5.4.3正切函数的性质与图象-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册28张ppt)

(共28张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
问题导入
思考1：根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为如何研究正切函数的图象与性质？
思考2：你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.
新知探索
思考1：类比研究正弦函数、余弦函数的周期性，试研究正切函数的周期性？
由诱导公式且可知，正切函数是周期函数，周期是
思考2：类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性，试研究正切函数的奇偶性？
由诱导公式且可知，正切函数是奇函数
新知探索
思考3：你认为研究正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展
思考4：如何画出函数的图象？
新知探索
如图，设在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则
由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值.
我们可以利用线段画出函数的图象，如图所示.
新知探索
观察下图可知，当时，随着的增大，线段的长度也在增大，而且当趋向于时，的长度趋向于无穷大.相应地，函数的图象从左到右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线
思考5：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
新知探索
根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位长度，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切函数.
新知探索
从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增.
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间上单调递增.
新知探索
当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集R.
新知探索
函数的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间上都单调递增
对称中心
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)正切函数的值域是R. （ ）
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心. （ ）
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 （ ）
(4)正切函数在定义域上单调递增. （ ）
答案：√，√，×，×.
例析
例6.求函数的定义域、周期及单调区间.
解：自变量的取值应满足即
所以，函数的定义域是.
设，又所以
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2.
例析
例6.求函数的定义域、周期及单调区间.
解：由解得
因此，函数在区间上单调递增.
练习
题型一：正切函数的定义域、值域问题
例1.求下列函数的定义域和值域：
(1)
(2) .
解：(1)依题意得所以.
所以函数的定义域是
由正切函数的值域可知该函数的值域是
练习
例1.求下列函数的定义域和值域：
(1)
(2) .
解：(2)依题意得所以.
结合的图象可知，在区间上，
满足的角应满足
所以函数的定义域为其值域为
练习
变1.函数在上的最大值与最小值的差为( ).
A. B. C. D.
答案：A.
解：∵，∴
又在上为单调递增函数
∴当时，取得最小值，
当时，取得最大值，.
∴最大值与最小值的差为：
练习
方法技巧：
1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即.
(2)求正切函数)的定义域时，要使“”视为一个“整体”.令解得.
练习
2.解形如的不等式的步骤
作图象
求界点
求范围
写出解集
作点上的正切函数图象
求在上使成立的值
求在上使成立的的范围
据正切函数的周期性，写出定义域
练习
题型二：与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题
例2.(1)若的周期为1，则的值为( ).
A. B. C. D.
答案：D.
解：∵的周期为
∴即
则
练习
解：①∵
其定义域为关于原点对称，
有
∴是偶函数.
②∵
其定义域为关于原点对称，
有
∴是奇函数.
例2.(2)判断下列函数的奇偶性：
①；② .
练习
变2.(1)(多选)已知函数，则下列结论正确的是( ).
A.是的一个周期
B.
C.的值域为R
D.的图象关于点对称
答案：ACD.
解：∵的最小正周期为，∴是的一个周期，故A正确.
∵∴B错误.
易知的值域为R，∴C正确.
的图象关于点对称，∴D正确.
练习
(2)，若，则的值为( ).
A.0 B.3 C.1 D.2
答案：A.
解：∵，
∴当时，有，
∴
则
练习
方法技巧：
1.函数周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法：对于函数，它的最小正周期.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看与的关系.
提醒：的对称中心坐标为
练习
题型三：正切函数的单调性及应用
例3.求函数的单调递减区间.
解：∵
∴的单调递减区间是的单调递增区间.
由得：
，
所以函数的单调递减区间是
练习
变3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.
(1)与；(2)与.
解：(1)∵
，
且在上是增函数，
∴即.
(2)，
∵在上单调递增，
∴即.
练习
方法技巧：
1.求函数,且都是常数)的单调区间的方法
(1)若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可.
(2)若，可利用诱导公式先把转化为，即把的系数转化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可.
练习
方法技巧：
2.运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
注：只有增区间；只有减区间.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正切函数的图象；
(2)正切函数的性质.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P213的练习15题；
(3)课本P213的习题5.4的4、6、7、8、9.