人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（4）特难word版含答案
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（4）特难word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-31 12:37:11 | ||
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文档简介
人教A版2019选择性必修第一册第二章数学尖子生同步培优题典（4）
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是
① 圆心在直线上；
② 的取值范围是；
③ 圆半径的最小值为；
④ 存在定点，使得圆恒过点.
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④
3．已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为
A． B．2 C． D．1
4．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
5．已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.
6．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是________．
7．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.
8．已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；
②若直线是圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
9．已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B，AB的延长线交C于点D，AF的延长线交C于点E．
（1）若点A的纵坐标为4，求圆M的方程；
（2）若线段AD的中点为G，求证：轴；
（3）的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
10．已知，．
（1）若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．
11．已知圆和点.
（1）过作圆的切线，求切线的方程；
（2）过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程；
（3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
12．已知椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为左.右焦点，A，B分别为左.右顶点，D为上顶点，原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C，记点P的纵坐标为t.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；
(3) 求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】
解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，
，，如右图，结合三角形的相似可得，，
为，，，或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
，，，；
则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；
设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，，，．无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，
若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点、，动点
满足，，，
可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，，，
即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选:.
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
2．D
【分析】
根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.
【详解】
二次函数的对称轴为，
因为对称轴为线段的中垂线，
所以圆心在直线上，故①正确；
因为二次函数与轴有两点不同交点，
所以，即，故②错误；
不妨设在的左边，则，
设圆方程为 ，则
，解得，
，
因为，所以即，故③错误；
由上得圆方程为，
即，恒过点，故④正确.
故选D.
【点睛】
本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.
3．A
【分析】
设点，，利用四点，，，共圆，求得以为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得,，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值．
【详解】
设，，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有，
，当即或或或时，
的面积取得最大值．
故选．
【点睛】
本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题．
4．D
【详解】
由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足
∠PDQ，所以，整理得.解之得
，故选D.
点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂.
5．48
【分析】
将原式化为，而分别表示到直线的距离，取的中点，设在直线的射影为，则原式=，根据圆的性质可以知道在以为直径的圆上，其中，进一步即可得到答案.
【详解】
由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离，
∴与圆相离 ，如图：
而
，
易得，即，∴在以为直径的圆上，其中.
∵，当共线，且在之间时取“=”.
∴的最小值为.
故答案为：48.
【点睛】
本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取的中点，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.
6．①②④
【分析】
①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值.
【详解】
点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；
为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；
当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】
轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.
7．
【分析】
设，，，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得，利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.
【详解】
，
设，，，
则，
如图，
，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
又，故的最大值为.
因为集合，故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.
8．①②④
【分析】
对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可.
【详解】
对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确；
对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；
本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：
设的中点为，以为直径作圆，连接．则
对于③：由垂径定理，，设.
一方面，若，则.
当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为.
另一方面，当时，直线.
故点到直线的距离.此时.
当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为.
对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④：为圆上的一个动点.若，设，
则.
注意到，
故
当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.
9．（1）; (2)见解析；(3)，理由见解析；
【分析】
（1）由题意求得点的坐标，求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）设出点的坐标，写出的方程，与抛物线方程联立，求得直线的方程，再由直线与抛物线方程联立，利用中点坐标求得点的纵坐标，由此判断轴；
（3）利用点的坐标表示的面积，利用基本不等式计算它的最小值．
【详解】
解：（1）由题意，设点的坐标为 ，由，求得；又点的坐标为， ,∴圆的方程为 ；
（2）设，的方程为 ，代入
得 所以 即 ；
又 ，故点的坐标为 ；
直线的方程为 ，即 ，代入 ，可得 ；
∴ ，
故 ，所以轴。
（3）由（2）知， ，
又 ，可得，
∴的面积为
（当且仅当时取“”），
所以的面积存在最小值，且此最小值为．
【点睛】
本题考查了直线与圆以及抛物线的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，属于难题．
10．（1）；（2）.
【分析】
（1）设所求直线l的方程为y=kx+b，由直线l与⊙C1相切、直线l截⊙C2的弦长，列方程组即可求出直线L的方程．
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，设动点M（x，y），列方程能求出动圆M的圆心M轨迹方程．
【详解】
解：（1）设所求直线L的方程为y=kx+b，
∵直线L与⊙C1相切，∴=1，（i）
又直线L截⊙C2的弦长等于2，
∴=2，（ii）
2=2，解得d2=r2-21=4，
∴|k-b|=2，∴|k-b|=2|k+b|，
∴k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）
（iii）代入（i），得：||=，，无解，
（iiii）代入（i），得：|-2k|=，解得k=，
当k=时，b=-，直线方程为y=，
当k=-时，b=，直线方程为y=-x+．
经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．
故直线L的方程为y=，或y=-x+．
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，
设动点M（x，y），则+=6，
解得=1，
∴动圆M的圆心M轨迹方程为．
【点睛】
本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题．
11．
（1）和.
（2）证明见解析，直线方程为.
（3）存在，或.
【分析】
（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程.
（2）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线.
（3）若，由题设可知，假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性.
（1）
当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
∴，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）
设，，
∴由，则，即，又，故，同理，
∴直线为，又在上，
∴，故恒在直线上.
（3）
由题设，若则，整理可得，
若存在，使为定值，而，，
∴，整理得，
∴，
整理得，
要使为定值，则，解得或.
综上，存在或，使为定值.
【点睛】
关键点点睛：第三问，设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性.
12．(1)＋y2＝1；(2) x－2y＋＝0；(3) x2－x＋y2－ty＋＝0
【分析】
（1）由离心率得，代入直线方程，由原点O到直线BD的距离为可求得，进而得，得椭圆方程；
(2)设P(，t)，t>0，由直线方程与椭圆方程联立可求得点坐标，从而可以表示出△AOC的面积等于△BPC的面积，△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以△AOC的面积等于△BPC的面积，由此可求得，得直线方程．
(3)已知三角形三顶点坐标，可由两边的垂直平分线求得外接圆圆心坐标，得半径，最后写出圆方程．
【详解】
(1) 因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以a2＝2c2，b＝c，
所以直线DB的方程为y＝－x＋b，
又O到直线BD的距离为，所以，
所以b＝1，a＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)P(，t)，t>0，
直线PA的方程为y＝ (x＋)，
由
整理得(4＋t2)x2＋2t2x＋2t2－8＝0，
解得xC＝，则点C的坐标是，
因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以△AOC的面积等于△BPC的面积，
S△AOC＝，
，
则，解得t＝.
所以直线PA的方程为x－2y＋＝0.
(3)因为B(，0)，P(，t)，C，
所以BP的垂直平分线为y＝，
BC的垂直平分线为y＝x－，
所以过B，C，P三点的圆的圆心为，
则过B，C，P三点的圆的方程为＋＝＋，
即所求圆的方程为x2－x＋y2－ty＋＝0.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的面积问题，考查求三角形外接圆方程．求椭圆方程只要有两个条件列出关于的两个方程即可求解，椭圆中的面积问题可设出点的坐标，求出三角形面积，由面积关系求出参数．三角形外接圆问题，可求出圆心坐标和半径，得出圆方程(本题中由于点的坐标含有参数，一般不直接设圆一般方程，否则计算很复杂)．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是
① 圆心在直线上；
② 的取值范围是；
③ 圆半径的最小值为；
④ 存在定点，使得圆恒过点.
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④
3．已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为
A． B．2 C． D．1
4．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
5．已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.
6．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是________．
7．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.
8．已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；
②若直线是圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
9．已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B，AB的延长线交C于点D，AF的延长线交C于点E．
（1）若点A的纵坐标为4，求圆M的方程；
（2）若线段AD的中点为G，求证：轴；
（3）的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
10．已知，．
（1）若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．
11．已知圆和点.
（1）过作圆的切线，求切线的方程；
（2）过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程；
（3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
12．已知椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为左.右焦点，A，B分别为左.右顶点，D为上顶点，原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C，记点P的纵坐标为t.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；
(3) 求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】
解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，
，，如右图，结合三角形的相似可得，，
为，，，或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
，，，；
则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；
设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，，，．无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，
若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点、，动点
满足，，，
可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，，，
即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选:.
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
2．D
【分析】
根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.
【详解】
二次函数的对称轴为，
因为对称轴为线段的中垂线，
所以圆心在直线上，故①正确；
因为二次函数与轴有两点不同交点，
所以，即，故②错误；
不妨设在的左边，则，
设圆方程为 ，则
，解得，
，
因为，所以即，故③错误；
由上得圆方程为，
即，恒过点，故④正确.
故选D.
【点睛】
本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.
3．A
【分析】
设点，，利用四点，，，共圆，求得以为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得,，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值．
【详解】
设，，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有，
，当即或或或时，
的面积取得最大值．
故选．
【点睛】
本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题．
4．D
【详解】
由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足
∠PDQ，所以，整理得.解之得
，故选D.
点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂.
5．48
【分析】
将原式化为，而分别表示到直线的距离，取的中点，设在直线的射影为，则原式=，根据圆的性质可以知道在以为直径的圆上，其中，进一步即可得到答案.
【详解】
由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离，
∴与圆相离 ，如图：
而
，
易得，即，∴在以为直径的圆上，其中.
∵，当共线，且在之间时取“=”.
∴的最小值为.
故答案为：48.
【点睛】
本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取的中点，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.
6．①②④
【分析】
①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值.
【详解】
点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；
为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；
当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】
轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.
7．
【分析】
设，，，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得，利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.
【详解】
，
设，，，
则，
如图，
，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
又，故的最大值为.
因为集合，故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.
8．①②④
【分析】
对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可.
【详解】
对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确；
对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；
本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：
设的中点为，以为直径作圆，连接．则
对于③：由垂径定理，，设.
一方面，若，则.
当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为.
另一方面，当时，直线.
故点到直线的距离.此时.
当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为.
对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④：为圆上的一个动点.若，设，
则.
注意到，
故
当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.
9．（1）; (2)见解析；(3)，理由见解析；
【分析】
（1）由题意求得点的坐标，求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）设出点的坐标，写出的方程，与抛物线方程联立，求得直线的方程，再由直线与抛物线方程联立，利用中点坐标求得点的纵坐标，由此判断轴；
（3）利用点的坐标表示的面积，利用基本不等式计算它的最小值．
【详解】
解：（1）由题意，设点的坐标为 ，由，求得；又点的坐标为， ,∴圆的方程为 ；
（2）设，的方程为 ，代入
得 所以 即 ；
又 ，故点的坐标为 ；
直线的方程为 ，即 ，代入 ，可得 ；
∴ ，
故 ，所以轴。
（3）由（2）知， ，
又 ，可得，
∴的面积为
（当且仅当时取“”），
所以的面积存在最小值，且此最小值为．
【点睛】
本题考查了直线与圆以及抛物线的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，属于难题．
10．（1）；（2）.
【分析】
（1）设所求直线l的方程为y=kx+b，由直线l与⊙C1相切、直线l截⊙C2的弦长，列方程组即可求出直线L的方程．
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，设动点M（x，y），列方程能求出动圆M的圆心M轨迹方程．
【详解】
解：（1）设所求直线L的方程为y=kx+b，
∵直线L与⊙C1相切，∴=1，（i）
又直线L截⊙C2的弦长等于2，
∴=2，（ii）
2=2，解得d2=r2-21=4，
∴|k-b|=2，∴|k-b|=2|k+b|，
∴k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）
（iii）代入（i），得：||=，，无解，
（iiii）代入（i），得：|-2k|=，解得k=，
当k=时，b=-，直线方程为y=，
当k=-时，b=，直线方程为y=-x+．
经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．
故直线L的方程为y=，或y=-x+．
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，
设动点M（x，y），则+=6，
解得=1，
∴动圆M的圆心M轨迹方程为．
【点睛】
本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题．
11．
（1）和.
（2）证明见解析，直线方程为.
（3）存在，或.
【分析】
（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程.
（2）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线.
（3）若，由题设可知，假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性.
（1）
当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
∴，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）
设，，
∴由，则，即，又，故，同理，
∴直线为，又在上，
∴，故恒在直线上.
（3）
由题设，若则，整理可得，
若存在，使为定值，而，，
∴，整理得，
∴，
整理得，
要使为定值，则，解得或.
综上，存在或，使为定值.
【点睛】
关键点点睛：第三问，设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性.
12．(1)＋y2＝1；(2) x－2y＋＝0；(3) x2－x＋y2－ty＋＝0
【分析】
（1）由离心率得，代入直线方程，由原点O到直线BD的距离为可求得，进而得，得椭圆方程；
(2)设P(，t)，t>0，由直线方程与椭圆方程联立可求得点坐标，从而可以表示出△AOC的面积等于△BPC的面积，△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以△AOC的面积等于△BPC的面积，由此可求得，得直线方程．
(3)已知三角形三顶点坐标，可由两边的垂直平分线求得外接圆圆心坐标，得半径，最后写出圆方程．
【详解】
(1) 因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以a2＝2c2，b＝c，
所以直线DB的方程为y＝－x＋b，
又O到直线BD的距离为，所以，
所以b＝1，a＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)P(，t)，t>0，
直线PA的方程为y＝ (x＋)，
由
整理得(4＋t2)x2＋2t2x＋2t2－8＝0，
解得xC＝，则点C的坐标是，
因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以△AOC的面积等于△BPC的面积，
S△AOC＝，
，
则，解得t＝.
所以直线PA的方程为x－2y＋＝0.
(3)因为B(，0)，P(，t)，C，
所以BP的垂直平分线为y＝，
BC的垂直平分线为y＝x－，
所以过B，C，P三点的圆的圆心为，
则过B，C，P三点的圆的方程为＋＝＋，
即所求圆的方程为x2－x＋y2－ty＋＝0.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的面积问题，考查求三角形外接圆方程．求椭圆方程只要有两个条件列出关于的两个方程即可求解，椭圆中的面积问题可设出点的坐标，求出三角形面积，由面积关系求出参数．三角形外接圆问题，可求出圆心坐标和半径，得出圆方程(本题中由于点的坐标含有参数，一般不直接设圆一般方程，否则计算很复杂)．
答案第1页，共2页
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