2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.44角平分线同步练习(Word版 附答案)

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名称 2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.44角平分线同步练习(Word版 附答案)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2022-01-29 19:54:04

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2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习(附答案)
1.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(  )
A.10 B.7 C.5 D.4
2.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是(  )
A.8 B.6 C.4 D.2
3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于(  )
A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是(  )
A.15 B.30 C.45 D.60
5.如图,△ABC中,∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论:
①PC平分∠ACF;②∠ABC+∠APC=180°;
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影,则AM+CN=AC;④∠BAC=2∠BPC.
其中正确的是(  )
A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有②③④ D.只有①③
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为(  )
A.1 B.6 C.3 D.12
7.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(  )
A.24 B.30 C.36 D.42
8.在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于(  )
A.3.8cm B.7.6cm C.11.4cm D.11.2cm
9.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=28,DE=4,AB=8,则AC长是(  )
A.8 B.7 C.6 D.5
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是(  )
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB垂直平分OP
12.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是   .
13.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为点D,且PC=4,则PD等于    .
14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,CD=2,则△ABD的面积是   .
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=8,CD=3,则△ABD的面积是   .
16.如图,已知:BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,S△ABC=36cm2;,AB=12cm,BC=18cm,则DE的长为   cm.
17.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据是    .
18.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
19.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
20.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF.
21.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
参考答案
1.解:作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCE=BC EF=×5×2=5,
故选:C.
2.解:过点P作PE⊥BC于E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选:C.
3.解:过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵点O是内心,
∴OE=OF=OD,
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO= AB OE: BC OF: AC OD=AB:BC:AC=2:3:4,
故选:C.
4.解:由题意得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于E,
又∵∠C=90°,
∴DE=CD,
∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30.
故选:B.
5.解:如图,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为M、N、D,
①∵PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,
∴PM=PN,PM=PD,
∴PM=PN=PD,
∴点P在∠ACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上),
故本小题正确;
②∵PM⊥AB,PN⊥BC,
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,
∴∠ABC+∠MPN=180°,
很明显∠MPN≠∠APC,
∴∠ABC+∠APC=180°错误,
故本小题错误;
③在Rt△APM与Rt△APD中,,
∴Rt△APM≌Rt△APD(HL),
∴AD=AM,
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN,
∴CD=CN,
∴AM+CN=AD+CD=AC,
故本小题正确;
④∵PB平分∠ABC,PC平分∠ACF,
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC,
∴∠BAC=2∠BPC,
故本小题正确.
综上所述,①③④正确.
故选:B.
6.解:过点D作DH⊥BC交BC于点H,如图所示:
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=90°,
又∵∠C+∠BDC+∠DBC=180°,
∠ADB+∠A+∠ABD=180°
∠ADB=∠C,∠A=90°,
∴∠ABD=∠CBD,
∴BD是∠ABC的角平分线,
又∵AD⊥AB,DH⊥BC,
∴AD=DH,
又∵AD=3,
∴DH=3,
又∴点D是直线BC外一点,
∴当点P在BC上运动时,点P运动到与点H重合时DP最短,其长度为DH长等于3,
即DP长的最小值为3.
故选:C.
7.解:过D作DH⊥AB交BA的延长线于H,
∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,
∴DH=CD=4,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=AB DH+BC CD=×6×4+×9×4=30,
故选:B.
8.解:∵∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,
又∵AD平分∠CAB,
∴DC=DE=3.8,
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4.
故选:C.
9.解:∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,
∴DF=DE=4.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=8,
∴28=×8×4+×AC×4,
∴AC=6.
故选:C.
10.解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=AD,
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=AC CD=AC AD.
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD,
∴S△DAC:S△ABC=AC AD:AC AD=1:3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.
故选:D.
11.解:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB
∴∠PAO=∠PBO=90°,∠POA=∠POB,OP=OP
∴△OPA≌△OPB(AAS),
∴∠APO=∠BPO,OA=OB
∴A、B、C项正确
设PO与AB相交于E
∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO=∠BEO=90°
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选:D.
12.解:过D作DE⊥BC于E,
∵∠A=90°,
∴DA⊥AB,
∵BD平分∠ABC,
∴AD=DE=3,
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15,
故答案为:15.
13.解:作PE⊥OA于E,
∵CP∥OB,
∴∠OPC=∠POD,
∵P是∠AOB平分线上一点,
∴∠POA=∠POD=15°,
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°,
∴PE=PC=2,
∵P是∠AOB平分线上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PD=PE=2,
故答案为:2.
14.解:∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴点D到AB的距离=CD=2,
∴△ABD的面积是5×2÷2=5.
故答案为:5.
15.解:作DE⊥AB于E,如图,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC=3,
∴S△ABD=×8×3=12.
故答案为12.
16.解:如图,过点D作DF⊥AB于F,
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC,
∴DE=DF,
S△ABC=S△ABD+S△BCD,
=AB DF+BC DE,
=×12 DE+×18 DE,
=15DE,
∵△ABC=36cm2,
∴15DE=36,
解得DE=2.4cm.
故答案为:2.4.
17.解:如图所示:过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,
∵两把完全相同的长方形直尺,
∴PE=PF,
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),
故答案为:在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.
18.(1)证明:连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:在△AED和△AFD中,

∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴5﹣x=3+x,
解得:x=1,
∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.
19.(1)证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于E,
∴DE=DC.
在Rt△CDF与Rt△EDB中,

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)解:设CF=x,则AE=12﹣x,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12﹣x,
解得x=2,即CF=2.
20.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,
在△DCF和△DEB中,,
∴△DCF≌△DEB,(SAS),
∴BD=DF.
21.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形.

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴∠ADE=∠ADF,
∴AD是角平分线.