人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（1）word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（1）word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-31 12:35:31 | ||
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文档简介
人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（1）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知抛物线上一点，过作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于不同的两点，，已知直线的斜率为－2，则点的横坐标为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知 ，，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C．16 D．4
二、多选题
7．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点， 是圆：的两条切线， 是切点，则四边形的面积的最小值为
8．设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．一定垂直 B．的最大值为
C．点P的轨迹方程为 D．的最小值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在平面直角坐标互中，给定两点，点在轴的正半轴上移动，当最大值时，点的横坐标为_______
10．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点，若点，之间的最短距离为，则满足条件的正实数的值为______.
11．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
12．在等腰直角△BCD中，BD=CD=1，点A在△BCD所在的平面内，若，则正整数的最大值为___________.
四、解答题
13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB，AD边分别为x轴正半轴，y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上包括端点.
（1）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线方程；
（2）当时，求折痕长的最大值；
（3）当时，折痕为线段PQ，设，试求t的最大值
14．在平面直角坐标系中有两个不同的点，现平面内有一点满足且.
（1）若，求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹方程为证明为一定值；
（3）在（2）的条件下，设直线：与在第一象限的交点为，点A的坐标为，点B的坐标为，与直线AB交于点. 若，那么这样的直线是否存在？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
15．已知点和，圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．
16．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
设出三点的坐标，由斜率坐标公式，利用点在抛物线上，结合题中条件，得到，同理得到，，利用倾斜角互补，得到两斜率互为相反数，化简得到，进而求得，得到结果.
【详解】
设，，，
则，故，
同理，，
，
所以，，
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有斜率坐标公式，点在曲线上的条件，直线倾斜角互补的等价结果，属于中档题目.
2．A
【分析】
由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.
【详解】
由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，
∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.
故选：A
3．C
【分析】
设圆的切线为、，由得，即，
再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．
【详解】
由题意，圆心到直线的距离为
（半径）
故直线和圆相交；
当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，
才是最大的角，
不妨设切线为，，则由，
得，
；
当时，，
设，
，
解得：，
设，
如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，
线段长度的最大值为
故选：C
4．A
【分析】
设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【详解】
设动点，由，得，整理得，
又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，，得．
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
5．C
【分析】
设，且，用表示出向量的结果，然后利用三角函数的性质可求得范围.
【详解】
如图所示：
连接OM，由题意圆的半径为，则正方形的边长为2，可得，，设，且，所以由，由，可得，所以，则.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量和平面几何知识以及三角函数知识的综合应用，属于中档题.
6．A
【分析】
由函数，结合存在非零实数，，则有存在实数，使成立，再根据的几何意义，记，．则，表示关于动点的直线，然后将原点与点的距离转化为原点到直线的距离求解.
【详解】
因为函数，
所以
因为存在非零实数，，
所以存在实数，使成立，
又的几何意义为坐标原点与点的距离的平方，
记，，则．
故，
即为，表示动点的轨迹，
设为直线，则原点与点的距离的最小值为原点到直线的距离，
故，
因为，在上是增函数，
所以，
所以，当时，取等号.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数的性质以及轨迹问题和点点距，点线距的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和转化求解问题的能力，属于难题.
7．CD
【分析】
对于A，由圆的一般方程可判断；求出到直线的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线的距离，即可求出，从而四边形的面积的最小值可求.
【详解】
解：当时，方程为，
不表示圆，故A错误；
已知圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.
，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，
四边形的面积最小值，
故D正确.
故选：CD.
【点睛】
考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，难题.
8．AD
【分析】
对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把转化为 ，求的最小值即可.
【详解】
对于A：m=0时，直线：与： 垂直；
时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误；
对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误；
对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 .
∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确.
故选：AD
【点睛】
解析几何问题解题的基本思路：
（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
9．
【分析】
根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.
【详解】
过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上，
其中为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大，
设圆心坐标为，
又由点在轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值，
设切点为，圆的半径为，所以圆的方程为，
代入点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以点的横坐标的为.
故答案为：.
10．3
【分析】
设点，，利用两点间的距离公式可得，令，由，可得，令，讨论的范围：当时，当时，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出的值．
【详解】
解：设点，，
则
，
令，由，可得，
令，
①当时，时取得最小值，
解得，均舍去；
②当时，在区间，上单调递减，在单调递增，
可得，取得最小值，可得，解得（负的舍去）．
综上可知：．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．
11．
【分析】
设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解】
因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
,，
①，
又是的中点，,
,，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点,又因为，
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.
12．4
【分析】
由，可求点满足的两个方程，由两曲线有交点可求.
【详解】
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，设，
由知，
，
由得，
即，所以点A在圆心为，半径为2的圆上，
由得，，当时显然不合题意，
当时，，所以A又在圆心为，半径为的圆上，
所以两圆有公共点，
∴，
∴
可得又为正整数，
∴正整数的最大值为4.
故答案为：4.
13．（1）；（2） ；（3）．
【分析】
（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程
（2）当，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值
（3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值
【详解】
（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程；
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有，
故G点坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为，
折痕所在的直线方程，即，
由①②得折痕所在的直线方程为：；
（2）当时，折痕的长为2，
当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍）
当时，折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于，
折痕长度的最大值为 ，
而，
故折痕长度的最大值为 ；
当时，折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于，
，
，
，
当且仅当时取“”号，
当时，t取最大值，t的最大值是．
【点睛】
本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．
14．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.
【分析】
（1）设P（x，y），将，代入且，可得 P的轨迹方程；
（2）由，代入且，化简P的轨迹方程，消去可得，可得证明；
（3）可求出直线AB方程为，故.由正弦定理可得，化简可得的值，可得答案.
【详解】
解：（1）设P（x，y），由，可得，
，即可
化简P的轨迹方程为.
（2）同理设，由，且.
可得
化简P的轨迹方程为.
由题意得.
（3）由点A的坐标为，点B的坐标为，
可得直线AB方程为，由故.
由正弦定理可得
所以.
即且解得.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，考查学生的数学分析能力、综合计算能力，属于中档题.
15．
（1）
（2）M为（1,0），最小值为5
【分析】
(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求；
(2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值．
（1）
设圆的圆心为，
由题意可得，，解得．
圆的方程为；
（2）
设点，，，，则．
，
为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，
，解得或(舍去)，，
此时为定值，
∴，
当且仅当、、三点共线时，的最小值为．
16．
（1）
（2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行
【分析】
（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解
（2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．
（1）
则由题设得：，直线的方程为，，
由，及解得，所以．
所以直线的方程为，即，
由得，，即，
所以，
即基地的长为．
（2）
设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时时，飞行在线段上的点处，
则，，所以．
爆炸波不会波及卡车的通行，即对恒成立．
所以，
即．
当时，上式恒成立，
当即时，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，在时，恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．
答：当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知抛物线上一点，过作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于不同的两点，，已知直线的斜率为－2，则点的横坐标为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知 ，，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正方形ABCD内接于圆，M,N分别为边AB,BC的中点，已知点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C．16 D．4
二、多选题
7．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点， 是圆：的两条切线， 是切点，则四边形的面积的最小值为
8．设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．一定垂直 B．的最大值为
C．点P的轨迹方程为 D．的最小值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在平面直角坐标互中，给定两点，点在轴的正半轴上移动，当最大值时，点的横坐标为_______
10．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点，若点，之间的最短距离为，则满足条件的正实数的值为______.
11．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
12．在等腰直角△BCD中，BD=CD=1，点A在△BCD所在的平面内，若，则正整数的最大值为___________.
四、解答题
13．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB，AD边分别为x轴正半轴，y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上包括端点.
（1）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线方程；
（2）当时，求折痕长的最大值；
（3）当时，折痕为线段PQ，设，试求t的最大值
14．在平面直角坐标系中有两个不同的点，现平面内有一点满足且.
（1）若，求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹方程为证明为一定值；
（3）在（2）的条件下，设直线：与在第一象限的交点为，点A的坐标为，点B的坐标为，与直线AB交于点. 若，那么这样的直线是否存在？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
15．已知点和，圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．
16．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】
设出三点的坐标，由斜率坐标公式，利用点在抛物线上，结合题中条件，得到，同理得到，，利用倾斜角互补，得到两斜率互为相反数，化简得到，进而求得，得到结果.
【详解】
设，，，
则，故，
同理，，
，
所以，，
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有斜率坐标公式，点在曲线上的条件，直线倾斜角互补的等价结果，属于中档题目.
2．A
【分析】
由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.
【详解】
由，则动圆心的轨迹方程为.
为圆上的动点，又，
∴，
∵，，，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大.
当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为，
∴外接圆方程为，即.
故选：A
3．C
【分析】
设圆的切线为、，由得，即，
再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．
【详解】
由题意，圆心到直线的距离为
（半径）
故直线和圆相交；
当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，
才是最大的角，
不妨设切线为，，则由，
得，
；
当时，，
设，
，
解得：，
设，
如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，
线段长度的最大值为
故选：C
4．A
【分析】
设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【详解】
设动点，由，得，整理得，
又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，，得．
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
5．C
【分析】
设，且，用表示出向量的结果，然后利用三角函数的性质可求得范围.
【详解】
如图所示：
连接OM，由题意圆的半径为，则正方形的边长为2，可得，，设，且，所以由，由，可得，所以，则.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量和平面几何知识以及三角函数知识的综合应用，属于中档题.
6．A
【分析】
由函数，结合存在非零实数，，则有存在实数，使成立，再根据的几何意义，记，．则，表示关于动点的直线，然后将原点与点的距离转化为原点到直线的距离求解.
【详解】
因为函数，
所以
因为存在非零实数，，
所以存在实数，使成立，
又的几何意义为坐标原点与点的距离的平方，
记，，则．
故，
即为，表示动点的轨迹，
设为直线，则原点与点的距离的最小值为原点到直线的距离，
故，
因为，在上是增函数，
所以，
所以，当时，取等号.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数的性质以及轨迹问题和点点距，点线距的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和转化求解问题的能力，属于难题.
7．CD
【分析】
对于A，由圆的一般方程可判断；求出到直线的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线的距离，即可求出，从而四边形的面积的最小值可求.
【详解】
解：当时，方程为，
不表示圆，故A错误；
已知圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.
，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，
四边形的面积最小值，
故D正确.
故选：CD.
【点睛】
考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，难题.
8．AD
【分析】
对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把转化为 ，求的最小值即可.
【详解】
对于A：m=0时，直线：与： 垂直；
时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误；
对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误；
对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 .
∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确.
故选：AD
【点睛】
解析几何问题解题的基本思路：
（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
9．
【分析】
根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.
【详解】
过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上，
其中为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大，
设圆心坐标为，
又由点在轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值，
设切点为，圆的半径为，所以圆的方程为，
代入点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以点的横坐标的为.
故答案为：.
10．3
【分析】
设点，，利用两点间的距离公式可得，令，由，可得，令，讨论的范围：当时，当时，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出的值．
【详解】
解：设点，，
则
，
令，由，可得，
令，
①当时，时取得最小值，
解得，均舍去；
②当时，在区间，上单调递减，在单调递增，
可得，取得最小值，可得，解得（负的舍去）．
综上可知：．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．
11．
【分析】
设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解】
因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
,，
①，
又是的中点，,
,，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点,又因为，
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.
12．4
【分析】
由，可求点满足的两个方程，由两曲线有交点可求.
【详解】
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，设，
由知，
，
由得，
即，所以点A在圆心为，半径为2的圆上，
由得，，当时显然不合题意，
当时，，所以A又在圆心为，半径为的圆上，
所以两圆有公共点，
∴，
∴
可得又为正整数，
∴正整数的最大值为4.
故答案为：4.
13．（1）；（2） ；（3）．
【分析】
（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程
（2）当，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值
（3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值
【详解】
（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程；
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有，
故G点坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为，
折痕所在的直线方程，即，
由①②得折痕所在的直线方程为：；
（2）当时，折痕的长为2，
当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍）
当时，折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于，
折痕长度的最大值为 ，
而，
故折痕长度的最大值为 ；
当时，折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于，
，
，
，
当且仅当时取“”号，
当时，t取最大值，t的最大值是．
【点睛】
本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．
14．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.
【分析】
（1）设P（x，y），将，代入且，可得 P的轨迹方程；
（2）由，代入且，化简P的轨迹方程，消去可得，可得证明；
（3）可求出直线AB方程为，故.由正弦定理可得，化简可得的值，可得答案.
【详解】
解：（1）设P（x，y），由，可得，
，即可
化简P的轨迹方程为.
（2）同理设，由，且.
可得
化简P的轨迹方程为.
由题意得.
（3）由点A的坐标为，点B的坐标为，
可得直线AB方程为，由故.
由正弦定理可得
所以.
即且解得.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，考查学生的数学分析能力、综合计算能力，属于中档题.
15．
（1）
（2）M为（1,0），最小值为5
【分析】
(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求；
(2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值．
（1）
设圆的圆心为，
由题意可得，，解得．
圆的方程为；
（2）
设点，，，，则．
，
为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，
，解得或(舍去)，，
此时为定值，
∴，
当且仅当、、三点共线时，的最小值为．
16．
（1）
（2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行
【分析】
（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解
（2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．
（1）
则由题设得：，直线的方程为，，
由，及解得，所以．
所以直线的方程为，即，
由得，，即，
所以，
即基地的长为．
（2）
设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时时，飞行在线段上的点处，
则，，所以．
爆炸波不会波及卡车的通行，即对恒成立．
所以，
即．
当时，上式恒成立，
当即时，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，在时，恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．
答：当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
答案第1页，共2页
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