2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第二册第七章）

2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第二册第七章）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
2．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线：有且只有一个公共点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
3．设为多项式的所有复数根，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数满足，且有，求（ ）
A． B． C． D．都不对
5．已知复数z满足z4且z|z|0，则z2019的值为
A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019
6．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8． ______.
9．已知为复数，且，则的最大值为____________.
10．对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．
11．若非零复数满足，则的值是___________.
四、解答题
12．对任意的复数，定义运算．则直线：上是否存在整点（、均为整数的点），使得复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
13．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；
（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
14．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
15．求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】
，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
2．A
【分析】
由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求得实数的取值范围．
【详解】
由题意，复数在复平面内对应的点位于实轴上，
所以，即，所以，则，所以函数单调递增，且当时，，
作出函数的图象，如图所示：
又由直线过点，
设切点为，则在切点处的切线方程为，
把代入，可得，即，即，
即切线的坐标为，代入，可得，即，
又由图象可知，当，即时，
曲线与直线有且只有一个公共点，
综上所述，当时，曲线与直线有且只有一个公共点，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
3．C
【分析】
利用换元法结合高次的韦达定理可求的值.
【详解】
,
设，则可化为，
整理得到，
若，则，矛盾，
故， 故，
故为方程的复数根，
故为的全部的复数根，
所以，
同理，
故.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：复系数的高次方程的根的关系，依然可以利用韦达定理来处理，注意根据所求代数式的特征合理换元与构造对应的方程.
4．A
【分析】
根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果.
【详解】
因为，设（为虚数单位）；
由棣莫佛公式，可得，
所以
所以，即
因为，
所以；
化简可得，即
所以，所以；
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键.
5．D
【分析】
首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得：
z，通过计算可得：，代入即可得解.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R），
由z4且z|z|=0，得
，解得a=﹣1，b.
∴z，
而1，
.
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
6．A
【分析】
先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.
【详解】
因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.
7．AD
【分析】
将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.
【详解】
解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；
B选项：方程可变形为：，
即，则，只有一解，故B错误；
C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；
D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确
故选：AD
8．
【分析】
利用，即得解.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了复数的幂指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
9．
【分析】
由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解.
【详解】
由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：
10．10
【分析】
利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得的取值范围，从而得到实数的最小可能值.
【详解】
设，，，
由题设有.
又
，
，
而，
所以，
而，当且仅当终边相同时等号成立，
故，所以，
故实数的最小可能值为10，
故答案为：10.
11．
【分析】
由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值.
【详解】
由题设有：，解得，且，
∴，即，同理有，，
，，又，
∴，，
∴，
故答案为：.
12．存在满足条件的整点、．
【分析】
写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．
【详解】
解：对应点坐标为，
由题意，得
，，
①当，时，得不成立；
②当，时，得，成立，
此时或，
故存在满足条件的整点、．
13．（1） （2）
【分析】
（1）把代入方程即可求解；
（2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解.
【详解】
（1）由题得，
解得
（2）设，为实数，.为实数，，.，
由已知得解得，即的取值范围是.
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解.
14．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据新定义求得向量，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出的坐标（用表示），然后由三角形面积计算可得．
【详解】
（1）由题意，，所以，同理，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，所以与的三边成比例，比值为，
所以；
（3）由（1）知，，，
，所以，，，
所以．
【点睛】
本题考查向量与复数的新定义，解题关键是由新定义得出原来点的坐标和新点坐标的关系，从而得出向量的关系，变换后的三角形与原三角形相似，而利用变换后点的坐标结合三角形面积易得原坐标．
15．(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)证明见解析，(4)证明见解析，
【分析】
（1）设，分别计算即可得到两式相等；
（2）设，分别计算即可得证；
（3）设，，分别计算即可得证；
（4）设，，分别计算即可得证.
【详解】
证明：对于（1）（2），设，则.
（1），
.
（2）.
对于（3）（4），设，，则，.
（3），
，∴.
（4）∵，
∴，
又，
∴.
【点睛】
此题考查复数的运算，涉及共轭复数概念，复数模长计算，乘法、除法、乘方运算.
答案第1页，共2页
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