南通市海门区2021-2022学年高三上学期期末学业质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝
A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．若复平面内点(1，－2)对应的复数为z，则＝
A． B．2i C．－2i D．2
3．已知菱形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一对角线BD上，则的值为
A．－2 B．2 C．1 D．4
4．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
5．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是
A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)
6．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是
A．16π B． C．8π D．
7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为
A．32 B．64 C．128 D．256
【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到1的距离为d，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于二项式的展开式，下列结论正确的是
A．各项系数之和为0 B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项 D．x的系数为－28
10．对于函数，下列结论正确的是
A．f(x)是周期为π的周期函数 B．
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)在区间上单调递减
11．已知椭圆C：(a＞2)的焦点为F1，F2，点在椭圆C的内部，点M在椭圆C上，则
A．a＞4 B．椭圆C的离心率的取值范围为
C．存在点M使得 D．MF12＋MF22＞32
12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据
得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则
A．竞聘者第1环节考核通过的概率为
B．若竞聘者第1环节考核通过X个项目，则X的均值E(X)＝1
C．竞聘者第2环节考核通过的概率为
D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以上
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知圆柱的底面半径为，体积为4π，则该圆柱的侧面积为 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝ ．
①f(x)为偶函数；②；③x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0．
15．数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂
纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的；通项公式an＝[()n－n]等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到＝an＋1(an＋2－an)＝an＋2an＋1－an＋1an，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足·＝1，则点O到直线l的距离为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．(本小题满分12分)
某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到如下数据：
500元及以上 少于500元 合计
男 25 25 50
女 15 35 50
合计 40 60 100
(1)判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关；
(2)为增加销量，该网店计划今年“双11”期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为(每次抽奖互不影响)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X(元)的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，已知－sinAsinC．
(1)求cosB的值；
(2)若D在AB边上，且满足AD＝BC，∠BDC＝2B，求tanA的值．
20．(本小题满分12分)
在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．
(1)求证：AO⊥平面BOC；
(2)若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：(a＞0，b＞0)的右准线与其两条渐近线的交点分别为A，B，且．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设动直线l与双曲线C相交于点M，N，若OM⊥ON，求证：存在定圆与直线l相切，并求该定圆的方程．
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝a(x＋1)2－2sinx．
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为kx－y＋2＝0，求k的值；
(2)若f(x)≥1，求实数a的取值范围；
(3)求证：时，函数f(x)不存在零点．
高三数学试题南通市海门区2021-2022学年高三上学期期末学业质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝
A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
2．若复平面内点(1，－2)对应的复数为z，则＝
A． B．2i C．－2i D．2
【答案】C
3．已知菱形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一对角线BD上，则的值为
A．－2 B．2 C．1 D．4
【答案】B
4．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【答案】D
5．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是
A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)
【答案】A
6．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是
A．16π B． C．8π D．
【答案】B
7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为
A．32 B．64 C．128 D．256
【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
【答案】C
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到1的距离为d，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于二项式的展开式，下列结论正确的是
A．各项系数之和为0 B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项 D．x的系数为－28
【答案】AC
10．对于函数，下列结论正确的是
A．f(x)是周期为π的周期函数 B．
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)在区间上单调递减
【答案】AD
11．已知椭圆C：(a＞2)的焦点为F1，F2，点在椭圆C的内部，点M在椭圆C上，则
A．a＞4 B．椭圆C的离心率的取值范围为
C．存在点M使得 D．MF12＋MF22＞32
【答案】ACD
12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据
得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则
A．竞聘者第1环节考核通过的概率为
B．若竞聘者第1环节考核通过X个项目，则X的均值E(X)＝1
C．竞聘者第2环节考核通过的概率为
D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以上
【答案】BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知圆柱的底面半径为，体积为4π，则该圆柱的侧面积为 ．
【答案】8π
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝ ．
①f(x)为偶函数；②；③x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0．
【答案】log|x|；－ln|x|等(答案不唯一)
15．数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂
纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的；通项公式an＝[()n－n]等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到＝an＋1(an＋2－an)＝an＋2an＋1－an＋1an，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为 ．
【答案】4
16．在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足·＝1，则点O到直线l的距离为 ．
【答案】
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
(1)设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得 ……2分
解之得
所以数列的通项公式为an＝4n－3． ……4分
(2)设4n－3＝3m，
则n＝＝＝，……6分
当m＝2k，k∈N*时，(－1)m＋3＝4，所以n∈N*，
当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m＋3＝2，所以nN*，
所以， ……8分
所以． ……10分
18．(本小题满分12分)
某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到如下数据：
500元及以上 少于500元 合计
男 25 25 50
女 15 35 50
合计 40 60 100
(1)判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关；
(2)为增加销量，该网店计划今年“双11”期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为(每次抽奖互不影响)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X(元)的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】
(1)根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈4.1667＞3.841，
所以我们有95%的把握认为购买金额是否少于500元与性别有关．…………4分
(2)因为购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，所以X的可能取值为500，450，400，350，因为每次中奖概率为，所以不中奖的概率为．
所以， ……5分
P(X＝450)＝()2＝， ……6分
P(X＝400)＝()2＝， ……7分
． ……8分
实际付款数X(元)的分布列为：
X 500 450 400 350
P
……10分
E(X)＝500×＋450×＋400×＋350×＝450． ……12分
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，已知－sinAsinC．
(1)求cosB的值；
(2)若D在AB边上，且满足AD＝BC，∠BDC＝2B，求tanA的值．
【解析】
(1)设△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c
由正弦定理，及，
得，即， ……2分
由余弦定理，得． ……4分
(2)设AD＝BC＝a，
在△BCD中，∠BDC＝2B，，
即＝，①，
在△ACD中，，
因为∠ACD＝2B－A，
所以，②， ……6分
由①②得，，
所以sin(2B－A)＝2cosBsinA，
所以sin2BcosA－cos2BsinA＝2cosBsinA，
所以． ……8分
由(1)知，cosB＝，又0＜B＜π，所以sinB＝，
所以sin2B＝， cos2， ……10分
则＝． ……12分
20．(本小题满分12分)
在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．
(1)求证：AO⊥平面BOC；
(2)若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
【解析】
(1)证明：底面BOC为等腰直角三角形，且BC为斜边，
所以CO⊥OB，
因为平面AOB⊥底面BOC，平面AOB∩平面BOC＝OB，CO平面BOC，
所以CO⊥平面AOB， ……2分
因为AO 平面AOB，所以CO⊥AO，
又AO⊥BC，BC，CO平面BOC，BC∩CO＝C，
所以AO⊥平面BOC． ……4分
(2)解法一：由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系，
因为底面BOC为等腰直角三角形，且斜边，
所以OC＝OB＝2，因为E是OC的中点，
所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)， ……6分
设A(0，0，t)(t＞0)，则，
设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，
则取＝(t，2t，2)，
而平面BEO的法向量为＝(0，0，1)，
因为二面角A－BE－O的余弦值为，
所以|cos<，>|＝||＝，
因为t＞0，所以t＝1， ……10分
此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，
设直线AC与平面ABE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos<，>|＝＝．
所以直线AC与平面ABE所成角的正弦值为． ……12分
解法二：由(1)知，AO⊥平面BOC，又BE平面BOC，
所以AO⊥BE，
过O点在平面BOC内作BF⊥BE，垂足为F，连接AF，
所以BE⊥平面AOF，
所以BE⊥AF， ……2分
所以∠OFA就是二面角A－BE－0的平面角，
因为底面BOC为等腰直角三角形，且斜边，
所以OC＝OB＝2，
因为E是OC的中点，所以OE＝1，
所以BE＝，OF＝，
因为cos∠OFA＝，所以，OA＝1， ……4分
以下同解法一
解法三：接解法二，
过D点O在平面OFA内作OH⊥AF，垂足为H，，
因为E是OC的中点，则O点与C点到平面ABE的距离相等，
所以C点到平面ABE的距离为， ……8分
设直线AC与平面ABE所成的角为θ，
则，
所以直线AC与平面ABE所成角的正弦值为． ……12分
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：(a＞0，b＞0)的右准线与其两条渐近线的交点分别为A，B，且．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设动直线l与双曲线C相交于点M，N，若OM⊥ON，求证：存在定圆与直线l相切，并求该定圆的方程．
【解析】
(1)由条件得 ……2分
解之得a＝1，b＝2，c＝，
所以双曲线C的方程x2－＝1． ……4分
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝，
由得，
所以
且， ……6分
因为OM⊥ON，所以，
即，
所以(，
即， ……8分
化简得1＋k2＝m2，即＝，
此时存在定圆与直线l相切，该定圆的方程为； ……10分
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝t，
此时，
因为OM⊥ON，所以，
即，所以t＝±，
也满足直线1与圆相切．
综上，存在定圆与直线l相切，该定圆的方程为． ……12分
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝a(x＋1)2－2sinx．
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为kx－y＋2＝0，求k的值；
(2)若f(x)≥1，求实数a的取值范围；
(3)求证：时，函数f(x)不存在零点．
【解析】
(1)因为f′(x)＝2a(x＋1)－2cosx，
所以f′(0)＝2a－2，
由题意得，
解得k＝2． ……2分
(2)因为f(x)≥1成立，
所以f(0)＝a≥1， ……3分
当a≥1时，，
设g(x)＝(x＋1)2－2sinx，则g′(x)＝2(x＋1)－2cosx，
g″(x)＝2＋2sinx≥0，
所以函数g′(x)在R上单调递增，而g′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，函数g′(x)＜0，在x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝1，即(x＋1)2－2sinx≥1成立，
所以f(x)≥1，实数a的取值范围为[1，＋∞)． ……6分
(3)因为，所以，
且两个等号不同时成立，
即； ……7分
令h(x)＝2x－2sinx，则h′(x)＝2－2cosx≥0，
所以函数h(x)在R上单调递增，而h(0)＝0，
当x≥0时，h(x)＝2x－2sinx≥h(0)＝0，即2x≥2sinx，
所以当x≥0时，，即f(x)＞0，
所以此时函数f(x)不存在零点； ……9分
当x≤－π时，，而－2≤2sinx≤2，此时，
即f(x)＞0，所以此时函数f(x)不存在零点； ……11分
当－π＜x＜0时，－2≤2sinx＜0，而，所以，
即f(x)＞0，所以此时函数f(x)不存在零点．
综上可得，时，函数f(x)不存在零点． ……12分
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