海南省2022届高三1月期末学业水平诊断（二）数学试题（Word版，含解析）

海南省2022届高三1月期末学业水平诊断（二）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡.上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，集合，则B=
A. B. C. D.
3.已知角为第二象限角，，则
A. B. C. D.
4.函数的零点个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.
图1 图2
已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为F，以F为圆心，p为半径的圆F与抛物线C交于点M，N，与x轴的正半轴交于点Q，若，则p=
A. B. C. D.
7.若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
8.在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I、II、III、IV、V、劣V类六个类别，其中I、II类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是
A.浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况
B.辽河流域I~III类水质占比小于60%
C.黄河流域的水质比长江流域的水质要好
D. IV、V类水质所占的比例最高的是淮河流域
10.已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11.已知函数，设，则成立的一个充分条件是
A. B.
C. D.
12.对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是
A.若点C是线段AB的中点，则
B.在中，若，则
C.在中，
D.在正方形ABCD中，有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为 .
14.已知双曲线的右顶点为.若A到E的条渐近线的距离为1，则E的离心率为 .
15.已知函数的图象如图所示，点M和N分别是最低点和最高点，P是的图象与x轴的一个交点，轴于点Q，O为坐标原点，若且，则A= .
16.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，若平面轴，且，则直线AC与平面所成的角的正弦值为 .
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A，B两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：
选择A品牌相机拍摄的照片 选择B品牌相机拍摄的照片
盲测组 66 34
对照组 44 56
（I）分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率；
（II）判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18.（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（I）求角C的大小；
（II）若的面积，求ab的最小值.
19.（12分）
已知等差数列满足，且，，成等差数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：数列的前n项和.
20.（12分）
如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，底面ABCD，点F在底面ABCD内的投影为正方形ABCD的中心O.
（I）在图中作出平面FBC与平面EAB的交线（不必说出画法和理由）；
（II）设二面角的大小为，求AE的长.
21.（12分）
已知椭圆的右焦点为F，上顶点为C，过点F与x轴垂直的直线交E于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，四边形ABOC是面积为的平行四辺形.
（I）求椭圆E的方程；
（II）设点，过点P的直线l交椭圆于点M，N，交y轴的正半轴于点T，点Q为线段MN的中点，，求直线l的斜率k.
22.（12分）
已知函数.
（I）求在区间上的最大值和最小值；
（II）设，若当时，，求实数a的取值范围.
海南省2022届高三1月期末学业水平诊断（二）
数学 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案C
命题意图 本题考査的计算与复数运算、复数的几何表示.
解析 ，所以z对应的点位于第三象限.
2.答案B
命题意图 本题考査集合的表示与集合同的运算.
解析 ，集合B中，由，得，又，所以，，.
3.答案A
命题意图 本题考査同角三角函数的基本关系
解析 因为是第二象限角，所以，，再由，，可得.
4.答案C
命题意图 本题考査函数的零点判定.
解析 函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图容易判断，两图象有两个交点，故原函数有2个零点
5.答案C
命题意图 本题考查简单组合体的图形结构特征以及体积的计算.
解析 正方体的体积为，其内切球的体积为，由条件可知牟合方盖的体积为，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为.
6.答案A
命题意图 本题考查抛物线的标准方程及定义.
解析 过点M作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，，设抛物线准线与x轴的交点为，则，所以四边形是正方形，则，又，所以.
7.答案D
命题意图 本题考查分段函数的表示，函数的单调性.
解析 如图，作出函数和的大致图象.联立和，得交点A，B的横坐标分别是，，注意到点A是二次函数图象的最低点，所以若，则当时，单调递减，不符合题意；当时符合题意；当时，会出现，即在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；当时，符合题意.
8.答案B
命题意图 本题考查平面向量的坐标表示、数量积的坐标运算和几何意义.
解析 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.设DE的长为x，则，，所以，解得或，由点E存在且唯一，知CD的长的取值范围是.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.答案ABD
命题意图 本题考查从统计图中获取数据信息.
解析 由图易知A，B，D正确，对于C，黄河流域的水质比长江流域的水质要差.
10.答案BD
命题意图 本题考查等比数列的定义、性质.
解析 递增的等比数列包括两种情况：时，或时，.故，，BD正确.
11.答案CD
命题意图 本题考查函数的基本性质、充分条件的判断.
解析 易知函数和函数都是偶函数，所以函数是偶函数.又当时，，，所以在上单调递增，在上单调递碱.自变量x离原点越远，函数值越大，所以若，必有.易知只有C，D符合题意
12.答案ACD
命题意图 本题考查对新概念的理解，灵活运用知识的能力.
解析 对于A，，故A正确；对于B，取，则，而，不满足，故B错误；对于C，设，则，因为
，同理，所以
，故C正确；对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知
，故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案：（2，1）
命题意图 本题考查对数函数的图象与性质.
解析 ，所以点P的坐标为（2，1）.
14.答案
命题意图 本题考查双曲线的基本性质.
解析 由已知得E的一条渐近线的倾斜角为，即，所以E的离心率为.
15.答案
命题意图 本题考查三角函数的图象和性质.
解析 由已知得的最小正周期，所以，所以，，则，，所以，化简得，解得，又，所以.
16.答案
命题意图 本题考查平面的法向量、利用空间向量求直线与平面的夹角的正弦值.
解析 ，，由平面平行于y轴，可设平面的法向量为，则，所以可取，所以，所以直线AC与平面所成的角的正弦值为.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.命题意图 本题考查概率的概念以及独立性检验的应用.
解析 （I）由题中数据可知：
盲测组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为；
对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为.
（II）零假设为：用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响.
根据所给数据可得，
因为9.778>6.635，根据独立性检验推断不成立，即认为相机的品牌对用户有影响，此推断犯错误的概率不超过0.01，即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响
18.命题意图 本题考查正弦定理、余弦定理的应用.
解析 （I）由及正弦定理得，
所以，即.
因为，所以.
（II）由题意知，即，
由余弦定理知，
即，因此，
当且仅当时取等号，所以ab的最小值为48.
19.命题意图 本题考查等差数列的性质，数列求和.
解析 （I）设数列的公差为d，
因为，，成等差数列，所以，
即，
代入，解得，
所以的通项公式为.
（II），
所以，
即数列的前n项和.
20.命题意图 本题考査空间几何体的性质.
解析 （I）作图步骤：如图，延长CF与直线AE交于点M，连接BM.直线BM即平面FBC与平面EAB的交线.
理由：由已知平面ABCD，平面ABCD，所以，
又A，O，C共线，所以点E，F，C，A共面.
显然直线AE与直线CF不平行，即AE与CF必存在交点M，
点M在平面EAB和平面FBC内，又因为点B也在平面EAB和平面FBC内，所以直线BM是平面FBC与平面EAB的交线.
（II）方法一：
如图所示，以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，则且，
所以令，则.
同理可得平面DEF的一个法向量为.
由图可知的夹角为二面角的平面角的补角，
所以，
解得，即.
方法二：
连接AC，BD.因为平面ABCD，所以，
在正方形ABCD中，，
又因为，所以平面BFD.
因为平面ABCD，所以，所以平面BFD.
因此就是二面角的平面角.
所以，所以.
因为正方形ABCD的边长为2，所以，
所以，
所以.
21.命题意图 本题考查椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系.
解析 （I）设，将代入椭圆方程，得，
所以，，则，
由四边形ABOC是平行四边形知，即，得，
所以，
又平行四边形ABOC的面积，
所以，，，
所以椭圆E的方程为.
（II）易知直线l的斜率，设，则可得直线l的方程为，
联立消去x整理得.
由，得.
设，
则，
在中令，得，
所以，，
所以，
解得或（舍去），满足，
综上，直线l的斜率.
22.命题意图 本题考查利用导数研究函数性质.
解析 （I）由条件得，
当时，有，，，所以，
即在上单调递减，
因此在区间上的最大值为，最小值为.
（II）由题意得，
所以，
若，当时，有，
所以在上单调递增，所以，符合题意.
若，令，则，
当时，，所以在上单调递减.
又因为，，所以在上存在一个零点，
当时，，即，所以单调递减，
此时，不符合题意.
综上可知，a的取值范围是.