人教A版2019选择性必修第一册第一章数学尖子生同步培优题典（3）（困难）word版含答案

人教A版2019选择性必修第一册第一章数学尖子生同步培优题典（3）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ） （参考数据：
A．， B．，
C．， D．，
2．已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．如图，四边形是边长为的正方形，点、分别为线段、上的动点，，将翻折成，且平面平面，下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使
B．当点为中点时，三棱锥的外接球半径为
C．三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为
D．存在点，使平面与平面的夹角的大小为
5．已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（ ）
A．不论何时，与都不可能垂直
B．存在某个位置，使得平面
C．直线与平面所成角存在最大值
D．四面体的外接球的表面积的最小值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
6．如图，在长方体中，，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．
①当时，平面；
②当时，平面；
③的最大值为；
④的最小值为.
7．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．
（1） 平面平面 （2）四面体的体积是
（3）二面角的正切值是 （4）与平面所成角的正弦值是
8．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，平面是轴截面，点，分别是圆弧，的中点，在劣弧上（异于，），，，在平面的同侧，记二面角，的大小分别为，，则的取值范围为______.
9．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：
①已知，，则；
②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；
③已知，，则；
④已知，，，则三棱锥的表面积.
其中真命题为________（写出所有真命题的序号）．
四、解答题
10．如图，已知四边形由和拼接而成，其中，，，，将沿着折起.
（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当四面体的表面积的最大时，求二面角的余弦值.
11．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB中，E为 PB中点．
(Ⅰ)求证：PO⊥AB;
(II）求直线BP与平面POA所成角的正弦值；
(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大小．
12．如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
13．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．
（1）求异面直线AE与BD所成角的大小；
（2）在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且，，试用x，y来表示线段MN的长度；
（3）在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，，，利用求出的关系，然后根据的范围求角的范围.
【详解】
解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，
设，，，
则，，，，，，，0，，
，
，
，，
记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，
，
点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的圆，
，，
又为锐角或直角，，
，则
直线与直线所成角的取值范围为，，
故选：B．
2．A
【分析】
作出过且与平面和平面所成角相等的截面，则P位于截面与平面的交线上，进而求得答案.
【详解】
如图1，为棱上靠近的三等分点，由正方体的对称性可知平面与平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分点E，取棱DC上的三等分点N,M，容易证明：，则共面，即平面与平面和平面所成角相等，于是点P在线段FN上.
如图2，过点作垂直于FN于，容易知道当P位于时，最小.
如图3，由勾股定理可以求得，由等面积法，
.
故选：A.
【点睛】
对于动点问题，通常做法是先找到动点的轨迹，以本题为例就是先作出与平面和平面所成角相等的截面，从而找到截面与的交线，做题时要充分利用图形的特征，平常注意总结截面的做法.
3．B
【分析】
设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值.
【详解】
设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则由
可得,
,是的两个三等分点
则
所以
设平面的法向量为
则,代入可得
化简可得
令,解得
所以
平面的法向量为
由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足
设二面角的法向量为
则代入可得
化简可得
令,解得
所以
平面的法向量为
由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足
由二面角的范围可知
结合余弦函数的图像与性质可知
即
化简可得,且
所以
所以的最大值是
故选:B
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.
4．BCD
【分析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；计算出三棱锥的外接球半径，可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；利用空间向量法结合零点存在定理可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
过点在平面内作，连接，
由已知可得，，，，
故，则，即，且，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
设，，则，，
因为，则，
，易得，
则点、、，
，
，
若存在点，使得，
，
化简可得，即，则，
这与矛盾，故不存在点，使得，①错；
对于B选项，当点为的中点时，则点为的中点，且，，
，
取的中点，连接、，则，，
且，，
因为，平面平面，平面平面，平面，
平面，同理可证平面，
所以，三棱锥的外接球球心在直线上，设球的半径为，
由勾股定理得，即，解得，B对；
对于C选项，，
由A选项可知，平面，
，
因为，则，令，
则，函数在上单调递增，则，
所以，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，
，，
则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
因为，
令，
可得，
即，
所以
，
令，令，
易知函数在上连续，因为，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
因此，存在点，使平面与平面的夹角的大小为，D对.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
5．AD
【分析】
利用反证法可判断AB选项的正误；分别取、的中点、，连接、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C选项的正误；设四面体的外接球心为，求出四面体外接球半径的最小值，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，在梯形中，，，，
，且，则，
因为，由余弦定理可得，
，，
若，且，平面，
平面，，事实上，矛盾，
故不论何时，与都不可能垂直，A选项正确；
对于B选项，若平面，平面，则，
所以，，而，，即，
则、、无法构成三角形，不合乎题意，B选项错误；
对于C选项，分别取、的中点、，连接、，则，
，，则，
，为的中点，则，
，故平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，，
设三棱锥的球心为，
由可得，解得，
设三棱锥的外接球半径为，则，当且仅当时，等号成立，
因此，四面体的外接球的表面积的最小值为，D选项正确.
对于C选项，设，
，
易知平面的一个法向量为，
，
而，
即当时，无最大值，进而可知直线与平面所成角无最大值，C选项错误.
故选：AD.
【点睛】
方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
6．①②
【详解】
以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得，，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时，，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.
点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查利用向量法证明线面平面，线面垂直的方法，考查利用向量法求角度的最大值和线段长的最小值的方法.由于题目所给几何体是长方体，要验证线面关系，用向量法最快，建立空间直角坐标系后，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明线面平行，利用直线的方向向量和平面内两个相交的向量垂直证明线面垂直.
7．（3）（4）
【分析】
画出图像，由图像判断（1）是否正确；计算的体积来判断（2）是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断（3），（4）是否正确.
【详解】
画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误.由于，故是二面角的平面角且平面，故.过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高.在原图中，，,,,，所以，故（2）错误.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故（3）判断正确.平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确.综上所述，正确的有（3），（4）.
【点睛】
本小题主要考查折叠问题，考查空间面面垂直的判断，考查锥体体积计算，考查二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.
8．
【分析】
以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，且，设平面的法向量，求出，设平面的法向量，求出，设平面的法向量为，利用向量夹角公式可得，可得，由，可得，代入中整理可得答案
【详解】
解：以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
所以，
设，且，
设平面的法向量，
由，得，得
设平面的法向量，
由，得，得
设平面的法向量为，则
，
所以，
，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
此题考二面角的余弦值的求法，向量夹角公式，数量积运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
9．②③
【分析】
①利用定义表示与，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证；
②作出图形，设，，结合图形得出当的面积取最小值时与的夹角最小，从而判断结论的正误；
③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证；
④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥是棱长为的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积.
【详解】
①由定义可得
，
∵，，，故①错误；
②如图，设，，则点在平面上，点在轴上，
由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标的定义可得
，故③正确；
④由已知可知三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，即④错误．
故答案为②③.
【点睛】
本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题.
10．（1）；（2）
【分析】
（1）设异面直线与所成角为，利用，结合向量线性运算和数量积运算，求得异面直线所成角的余弦值.
（2）建立空间直角坐标系，用二面角的三角函数值，表示出点的坐标. 由于三角形和三角形的面积为定值，故要使四面体的表面积取得最大值，则需取得最大值.求得表达式，利用最值的求法，求得取得最大值，以及此时二面角的余弦值.
【详解】
依题意可知.
（1）由于，，，，所以,.设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.
（2）由于三角形和三角形的面积为定值，故要使四面体的表面积取得最大值，则需取得最大值.
设是的中点，过作平面，以分别为轴建立空间直角坐标系.在沿着折起的过程中，，，所以是二面角的平面角，设，则，，所以，，，，结合向量法表示三角形面积以及柯西不等式有：
.当且仅当，即时，取得最大值.所以当四面体的表面积的最大时，二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量法计算异面直线所成的角，考查利用空间向量法计算二面角，考查几何体表面积最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
11．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）. （Ⅲ）.
【分析】
第一问利用几何体的特征可以得出相应的线线垂直，之后利用线面垂直的判定定理和性质得出所要的结果；第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面角的正弦值；第三问利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后确定出二面角的大小.
【详解】
（Ⅰ）在正方形中，为中点，,，
所以在三棱锥中，，.
因为，所以平面.
因为平面,所以.
（Ⅱ）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM.
过点O作AB的平行线OG.
因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.
因为OA＝OB，F为AB的中点，
所以OF⊥AB. 所以OF⊥OG.
如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz.
A，B，P，M(，，0)．
因为BO＝BA，M为OA的中点，所以BM⊥OA.
因为PO⊥平面OAB，PO 平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.
因为平面POA∩平面OAB＝OA，BM 平面OAB，
所以BM⊥平面POA.
因为＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝.
＝(1，－，1)．
设直线BP与平面POA所成角为α，
则.
所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为.
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，.
设平面的法向量为，则有
即
令，则，. 即.
所以.
由题知二面角P－AO－E为锐角，所以它的大小为.
12．（1）见解析；（2）；（3）
【详解】
试题分析：第一问根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出以 ，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果；第二问根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；第三问关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.
（Ⅰ）因为在△中，，分别为，的中点，
所以 ，．
所以，又为的中点，
所以 ．
因为平面平面，且平面，
所以 平面，
所以 ．
（Ⅱ）取的中点，连接，所以．
由（Ⅰ）得，．
如图建立空间直角坐标系．
由题意得，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以．
设直线和平面所成的角为，
则．
所以 直线和平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）线段上存在点适合题意．
设，其中．
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以．
令，
整理得．
解得，舍去．
所以线段上存在点适合题意，且．
方法点睛：该题属于典型的立体几何问题，第一问证明线线垂直，需要将空间关系都理清，把握住线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，即可得出结果；第二问求的是线面角的正弦值，正好是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；第三问属于是否存在类问题，在解题的过程中，需要我们先假设其存在，按照题的条件进行求解，如果推出矛盾，就是不存在.
13．
（1）
（2），
（3），MN是异面直线AE与BD的公垂线段
【分析】
（1）利用，可知为所求角，进而得解；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量的模长公式，即可表示线段MN的长度；
（3）求出的最小值，利用向量验证MN是否与AE，BD垂直.
（1）
补全正方体，连接，，由正方体的性质知，
则异面直线AE与BD所成角，即为直线与BD所成角
又为等边三角形，故
所以异面直线AE与BD所成角的大小为.
（2）
如图，以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，知，，其中
，
则，
（3）
当，要求的最小值
即求的最小值
由
，
当且仅当时，等号成立，
，，
又，，，
则，，
，，
所以MN是异面直线AE与BD的公垂线段.
答案第1页，共2页
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