2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册第二章）word版含答案

2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册第二章）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．若正数、满足，设，则的最大值是
A．12 B．-12 C．16 D．-16
2．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.
A．9 B． C． D．
3．在中，、分别是边、的中点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数t的取值范围为
A． B．
C． D．
5．若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为
A． B． C． D．
6．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
8．（多选题）已知，函数的图象与x轴的交点个数为m，函数与x轴的交点个数为M，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知直角三角形的三内角，，的对边分别为，，，，且不等式恒成立，则实数的最大值是___________.
10．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为__________
11．已知，，，则的最小值为________．
12．若正实数满足，则的最小值为___________.
四、解答题
13．解关于的不等式：.
14．已知函数，记，．
（1）若，，求集合、；
（2）若集合，，且恒成立，求的取值范围．
15．已知关于x的不等式，其中.
（1）当时，求不等式的解集A；
（2）当时，求不等式的解集A；
（3）对于时，不等式的解集A，若满足（其中为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
16．已知关于x的函数
（1）当时，求的解集；
（2）若不等式对满足的所有a恒成立，求x的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.
【详解】
解：
、
解得
当且仅当时取得最大值
故选：
【点睛】
本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.
2．C
【分析】
先根据题意得，，进而得，，，，，进而得，，故，再根据为线段上的点得，最后结合基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
因为的面积为，所以，
所以，
所以，，，
由于，
所以，
所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），
所以，根据题意得
所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，正余弦定理解三角形，平面向量的数量积运算与共线定理得推理，考查综合分析与处理问题能力，是难题.
3．A
【分析】
建立坐标系，设出、两点坐标，表示出、、三点坐标，将的最小值转化为向量的数量积运算处理，利用基本不等式即可求解．
【详解】
依题意，如图，设、，
因为为中点，为的中点，，，，
，，则，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了利用基本不等式求最值，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，推理转化能力，属于难题．
4．A
【分析】
化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【详解】
在中，由正弦定理及，
得，由余弦定理，
得，
又因为，所以，
记，则.
因为，所以，从而，
所以
可化为，
即，恒成立，
所以依题有，
化简得，即得恒成立，
又由，得或.
故选:A.
【点睛】
本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题.
5．B
【分析】
直线经过第一象限内的点，，可得，，．．令，，再利用基本不等式计算可得．
【详解】
解：直线经过第一象限内的点，，
则，，．
．
令，
．
因为，当且仅当即时取最小值；
即
故选：．
【点睛】
本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．A
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
7．ABCD
【分析】
对于A由两边平方得，可判断；对于B，可判断；对于C，右边用重要不等式可判断;对于D左边用重要不等式，右边用不等式性质可判断.
【详解】
由，则.
对A，由两边平方得 ，所以A正确.
对B， ，所以B正确.
对C，由B有，又，所以C正确.
对D，因为，又，所以D正确.
故选: ABCD
【点睛】
本题考查用重要不等式证明不等式，应用不等式性质判断不等式是否成立，属于中档题.
8．ABC
【分析】
根据二次函数的对称性，讨论、、结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应的零点可能情况即可求的值.
【详解】
由知：且，
∴令，的定义域为，对称轴为，，
1、当时，，中；
2、当时，，
1）当时有一个零点，若时；若时；
2）当时无零点，；
3、当时，，
1）当时有两个零点，则；
2）当时有一个零点，则；
3）当时无零点，；
综上知：的可能值有0, 1, 2；
故选：ABC
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题.
9．
【分析】
由于，，是直角三角形的三边，其中为斜边，可设，则，从而将转化为用三角函数指数进行解决．
【详解】
解：设，则
则
设，则，
代入得
而，在上单调递减，
所以
当时取得最小值，
因为
所以
所以最大值为
故答案为：
【点睛】
本题以直角三角形为载体，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理，属于中档题．
10．
【分析】
函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果.
【详解】
的对称轴为
（1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去；
（2）当，即， ，符合题意，故；
综上可知，的取值范围为
故答案为：
【点睛】
方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
11．-1
【分析】
由已知可得（关键转化），进而利用基本不等式求解.
【详解】
,
当且仅当时取“=”，
最小值为7，最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题.
12．
【分析】
由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】
由且知：，
∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
13．答案不唯一，见解析
【分析】
由于参数的不确定性，可分为和，当时，又可具体分为，，，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解
【详解】
解: 当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】
本题考查含参不等式的解法，分类讨论法的具体应用，二次函数的图像与判别式的关系，逻辑转化能力，属于难题
14．（1），；（2）.
【分析】
（1）当，时，直接解方程可得集合，解方程可得集合；
（2）由题意得，由此化简得出，由此可得出、是方程的两根，利用韦达定理可得，可求得，经过化简计算得出的取值范围.
【详解】
（1）当，时，，则，
.
，
；
（2）由题意得，
，
则方程的两根为、，
即方程的两根为、，
由韦达定理得，，
，
令，，
函数在上单调递增，且，则，，
，则，
，
，，，因此，.
【点睛】
本题考查方程的求解，同时也考查了代数式取值范围的计算，涉及不等式基本性质的应用，灵活利用因式分解是解答的关键，考查计算能力，属于难题.
15．（1）（2）答案见解析（3）能，
【分析】
（1）直接解一元二次不等式即得；
（2）根据k的正负，两根的大小分类讨论求解不等式即可；
（3）对分类讨论，若，则中会有无穷个数，当时，不等式的解集是一区间，从而有有限个数．
【详解】
（1）当时，不等式为，
即，
∴，
即解集为；
（2）当时，由原不等式可得，
，
，
当k >0且k≠2时，
由得或，
当k<0时，，由可得，
.
（3）由(1)(2)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限;
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为，当且仅当时取等号，
所以当k=―2时，集合B的元素个数最少.
此时，
故集合.
【点睛】
关键点点睛：本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式通常要掌握“三个二次”之间的关系．要注意分类讨论二次项系数的正负，要利用判别式讨论相应的二次方程是否有实数解，在有实数解的情况下还要讨论两根的大小，这样才能得出正确的结论．
16．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）解一元二次不等式求解集即可.
（2）将题设不等式转化为在上恒成立，讨论的符号并结合二次函数的性质，求x的取值范围．
（1）
由题设，，可得或，
∴的解集为.
（2）
由题设，令，
当时，有两种情况：
1、，此时在上不可能恒成立；
2、，此时在上不可能恒成立；
∴，则：且对称轴为，
当，即或时，开口向上，
∴要使在上恒成立，有以下情况：
1、，即，无解；
2、，即，无解.
当，即时，开口向下，
∴要使在上恒成立，则，解得或，
∴此时，无解.
综上，.
【点睛】
关键点点睛：第二问，应用调换主元法，构造，利用二次函数性质及分类讨论的方法研究一元二次不等式在闭区间上恒成立.
答案第1页，共2页
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