2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线同步练习（Word版 附答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步练习（附答案）
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（　　）
A．50° B．100° C．120° D．130°
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50° B．70° C．75° D．80°
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．17
6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
7．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　．
9．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　度．
10．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．
11．如图，点D、E是△ABC的边BC上的点，且∠AED＝n°，∠CAD：∠DAE：∠BAE＝1：3：2，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，则n＝　 　．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝　 　．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为 　 　．
14．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为　 　．
15．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．
16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．
18．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
19．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
参考答案
1．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
2．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
3．解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
4．解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD＝DC，AE＝CE＝4，
即AC＝8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC＝23，
∴AB+BC＝23﹣8＝15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝15，
故选：B．
5．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
6．解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
7．解：根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理，
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB，符合性质定理，是正确的；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；
④若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的；
所以正确的是①②③三个．
故选：C．
二．填空题（共3小题）
8．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
9．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
10．解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
11．解：∵∠CAD：∠DAE：∠BAE＝1：3：2，
∴设∠CAD＝x°，∠DAE＝3x°，∠BAE＝2x°，
∵点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，
∴AD＝CD，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAD＝x°，∠B＝∠BAC＝2x°，
∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，
∴x+x+3x+2x+2x＝180，
解得：x＝20，
∴∠C＝∠CAD＝20°，∠DAE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣（20°+60°）＝80°，
即n＝80，
故答案为：80．
12．解：∵∠A＝40°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
∵线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝120°﹣20°＝100°，
故答案为：100°．
13．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵BC＝8，AC＝6，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+8＝14，
故答案为：14．
14．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，
设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝，
即BD＝，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
16．解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵BC＝10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；
（2）∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．
17．解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
18．解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
19．证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△DOE和Rt△COE中，
，
∴Rt△DOE≌Rt△COE，
∴OD＝OC，又EC＝ED，
∴OE是CD的垂直平分线．
20．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
21．解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．