人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（2）word版含答案

人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（2）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，且，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是
A． B． C． D．
4．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在平面直角坐标系中, 经过原点的直线将分成左、右两部分,记左、右两部分的面积分别为 ,则取得最小值时,直线的斜率（ ）
A．等于1 B．等于 C．等于 D．不存在
二、多选题
7．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点
8．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时_______________s.
10．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
11．已知圆：与圆：相内切，则的最小值为______.
12．球O的内接正四面体中，P、Q分别为被AC、AD上的点，过PQ作平面，使得AB、CD与平行，且AB、CD到的距离分别为1，2，则球О被平面所截得的圆的面积是_______．
四、解答题
13．已知点，曲线C上任意一点P满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
14．已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点分别作的两条切线、（、为切点），为弦的中点，直线：分别与轴、轴交于点、，求的面积的取值范围.
15．已知直线l：x+y+3＝0及圆C：，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切，
（1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长；
（2）C在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：3；
（3）当圆C移动过程中与直线l交于A，B两点时，求·的取值范围.
16．已知圆：与轴的负半轴交于点，过点且不与坐标轴重合的直线与圆交于，两点.
（1）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.
（2）延长，与直线相交于点，证明：的外接圆必过除点之外的另一个定点，并求出该点坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
设，，则的中点，可得，设，根据，可得，代入化简得，根据判别式可得结果.
【详解】
设，，则的中点，
圆：的圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
设，因为，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
化简得，
依题意得有解，
所以，即，
解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，考查了平面向量基本定理，考查了运算求解能力，属于中档题.
2．A
【分析】
由的几何意义可得表示两点，的距离，
利用换元法将问题转化为两个互为反函数图像上两点间的距离的最小值问题.
【详解】
令，则，则，
即为两点，的距离，
又与关于对称，
∴设，，
则两函数在，处的切线斜率都为1，∴，
故可知为最小值.即，
即，
当时，显然成立，
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了两点间距离的求法，考查了换元法及反函数性质的应用，属于较难题.
3．B
【分析】
将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，过点作轴，可得，计算出的取值范围，可得出，由此可得出的取值范围.
【详解】
将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，如下图所示：
延长分别交、、于点、、，
过点作轴，垂足为点，则，
由对称性结合图形可知，，
且有，，，
所以，，
在中，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用光线反射求角的正切值的取值范围，解题的关键就是利用对称性进行转化，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.
4．A
【分析】
设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.
【详解】
设过点的抛物线的切线方程为：，
即（*），
代入得，
由得，（1）
所以方程（1）有两个不相等的实数根，，
且，，
在（*）中令得，，
设的外接圆圆心为点，
则，
下求：线段中点横标，纵标，
线段的中垂线方程为，
令得，
由（1）知，故，
设的外接圆半径为，
则，
所以的外接圆方程为，
即.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．C
【分析】
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
6．D
【分析】
方法一:根据四个选项可知,分别计算,,,和不存在时的值,比较大小即可;
方法二:讨论斜率,,不存在三种情况,在三种情况下分别求出,代入表达式,化简比较大小即可.
【详解】
方法一:因为,
所以
当时, ,此时,,∴
当时, ,此时,,,∴
当时, ,此时, ,,∴
当不存在时, ,此时, ,∴
综上比较可知,当不存在时, 的值最小
故选:D
方法二: 因为,
所以
当时,直线的方程为
直线的方程为
此时直线与相交,设交点为E,则
解方程可得E点坐标为
则
所以
则
当时, 直线的方程为
直线的方程为
此时直线与相交,设交点为F,则
解方程可得F点坐标为
则
所以
则
当不存在时,此时, ,∴
综上可知, 当不存在时, 的值最小
故选:D
【点睛】
本题考查了直线方程的简单应用,三角形面积是求法.根据选项来判断解的方法在选择题中是常用方法,分类讨论思想的综合应用,属于中档题题.
7．BCD
【分析】
由过定点的直线系方程判断A，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离判断B，由圆与圆的位置关系判断C，引入参数，求直线AB的方程，求直线所过定点.
【详解】
由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A错误；
圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，
曲线化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．
故选：BCD．
8．AD
【分析】
判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D.
【详解】
圆，圆心，半径
对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确；
对于B，当直线时，最小，，，
则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；
对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，
则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.
故选：AD
9．
【分析】
设，飞行过程所用时间，再令，则问题转化为求两条线段最小即可作答.
【详解】
设，飞行过程所用时间，令，即，
设点C(0，m)在圆形轨道内，取点P坐标(0，2000)，而，由得， ，
即，设动点，当时，即，
化简整理得，即满足的动点M的轨迹就是给定的圆形轨道，
所以距月心的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连PC，
于是有，当且仅当P为线段AC与圆形轨道交点时取“=”，
即有，
所以这一过程最少用时s.
故答案为：
10．2或6.
【详解】
分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆的圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
11．1
【分析】
首先确定两圆的圆心和半径，然后结合两圆内切的条件得到关于m,n的等量关系，最后利用基本不等式即可确定的最小值.
【详解】
：，圆心，，
：，圆心，，
圆，内切，∴，∴，∴，即，
当且仅当即时等号成立，因此的最小值为1.
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．
【分析】
先将正四面体放到一个正方体模型中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转移到线段上，得到正四面体和正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即可.
【详解】
将正四面体放到一个正方体模型中，如图所示，球O是正四面体的外接球，也是正方体的外接球.
依题意，设平面交BC于R，
因为平面，平面与平面交于，所以，
同理平面，可证.
如图，连接，与AB交于上底面中心，易见，而平面，
故平面，结合平面，，
故上底面平面，同理下底面也平行平面.
因为AB、CD到的距离分别为1，2，即连接上下底面中心，交平面于S，
则，则正方形棱长为，正四面体棱长为，
正方体的体对角线，即球的直径为，即，
球О被平面所截得的圆的半径为r，
则截面圆圆心为S，到球心的距离，
故，
故面积.
故答案为：.
【点睛】
本题解题关键在于将正四面体放到一个正方体模型中，将四面体外接球问题转化成正方体外接球问题，即可降低难度，突破难点.
13．（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）设点的坐标为，根据，结合两点间的距离公式，列出方程，即可求解；
（2）①当斜率不存在，得到这些直线都是平行的，②设直线的方程为，联立方程组求得，结合，列出方程求得，代入直线方程，根据直线方程，求得定点，进而得到答案.
【详解】
（1）设点的坐标为，
因为，可得，整理得，
即曲线的方程为.
（2）①如果斜率不存在，直线垂直于x轴，此时与圆交于两点，
可得这些直线都是平行的，不可能经过同一点，不符合题意．
②设存在定点Q满足条件，设直线的方程为，
设，联立方程组，整理得，
可得，
无论直线如何运动，轴都平分∠EDF，可得，
所以，可得，
所以，
所以，整理得，可得，
所以，可得直线经过定点，
所以存在过定点的直线与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，轴都平分∠EDF．
【点睛】
直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
14．（1），曲线是以为圆心，半径为2的圆；（2）.
【分析】
（1）设出动点M坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；
（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N点轨迹，然后求出动点N到定直线EF的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q、R两点的切线方程，再代入点P坐标，得到Q、R两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程.
【详解】
解：（1）设，由，得.
化简得，即.
故曲线是以为圆心，半径为2的圆.
（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：
由题意知,、与圆相切，、为切点，则，，
则D、R、P、Q四点共圆，Q、R在以为直径的圆上(如图).
设，又，则的中点为，.
以线段为直径的圆的方程为，
整理得①
(也可用圆的直径式方程化简得. )
又、在：②上，
由两圆方程作差即②①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
法二(求Q、R均满足的同一直线方程即切点弦方程)：
设，，.
由，可得处的切线上任一点满足(如图)，
即切线方程为.
整理得.
又，
整理得.
同理，可得处的切线方程为.
又既在切线上，又在切线上，
所以，整理得.
显然，，的坐标都满足直线的方程.
而两点确定一条直线，所以切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标原点.
由消去并整理得.
设，，则.
点纵坐标.
因为，显然，
所以点与点，均不重合.
(或者由对称性可知，的中点N点在x轴上当且仅当点P在x轴上，
因为，点P不在x轴上，则点N也不在x轴上，所以点与、均不重合.)
因为为弦的中点，且为圆心，
由圆的性质，可得，即(如图).
所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径.
因为直线分别与轴、轴交于点、，
所以，，.
又圆心到直线的距离.
设的边上的高为，则
点到直线的距离的最小值为；
点到直线的距离的最大值为(如图).
则的最小值，最大值.
因此，的面积的取值范围是.
【点睛】
设是圆锥曲线外一点，过点P作曲线的两条切线，切点为A、B两点，则 A、B两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论：
圆的切点弦方程：，
圆的切点弦方程：
椭圆的切点弦方程：；
双曲线的切点弦方程：；
抛物线的切点弦方程为：.
特别地，当为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A、B重合，以上切点弦方程即曲线在P处的切线方程.
15．（1）；（2）圆心为或；（3）．
【分析】
（1）当圆心在直线l上时，圆在直线l上截得的弦最长，令即可求解圆心；
（2）因为直线l与y轴的交点为，所以圆C在x轴下方，故设圆心为，结合弦长公式即可求解；
（3）设圆C：，将直线方程代入圆方程，利用韦达定理和数量积公式即可求解．
【详解】
（1）当圆心在直线l上时，圆在直线l上截得的弦最长为6，
故令得，所以圆心为；
（2）直线l与y轴的交点为，故设弦长为，圆心为，
圆心到直线l的距离为，
因为l与y轴的交点把弦分成1：3，所以
解得，则，得
所以当C的圆心为或时，l与y轴的交点把弦分成1：3．
（3）若圆C：，设
由得
，得
由·
得
因为
所以；
16．（1）是定值，定值为；（2）证明见解析，定点（4，0）.
【分析】
（1）设出直线AB，将其代入圆的方程并化简，进而结合根与系数的关系和坐标公式求得答案；
（2）根据题意，设出直线PA的方程，进而求出点R及线段的中垂线方程，再求出线段的中垂线方程，然后求出的外接圆圆心，写出圆的方程，进而解得答案.
【详解】
（1）设直线AB：，将其代入方程有：，显然.
设，，由根与系数的关系：，.
所以，
所以，化简即得：恒为定值.
（2）设直线：，它与直线的交点为.
∴可求得线段的中垂线方程为：.
又线段的中垂线斜率为，且必经过圆心，故其中垂线方程为：，
由，解得的外接圆圆心为.
的外接圆方程为.即.
令得或，即知该圆必过定点（4，0）.
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