x 轴对称，或向下平移 6 个单位长度；
(2) 向上平移 5 个单位长度，或关于直线 y = –3.5 对称；
(3) 关于 y 轴对称，或向左平移 6 个单位长度；
(4) 先关于 x 轴作轴对称，再关于 y 轴作轴对称；或先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 6 个单位长度；或先向下平移 6 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度．
5.根据下列点的坐标的变化,判断它们进行了怎样的运动:
(1)(–1,3)→(–1,–3)； (2)(–5,–6)→(–5,–1)；
(3)(3，4)→(–3,4)； (4)(–2,3)→(2,–3).
解：用坐标描述运动：(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→(8，3)→(7，4)→(3，0)．点 (3，0) 与点 (5，0)，点 (0，3) 与点 (8，3)，点 (1，4) 与点 (7，4) 都关于直线 l 对称．
如果小球起始时位于(1，0)处，那么小球运动轨迹的如红线所示．
6.如图,小球起始时位于(3,0)处,沿所示的方向击球,小球运动的轨迹如图所示,
用坐标描述这个运动,找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果
小球起始时位于(1,0)处,仍按原来方向击球,请你画出这时小球运动的轨迹.
解：如图所示，△PQR 关于直线 m 对称的图形是△P1Q1R1，关于直线 n 对称的图形是△P2Q2R2．
关于直线 m 对称的点的纵坐标都相等，横坐标的和都是 2；关于直线 n 对称的点的横坐标都相等，纵坐标的和都是 –2．
7.如图,分别作出△PQR关于直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为1)和直线 n
(直线 n 上各点的纵坐标都为-1)对称的图形.它们的对应点的坐标之间分别
有什么关系 (共16张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 13.3
解：（1）(180° – 110°) ÷ 2 = 35°，故它的另外两个角都是35°.
（2）分两种情况：① 当等腰三角形的一个底角为 80° 时，那么它的另一个底角为 80°，则顶角为 180° – 80° – 80° = 20°；② 当等腰三角形的顶角为 80° 时，那么它的两个底角均为 (180° – 80°) ÷ 2 = 50°．综上可知，等腰三角形的另外两个角是 20°，80° 或 50°，50°．
1.(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角是多少度
(2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角是多少度
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB = ∠CBD．
又∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD =∠CBD．
∴∠ADB = ∠ABD．
∴ AB = AD．
2.如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证AB=AD.
解：∵五角星的五个角都是顶角为 36° 的等腰三角形，
∴每个底角的度数是 (180° – 36°) ÷ 2 = 72°．
∴∠AMB = 180° – 72° = 108°．
3.如图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,为了画出
五角星,还需要知道∠AMB的度数,算一算∠AMB等于多少度.
解：∵ AB = AC，AD⊥BC，
∴ ∠BAD = ∠CAD．
∵∠BAC = 120°，
∴ ∠BAD = ∠CAD = 60°．
∴∠B = ∠C = 90° – 60° = 30°．
4.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥
BC,且顶角∠BAC=120°,∠B,∠C,∠BAD,∠CAD各是多少度？
证明：∵ CE∥DA，
∴∠CEB = ∠A．
又∵∠A = ∠B，
∴∠CEB = ∠B．
∴ CB = CE，
即 △CEB 是等腰三角形．
5.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于点E.求证:△CEB
是等腰三角形.
证明：∵ AB = AC，AD = AE，
∴ ∠B = ∠C，∠ADE = ∠AED．
∴ ∠ADE – ∠B = ∠AED – ∠C，
即 ∠BAD = ∠CAE．
∴ △ABD ≌ △ACE (SAS)．
∴ BD = CE．
提示：作 BC 边上的高，利用“三线合一”也可以证明结论成立．
6.如图,点D，E在△ABC的边BC上,AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.
解：∵ AB = AC，∠A = 40°，
∴ ∠ABC = ∠C = (180° – 40°) ÷ 2 = 70°．
∵ MN 是 AB 的垂直平分线，
∴ DA = DB．
∴∠ABD = ∠A = 40°．
∴∠DBC = ∠ABC – ∠ABD = 30°．
7.如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC
于点D.求∠DBC的度数.
作法：(1) 以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F；
(2) 分别以点 E，F 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 C；
(3) 过 C，P 两点作直线 CD，则直线 CD 为所求的垂线．
已知：如图，点 P 是直线 AB 上一点，求作直线 CD，使 CD⊥AB 于点 P．
8.尺规作图:经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
答：他们的判断是对的．
因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．
9.某地地震过后,河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房
梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端挂一个
铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的
直角项点,同学们由此确信房梁是水平的,他们的判断对吗 为
什么
证明：∵ MN∥BC，∴∠MOB = ∠OBC，∠NOC = ∠OCB．
又∵ BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，
∴∠MBO = ∠OBC，∠NCO = ∠OCB．
∴∠MOB = ∠MBO，∠NOC = ∠NCO．
∴ MO = MB，NO = NC．
∴△AMN 的周长为 AM + AN + MN = AM + AN + MO + NO = AM + AN + MB + NC = AB + AC．
10.如图,△ABC中,BO平分∠ABC，CO平分
∠ACB，MN经过点O,AB，AC相交于点
M，N,且MN∥BC.求证:△AMN的周长
等于AB+AC.
解：∵∠NAC = 42°，∠NBC = 84°，
∴∠C = ∠NBC – ∠NAC = 42°．
∴∠NAC = ∠C．
∴ BC = BA = 15×(10 – 8) = 30 (n mile)，
即从海岛 B 到灯塔 C 的距离为 30 n mile．
11.上午8时,一条船从海岛A出发,以15 n mile/h
（海里/时,1n mie=1852 m)的速度向正北航
行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测
得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求从海岛B
到灯塔C的距离.
证明：∵△ABD，△AEC 都是等边三角形，
∴ AD = AB，AC = AE，且∠BAD = ∠CAE = 60°．
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，即∠CAD = ∠EAB．
∴ △CAD ≌ △EAB (SAS)．
∴ BE = DC．
12.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证BE=DC.
解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．若选前两个结论，则可利用全等三角形的判定与性质进行证明；若选“等腰三角形两腰上的高相等”这一结论，利用面积法进行证明（答案不唯一，具体过程略）．
13.等腰三角形两底角的平分线相等吗 两腰上的中线呢 两腰上的
高呢 证明其中的一个结论.
解：依题意知 △APQ 为等边三角形，
∴∠APQ =∠PAQ =∠AQP = 60°.
∵ BP = AP，AQ = QC，
∴∠PAB =∠B = ∠APQ = 30°，
∠QAC =∠C = ∠AQP = 30°.
∴∠BAC = 30° + 60° + 30° = 120°.
14.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且BP=PQ=QC=AP=AQ,
求∠BAC的度数.
解：如图，作∠A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，再过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则 △ADC ≌ △ADE ≌ △BDE．
15.如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户.如
果∠C=90°，∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形
状都相同,请你试着分一分，并在图上画出来.
