5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册25张ppt)

(共25张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦、余弦函数的单调性与最值
(第2课时)
复习导入
上节课我们学习了正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如)上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
因为对于周期函数，如果把握了它的一个周期内的情况，那么也就把握了整个函数的情况.
思考1：观察下图，找出的值随着的变化是如何变化的？
新知探索
观察下图，可以看到：
当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由减小到.
的值的变化情况如表所示：
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
新知探索
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
这就是说，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到
新知探索
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
思考2：类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如[])上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表：
新知探索
这就是说，正弦函数,在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量的值.
新知探索
正弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值
余弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值
例析
例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.
(1) (2)
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合；使函数取得最小值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合.
函数的最大值是最小值是
例析
(2)
解：(2)令使函数取得最大值的的集合，就是使，取得最小值的的集合.由得.所以，使函数取得最大值的的集合是.同理，使函数取得最小值的的集合是.
函数的最大值是，最小值是.
例析
例4.不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与.
解：(1)因为正弦函数在区间上单调递增，所以>.
(2)因为且函数在区间上单调递减，所以即.
例析
例5.求函数的单调递增区间.
解：令则
因为，的单调增区间是，且由
得.
所以，函数的单调递增区间是.
练习
题型一：正弦函数、余弦函数的单调性
例1.求函数的单调区间.
解：令
则
即
所以函数的单调递增区间是
令
则
即
所以函数的单调递减区间是
练习
变1.求函数的单调区间.
解：据题意，函数的单调区间和函数的相反.
令
则
即
所以函数的单调递减区间是
令
则
即
所以函数的单调递增区间是
练习
方法技巧：
(1)用“基本函数法”求函数或的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数(或)的相应单调区间；
第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“”；
第三步：解关于的不等式.
(2)对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间。单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数的单调性讨论同上.另外，值得注意的是这一条件不能省略.
练习
题型二：正弦函数、余弦函数单调性的应用
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)与；(2)与；
解：(1)∵正弦函数在区间上单调递增，
∴>.
(2)∵
，
又正弦函数在区间上单调递增，∴，从而
即.
练习
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(3)与.
解：(3)
∵且函数在区间上单调递减，
∴即.
练习
变2.比较下列各组数的大小.
(1)与；(2)与；
解：(1)，而
且函数在区间上单调递增，
∴即.
(2)
∵函数在区间上单调递减，且
∴即
练习
变2.比较下列各组数的大小.
(3)与.
解：(3)
∵且函数在区间上单调递增，
∴
即.
练习
方法技巧：
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到或内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
练习
题型三：正弦函数、余弦函数的最值问题
例3.求下列函数的值域.
(1)；(2)；
(3).
解：(1)∵∴
令又在上单调递增，在上单调递减，
∴
∴函数的值域为[,2].
练习
例3.求下列函数的值域.
(2)；
(3).
解：(2)∵
又时，0∴函数的值域为
(3)令
∴在上单调递减，
∴当时，当时，
∴函数的值域为
练习
变3.求函数的最大值和最小值.
解：由正弦函数的性质知，
当时，，
∴
当函数取得最小值，
当函数取得最大值，
∴函数在上的最大值是5，最小值是.
练习
方法技巧：
三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如(或)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对正负的讨论.
(2)形如(或)型，可先由定义域求得的范围，然后求得(或)的范围，最后求得最值.
(3)形如型，可利用换元思想，设转化为二次函数求最值.的范围需要根据定义域来确定.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正、余弦函数的单调性；
(2)正、余弦函数的最值.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P207的练习15题.