(共18张PPT)
7.3组合(1)
学习目标
1理解组合的意义,掌握组合数的计算公式;
2.并且能在理解题意的基础上,识别出组合问题,培养数学
抽象素养
3能正确认识组合与排列的联系与区别
情景创设
情景1:从甲、乙、丙3名同学中选出2情景2:从甲、乙、丙3名同学中选出2
名参加某天的一项活动,其中1名同学名参加某天的一项活动,有多少种不
参加上午的活动,1名同学参加下午的同的安排方法
活动,有多少种不同的安排方法
排列
分上午、下午的安排法
不分上、下午的安排法
甲乙,乙甲;
甲乙,
甲丙,丙甲;
甲丙,
乙丙,丙乙
乙丙
区别:与顺序有关
与顺序无关
概念形成
情景3.从1,2,3,4四个数字中任取3个数情景4.从1,2,3,4四个数字中任取3个
字组成点的空间坐标
数字组成集合
思考:上述两件事中,哪一件抽出的元素与顺序有关 哪一件与顺序无关
排列
(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)
{1,2,3}
(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)
(1,2,4)(1,4,2)(2,1,4)
{1,2,4}
(2,4,1)(4,1,2)(4,2,1)
(1,3,4)(1,4,3)(3,
{1,3,4}
(3,4,1)(4,3,1)(4,1,3)
(2,3,4)(2,4,3)(3,4,2)
{2,3,4}
(3,2,4)(4,2,3)(4,3,2)
与顺序有关
与顺序无关
概念形成
般地,从n个不同元素中取出m(mm)
个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合
个排列可以求它的排列数,同样,一个组合问题
也需要求它的组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数,用符号Cm表示
活动探究
情景1:从甲、乙、丙3名同学中选出2情景2:从甲、乙、丙3名同学中选出2
名参加某天的一项活动,其中1名同学名参加某天的一项活动,有多少种不
参加上午的活动,1名同学参加下午的同的安排方法
活动,有多少种不同的安排方法
排列
组合
甲乙,乙甲;
甲乙,
甲丙,丙甲;
甲丙,
乙丙,丙乙
乙丙
取出元素,并排列
取出元素,不排列
第1步,第2步.
第1步,无第2步
C
2
2
2
A
A
2
A=C
2
A2.
C
概念形成
情景3.从1,2,3,4四个数字中任取3个数情景4.从1,2,3,4四个数字中任取3个
字组成点的空间坐标
数字组成集合
排列
A
C
4
组合
1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)
A
{1,2,3}
(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)23
(1,2,4)(1,4,2)(2,1,4)3
{1,2,4}
(2,4,1)(4,1,2)(4,2,1)3
(1,3,4)(1,4,3)(3,1,4)
{1,3,4}
A
(3,4,1)(4,3,1)(4,1,3)3
(2,3,4)(2,4,3)(3,4,2)3
{2,3,4}
(3,2,4)(4,2,3)(4,3,2)13
3
C
4
4
43
3
A(共12张PPT)
7.3组合(2)
学习目标
1.掌握组合数的两个性质
2能运用组合数的性质进行化简;
3进一步理解排列与组合的区别和联系
4能够解决一些简单的应用问题
情景创设
情景一:5个元素a,b,c,d,e,
情景二:一个口袋内装有大小不同的7个
(1)从这5个元素中任取2个元素,共有白球和1个黑球,从口袋内取出3个球,
多少种取法;
(1)共有多少种取法
(2)从这5个元素中任取3个元素,共有(2)使其中含有1个黑球,有多少种取法
多少种取法;
(1)C2=10问:C3与C
(3)使其中不含黑“敌油
8
问:C
C2、C
有何关系
(2)C2=21有何关系
(2)C3=10
2
Cs=C
5
5
(3)C3=35C8=C7+C7
由上可猜测:C
C
1-n
由上可猜测」Cm1=Cm+Cm
数学论证
证明猜想Cm=Cn-m
n
证明猜想Cm
n+≈Cm+Cm1
n
C
C
(n+1)
n
ml(n-m)
h+1
:(n+1-m)!
C
n-
Cm+c
(n-m){n-(n-m)!
nl!
m:(n-m)!(m-1)!(n-m+1)
(n-m).m!
(n-m+1)
Cm=C
:(n-m+1)!m.(n-m+1)!
(n-m+1+m)
(n+1)
m(-m+1)!m(n-m+1)!
C,=cm+C
+1
数学建构
排列数的两个性质
性质1:Cm=Cnm
性质2:Cm1=Cm+Cm1
n
7+1
说明:①规定:Cn=1;
说明:①公式特征:
②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;
下标相同而上标差1的两个组合数之
③此性质作用:当m>时,计算Cm可变为计算Cnm,和,等于下标比原下标多1而上标与大的相
同的一个组合数;
能够使运算简化,
②此性质的作用:
02-2001
例如:C202=C202
C200=2002
恒等变形,简化运算.
④Cn=C→x=y或x+y=n
数学应用
例1.(1)计算:C7+C4+C3+C0;(2)求证:Cmn2=Cn+2Cn+Cn2
解:(1)原式=C+C3+C9=C0+C=C1=Ctb=210;
证明:(2)右边
-(Cm+Cm)+(Cm+Cm-)=Cm,+Cm-=Cn
m+2
=左边
概念形成
例2.解方程:(1)c=C2x=3:(2)CM2+C31
13
A
10
x+3
解:(1)由原方程得x+1=2x-3
(2)原方程可化为Cx3m33,
2
或x+1+2x-3=13,
(x+3)!(x+3)
+3
x=4或x=5
10
+3
5(x-2)!10
1又由{1≤2x-3513得2≤x≤8且x∈N,¨120(x-2)!10.x(x-1)(x-2)!
x∈N
x2-x-12=0,解得x=4或x=-3
.原方程的解为x=4或x=5
经检验:x=4是原方程的解(共15张PPT)
7.3组合(3)
学习目标
1.在实际应用问题中,如何判断是排列问题还是组合问题
2能够解决一些组合应用问题,提高合理选用知识的能力
3利用多题一解培养学生的抽象素养,利用一题多解培养学
生的创新思维能力
情景创设
(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条
解:(1)10个元素中取2个元素的组合数,即
10×9
=45
10
2×1
答:有45条线段
(2)从10个元素中取出两个元素的排列数,即
10×9=90
答:共有90条有向线段
总结:(1)与顺序无关,是一个组合问题,
(2)与顺序有关,是排列问题
数学应用
排列——顺序性
组合一一无序性
数学应用
例1.100件产品中,有98件合格品,2件次品。从这100件产品中任意抽出3件
(1)一共有多少种不同的抽法;
(2)抽出的3件都不是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(4)抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种
解:(1)C1o=161700;(2)C9=152096;(3)C2C=2×4753=9506;
(4)解法一:(直接法)C2C+C2Cs=9506+98=9604;
解法二:(间接法)100
98=161700-152096=9604
数学应用
计数问题的应用
(1)两个基本原理是基础
(2)从特殊元素入手,根据限制条件进行分类或分步
分类或分步中可能又包含分类或分步
(3)在各类或各步中应用排列或组合计数
关键是不重不漏的设计好分类或分步
数学应用
例2.从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个
球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法
解:分为三类:1奇4偶有C6C5;
3奇2偶有C。C3;
5奇1偶有C6
共有C6C5+C6C53+C6=236
数学应用
例3.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语
翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担
项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不
同的选法
解:我们可以分为三类:
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有C4C3;
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有C4C3;
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有C4C3,
一共有C4C3+C4C3+C4C3=42种方法
