人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（3）word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（3）word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-31 12:36:33 | ||
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文档简介
人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（3）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且 ，点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数满足，则最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
3．已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
二、多选题
7．设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．一定垂直 B．的最大值为
C．点P的轨迹方程为 D．的最小值为
8．已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．过点做的切线，则切线方程为
D．过点做的切线，则切线方程为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为_________
10．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
11．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
12．在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________．
四、解答题
13．已知圆：与轴的负半轴交于点，过点且不与坐标轴重合的直线与圆交于，两点.
（1）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.
（2）延长，与直线相交于点，证明：的外接圆必过除点之外的另一个定点，并求出该点坐标.
14．已知圆C：，直线l：.
（1）若圆C截直线l所得弦AB的长为，求m的值；
（2）若，直线l与圆C相离，在直线l上有一动点P，过P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且的最小值为.求m的值，并证明直线MN经过定点.
15．已知圆：及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围.
16．已知点及圆C：.
（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；
（2）设过点Р的直线与圆C交于M，N两点，当时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（3）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
取中点为，延长至，使得，求出，根据已知求出的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
，取中点为，，且，
延长至，使得，
所以，
因为，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系和轨迹问题，考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．C
【分析】
当时，解得；当，令，可得，设，，则问题等价于和有公共点，观察图形可求解.
【详解】
当时，解得，符合题意；
当时，令，则，又，则，即，
则原方程可化为，
设，，，
则表示斜率为的直线，表示以原点为圆心，半径为的四分之一圆，
则问题等价于和有公共点，观察图形可知，
当直线与圆相切时，由，解得，
当直线过点时，，解得，
因此，要使直线与圆有公共点，，
综上，，故的最大值为20.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解题得关键是令，将问题转化为直线与圆有公共点.
3．B
【分析】
求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围．
【详解】
的圆心为，可得椭圆的，
圆与轴的交点为，可得椭圆的，
可得，
即有椭圆方程为，
设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，
设两点的坐标为，，，
由，得，
△，
，，
设．的中点，，
则，，
中点在上，
，即，得．
故选．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
4．C
【分析】
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
5．A
【分析】
先求得直线与x轴的交点为，根据面积相等可得点M在射线OA上即．求出直线和BC的交点N的坐标，就的不同位置分类讨论后可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故，
把A、N两点的坐标代入直线，求得．
②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
故，即 ，可得，求得 ，
故有．
③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得．
设直线和AC的交点为P，
则由求得点P的坐标为，
此时由题意可得，的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时，，．
两边开方可得，，化简可得 ，
故有．
综上的取值范围应是 ，
故选：A．
6．D
【分析】
根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形能构成矩形的个数为无数个．
【详解】
解：如图所示，任取圆上一点Q，以为直径画圆，交圆与两点，
设，则中点坐标，
有，
以为直径的圆的方程为，
即，
用的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在的直线方程，
即，
将中点坐标代入上式得：
左边=
右边，
所以公共弦也是以为直径的圆的直径，
则，
根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形是矩形，
由的任意性知，四边形能构成无数个矩形，
故选D．
【点睛】
本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题
7．AD
【分析】
对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把转化为 ，求的最小值即可.
【详解】
对于A：m=0时，直线：与： 垂直；
时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误；
对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误；
对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 .
∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确.
故选：AD
【点睛】
解析几何问题解题的基本思路：
（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
8．AD
【分析】
将整理为，方程表示以为圆心，半径为的圆，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，求得直线斜率的最值，可判断AB；先判断在圆上，再利用圆心与该点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率之积为，可求出切线的斜率，即可求出切线方程, 可判断CD.
【详解】
对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确.
故选：AD
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见类型及解题策略
（1）处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
9．
【分析】
由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．
【详解】
解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，
因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，
所以，所以，所以，
，到、、的距离分别为，，
所以的最小值，
即为费马点到点、、的距离之和，则．
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.
10．4
【分析】
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
11．
【分析】
直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值．
【详解】
解：直线l：，化为，
联立，解得，．
直线l经过定点．
线段PM的中点．
．
点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．
其圆的标准方程为：．
圆心G到直线点距离．
点Q到直线的距离的最小值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．
【分析】
由题意画出图形，画出以原点为圆心，以为半径的圆，结合图形分析推理，点A在这个圆截直线x-y+4=0所得弦上时，满足要求，列出不等式求解即得．
【详解】
如图所示，显然直线x-y+4=0与圆相交，
当点A为直线上的定点且在圆外，直线与圆相切时，∠BAC最大，
点A是直线被圆所截弦上的点(除弦的端点外)时，点A对圆上两点所张角在，
点A在直线上从弦端点开始远离圆方向运动时，∠BAC逐渐变小，点A移动到某位置使得直线AB，AC为圆的切线，∠BAC就为直角，再沿着此方向移动，∠BAC将小于直角，则为点A的边界位置，
当点A在处时，为正方形，则，
则点A是以为圆心，为半径的圆截直线x-y+4=0所得弦上的点时符合要求，即直线上的点A在该圆及内部，
，令A(x,x+4)，则，
点A横坐标的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
(1)直线上的动点与圆的关系类问题，利用数形结合的思想，分析图形的几何特征是解题的关键；
(2)圆相外的定点向圆引的两条切线夹角是该点对圆上两点所张的角中最大的.
13．（1）是定值，定值为；（2）证明见解析，定点（4，0）.
【分析】
（1）设出直线AB，将其代入圆的方程并化简，进而结合根与系数的关系和坐标公式求得答案；
（2）根据题意，设出直线PA的方程，进而求出点R及线段的中垂线方程，再求出线段的中垂线方程，然后求出的外接圆圆心，写出圆的方程，进而解得答案.
【详解】
（1）设直线AB：，将其代入方程有：，显然.
设，，由根与系数的关系：，.
所以，
所以，化简即得：恒为定值.
（2）设直线：，它与直线的交点为.
∴可求得线段的中垂线方程为：.
又线段的中垂线斜率为，且必经过圆心，故其中垂线方程为：，
由，解得的外接圆圆心为.
的外接圆方程为.即.
令得或，即知该圆必过定点（4，0）.
14．（1）；（2），证明见解析.
【分析】
（1）由弦长公式，结合点到直线的距离公式得到关于的方程，求解即得；
（2）利用余弦的二倍角公式得到，点C到直线1的距离，根据弦心距性质得到时，的值最小，由此的最小值为，然后根据已知最小值求得的值，进而求得的值.
设，以CP为直径的圆记为圆D，为圆C和圆D的公共弦，然后利用两圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程，利用直线系方程的知识证得直线过定点.
【详解】
（1）圆C的圆心，半径，
由弦AB的长为得：
点C到直线l的距离为，
又，
，解得：；
（2），
由（1）知点C到直线1的距离，
，时，的值最小，
即的最小值为，
由已知得，解得，
，解得或0，
，，
当时，直线l的方程为，
设，以CP为直径的圆记为圆D，
则圆D的方程为，
即①，
圆C的方程为②，
由②-①得③，
M、N两点为圆C和圆D的公共点，
③即为直线MN的方程，
③变形得，
由，解得，
所以，直线MN经过定点.
【点睛】
关键是两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程,构造以CP为直径的圆记为圆D是关键.
15．
（1）
（2）或
（3）
【分析】
（1）利用圆与直线相切，圆与圆外切的性质求出圆的圆心，进而得到圆的标准方程；
（2）由直线平行得出斜率相等，再利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解；
（3）先将，的坐标关系表示出来，再将坐标代入圆中进行坐标转化，得到两个圆有公共点，进而求出实数的取值范围.
（1）
解：将圆化为标准方程得：
圆心，半径为
由圆心在直线上，可设
圆与轴相切，与圆外切
于是圆的半径为，从而，解得
圆的标准方程为：
（2）
解：直线平行于
直线的斜率为
设直线的方程为即
则圆心到直线的距离
且
解得或
故直线的方程为：或
（3）
解：设，
，，
，①
在圆上
②
将①代入②得
于是点既在圆上，又在圆上
圆与圆有公共点
解得：
实数的取值范围为：.
【点睛】
方法点睛：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交；圆与圆的位置关系有：外离，外切，内切，相交，内含；要求熟练掌握各种位置关系时，圆心和直线间的距离与半径的关系以及圆心与圆心的距离与半径和与差的关系.
16．（1）圆心坐标为，半径；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）将圆的一般方程转化为标准方程，即可得解；
（2）利用两点间的距离公式求出，再根据弦长公式求得弦心距，从而知P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（3）利用反证法证明即可．
【详解】
（1）因为，所以
所以圆C的圆心坐标为，半径.
（2）由（1）知，，由两点之间距离得，
设圆心C到直线的距离为d，由圆的弦长公式得，解得.
即，为的中点，
所以以MN为直径的圆Q，即圆心坐标为，半径为，
故以为直径的圆的方程为：．
（3）假设过点的直线垂直平分弦AB，则直线必过圆心，
，
直线的斜率为，即.
圆心到直线的距离，
此时直线与圆C相离，与题设矛盾，故假设不成立，
所以，不存在实数a使得过点的直线，垂直平分弦AB.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆综合问题，常见类型及解题策略
（1）直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且 ，点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数满足，则最大值是（ ）
A．4 B．18 C．20 D．24
3．已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
二、多选题
7．设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．一定垂直 B．的最大值为
C．点P的轨迹方程为 D．的最小值为
8．已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．过点做的切线，则切线方程为
D．过点做的切线，则切线方程为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为_________
10．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
11．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．
12．在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________．
四、解答题
13．已知圆：与轴的负半轴交于点，过点且不与坐标轴重合的直线与圆交于，两点.
（1）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.
（2）延长，与直线相交于点，证明：的外接圆必过除点之外的另一个定点，并求出该点坐标.
14．已知圆C：，直线l：.
（1）若圆C截直线l所得弦AB的长为，求m的值；
（2）若，直线l与圆C相离，在直线l上有一动点P，过P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且的最小值为.求m的值，并证明直线MN经过定点.
15．已知圆：及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点，，使得，求实数的取值范围.
16．已知点及圆C：.
（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；
（2）设过点Р的直线与圆C交于M，N两点，当时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（3）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
取中点为，延长至，使得，求出，根据已知求出的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
，取中点为，，且，
延长至，使得，
所以，
因为，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系和轨迹问题，考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．C
【分析】
当时，解得；当，令，可得，设，，则问题等价于和有公共点，观察图形可求解.
【详解】
当时，解得，符合题意；
当时，令，则，又，则，即，
则原方程可化为，
设，，，
则表示斜率为的直线，表示以原点为圆心，半径为的四分之一圆，
则问题等价于和有公共点，观察图形可知，
当直线与圆相切时，由，解得，
当直线过点时，，解得，
因此，要使直线与圆有公共点，，
综上，，故的最大值为20.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解题得关键是令，将问题转化为直线与圆有公共点.
3．B
【分析】
求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围．
【详解】
的圆心为，可得椭圆的，
圆与轴的交点为，可得椭圆的，
可得，
即有椭圆方程为，
设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，
设两点的坐标为，，，
由，得，
△，
，，
设．的中点，，
则，，
中点在上，
，即，得．
故选．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
4．C
【分析】
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
5．A
【分析】
先求得直线与x轴的交点为，根据面积相等可得点M在射线OA上即．求出直线和BC的交点N的坐标，就的不同位置分类讨论后可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故，
把A、N两点的坐标代入直线，求得．
②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
故，即 ，可得，求得 ，
故有．
③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得．
设直线和AC的交点为P，
则由求得点P的坐标为，
此时由题意可得，的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时，，．
两边开方可得，，化简可得 ，
故有．
综上的取值范围应是 ，
故选：A．
6．D
【分析】
根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形能构成矩形的个数为无数个．
【详解】
解：如图所示，任取圆上一点Q，以为直径画圆，交圆与两点，
设，则中点坐标，
有，
以为直径的圆的方程为，
即，
用的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在的直线方程，
即，
将中点坐标代入上式得：
左边=
右边，
所以公共弦也是以为直径的圆的直径，
则，
根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形是矩形，
由的任意性知，四边形能构成无数个矩形，
故选D．
【点睛】
本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题
7．AD
【分析】
对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把转化为 ，求的最小值即可.
【详解】
对于A：m=0时，直线：与： 垂直；
时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误；
对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误；
对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 .
∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确.
故选：AD
【点睛】
解析几何问题解题的基本思路：
（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
8．AD
【分析】
将整理为，方程表示以为圆心，半径为的圆，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，求得直线斜率的最值，可判断AB；先判断在圆上，再利用圆心与该点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率之积为，可求出切线的斜率，即可求出切线方程, 可判断CD.
【详解】
对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确.
故选：AD
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见类型及解题策略
（1）处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
9．
【分析】
由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．
【详解】
解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，
因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，
所以，所以，所以，
，到、、的距离分别为，，
所以的最小值，
即为费马点到点、、的距离之和，则．
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.
10．4
【分析】
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
11．
【分析】
直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值．
【详解】
解：直线l：，化为，
联立，解得，．
直线l经过定点．
线段PM的中点．
．
点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．
其圆的标准方程为：．
圆心G到直线点距离．
点Q到直线的距离的最小值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．
【分析】
由题意画出图形，画出以原点为圆心，以为半径的圆，结合图形分析推理，点A在这个圆截直线x-y+4=0所得弦上时，满足要求，列出不等式求解即得．
【详解】
如图所示，显然直线x-y+4=0与圆相交，
当点A为直线上的定点且在圆外，直线与圆相切时，∠BAC最大，
点A是直线被圆所截弦上的点(除弦的端点外)时，点A对圆上两点所张角在，
点A在直线上从弦端点开始远离圆方向运动时，∠BAC逐渐变小，点A移动到某位置使得直线AB，AC为圆的切线，∠BAC就为直角，再沿着此方向移动，∠BAC将小于直角，则为点A的边界位置，
当点A在处时，为正方形，则，
则点A是以为圆心，为半径的圆截直线x-y+4=0所得弦上的点时符合要求，即直线上的点A在该圆及内部，
，令A(x,x+4)，则，
点A横坐标的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
(1)直线上的动点与圆的关系类问题，利用数形结合的思想，分析图形的几何特征是解题的关键；
(2)圆相外的定点向圆引的两条切线夹角是该点对圆上两点所张的角中最大的.
13．（1）是定值，定值为；（2）证明见解析，定点（4，0）.
【分析】
（1）设出直线AB，将其代入圆的方程并化简，进而结合根与系数的关系和坐标公式求得答案；
（2）根据题意，设出直线PA的方程，进而求出点R及线段的中垂线方程，再求出线段的中垂线方程，然后求出的外接圆圆心，写出圆的方程，进而解得答案.
【详解】
（1）设直线AB：，将其代入方程有：，显然.
设，，由根与系数的关系：，.
所以，
所以，化简即得：恒为定值.
（2）设直线：，它与直线的交点为.
∴可求得线段的中垂线方程为：.
又线段的中垂线斜率为，且必经过圆心，故其中垂线方程为：，
由，解得的外接圆圆心为.
的外接圆方程为.即.
令得或，即知该圆必过定点（4，0）.
14．（1）；（2），证明见解析.
【分析】
（1）由弦长公式，结合点到直线的距离公式得到关于的方程，求解即得；
（2）利用余弦的二倍角公式得到，点C到直线1的距离，根据弦心距性质得到时，的值最小，由此的最小值为，然后根据已知最小值求得的值，进而求得的值.
设，以CP为直径的圆记为圆D，为圆C和圆D的公共弦，然后利用两圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程，利用直线系方程的知识证得直线过定点.
【详解】
（1）圆C的圆心，半径，
由弦AB的长为得：
点C到直线l的距离为，
又，
，解得：；
（2），
由（1）知点C到直线1的距离，
，时，的值最小，
即的最小值为，
由已知得，解得，
，解得或0，
，，
当时，直线l的方程为，
设，以CP为直径的圆记为圆D，
则圆D的方程为，
即①，
圆C的方程为②，
由②-①得③，
M、N两点为圆C和圆D的公共点，
③即为直线MN的方程，
③变形得，
由，解得，
所以，直线MN经过定点.
【点睛】
关键是两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程,构造以CP为直径的圆记为圆D是关键.
15．
（1）
（2）或
（3）
【分析】
（1）利用圆与直线相切，圆与圆外切的性质求出圆的圆心，进而得到圆的标准方程；
（2）由直线平行得出斜率相等，再利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解；
（3）先将，的坐标关系表示出来，再将坐标代入圆中进行坐标转化，得到两个圆有公共点，进而求出实数的取值范围.
（1）
解：将圆化为标准方程得：
圆心，半径为
由圆心在直线上，可设
圆与轴相切，与圆外切
于是圆的半径为，从而，解得
圆的标准方程为：
（2）
解：直线平行于
直线的斜率为
设直线的方程为即
则圆心到直线的距离
且
解得或
故直线的方程为：或
（3）
解：设，
，，
，①
在圆上
②
将①代入②得
于是点既在圆上，又在圆上
圆与圆有公共点
解得：
实数的取值范围为：.
【点睛】
方法点睛：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交；圆与圆的位置关系有：外离，外切，内切，相交，内含；要求熟练掌握各种位置关系时，圆心和直线间的距离与半径的关系以及圆心与圆心的距离与半径和与差的关系.
16．（1）圆心坐标为，半径；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）将圆的一般方程转化为标准方程，即可得解；
（2）利用两点间的距离公式求出，再根据弦长公式求得弦心距，从而知P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（3）利用反证法证明即可．
【详解】
（1）因为，所以
所以圆C的圆心坐标为，半径.
（2）由（1）知，，由两点之间距离得，
设圆心C到直线的距离为d，由圆的弦长公式得，解得.
即，为的中点，
所以以MN为直径的圆Q，即圆心坐标为，半径为，
故以为直径的圆的方程为：．
（3）假设过点的直线垂直平分弦AB，则直线必过圆心，
，
直线的斜率为，即.
圆心到直线的距离，
此时直线与圆C相离，与题设矛盾，故假设不成立，
所以，不存在实数a使得过点的直线，垂直平分弦AB.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆综合问题，常见类型及解题策略
（1）直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
答案第1页，共2页
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